空間中直線及平面之間的位置關(guān)系

-z.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系知識點一直線與平面的位置關(guān)系1、直線和平面平行的定義如果一條直線和一個平面沒有公共點，則這條直線和這個平面平行。2、直線與平面位置關(guān)系的分類〔1〕直線與平面位置關(guān)系可歸納為(2)在直線和平面的位置關(guān)系中，直線和平面平行，直線和平面相交統(tǒng)稱直線在平面外，我們用記號來表示a∥和這兩種情形．(3)直線與平面位置關(guān)系的圖形畫法：①畫直線a在平面時，表示直線的直線段只能在表示平面的平行四邊形，而不能有局部在這個平行四邊形之外，這是因為這個用來表示平面的平行四邊形的四周應(yīng)是無限延伸而沒有邊界的，因而這條直線不可能有*局部在*外；②在畫直線a與平面相交時，表示直線a的線段必須有局部在表示平面a的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面區(qū)分開來，又具有較強(qiáng)的立體感；③畫直線與平面平行時，最直觀的畫法是用來表示直線的線在用來表示平面的平行四邊形之外，且與*一邊平行。例1、以下命題中正確的命題的個數(shù)為。①如果一條直線與一平面平行，則這條直線與平面的任意一條直線平行；②如果一條直線與一平面相交，則這條直線與平面的無數(shù)條直線垂直；③過平面外一點有且只有一條直線與平畫平行；④一條直線上有兩點到一個平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面。變式1、以下說法中正確的選項是。①直線l平行于平面無數(shù)條直線，則l//；②假設(shè)直線a在平面外，則a//;③假設(shè)直線a//b，直線，則a//;④假設(shè)直線a//b，直線，則直線a就平行于平面的無數(shù)條直線。變式2、以下命題中正確的個數(shù)是()①假設(shè)直線l上有無數(shù)個點不在平面α，則l∥α②假設(shè)直線l與平面α平行，則l與平面α的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行④假設(shè)直線l與平面α平行，則l與平面α的任意一條直線都沒有公共點A.0B.1C.2D.3分析：如圖2,圖2我們借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)點在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確；A1B1所在直線平行于平面ABCD，A1B1顯然不平行于BD，所以命題②不正確；A1B1∥AB,A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB平面ABCD,所以命題③不正確；l與平面α平行,則l與α無公共點,l與平面α所有直線都沒有公共點,所以命題④正確.答案：B變式3、假設(shè)直線l上有兩個點到平面α的距離相等，討論直線l與平面α的位置關(guān)系.圖3解：直線l與平面α的位置關(guān)系有兩種情況〔如圖3〕，直線與平面平行或直線與平面相交.例2、假設(shè)兩條相交直線中的一條在平面α，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.解：如圖5,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是在平面或與平面相交.圖5用符號語言表示為：假設(shè)a∩b=A,bα,則aα或a∩α=A.變式1、假設(shè)兩條異面直線中的一條在平面α，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.分析：如圖6,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是與平面平行或與平面相交.圖6用符號語言表示為：假設(shè)a與b異面,aα,則b∥α或b∩α=A.例3、假設(shè)直線a不平行于平面α,且aα,則以下結(jié)論成立的是()A.α的所有直線與a異面B.α的直線與a都相交C.α存在唯一的直線與a平行D.α不存在與a平行的直線分析：如圖7,假設(shè)直線a不平行于平面α,且aα,則a與平面α相交.圖7例如直線A′B與平面ABCD相交，直線AB、CD在平面ABCD，直線AB與直線A′B相交，直線CD與直線A′B異面，所以A、B都不正確；平面ABCD不存在與a平行的直線，所以應(yīng)選D.變式1、不在同一條直線上的三點A、B、C到平面α的距離相等，且Aα,以下三個命題：①△ABC中至少有一條邊平行于α;②△ABC中至多有兩邊平行于α；③△ABC中只可能有一條邊與α相交.其中真命題是_____________.分析：如圖8,三點A、B、C可能在α的同側(cè)，也可能在α兩側(cè)，圖8其中真命題是①.變式2、假設(shè)直線aα,則以下結(jié)論中成立的個數(shù)是()(1)α的所有直線與a異面(2)α的直線與a都相交(3)α存在唯一的直線與a平行(4)α不存在與a平行的直線A.0B.1C.2D.3分析：∵直線aα,∴a∥α或a∩α=A.如圖9,顯然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以應(yīng)選A.圖9答案：A.知識點二直線與平面平行1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。⑴定理可簡述為“線線平行，則線面平行〞，可以用符號表示為；⑵該定理判斷直線a與平面平行時，必須具備三個條件：直線a在平面外，即；②直線b在平面，即；③直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可。⑶定理的作用：將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關(guān)系的判定。2、直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線就和交線平行。用符號表示為：假設(shè)a//，則a//b，即“線面平行，則線線平行〞。(1)定理的作用線面平行的性質(zhì)定理的作用在于：把線線平行的判定轉(zhuǎn)化為線面平行的判定，因此，我們要證明〔或判定〕兩條直線平行時，假設(shè)直線證明難以成功，此時，不妨考慮轉(zhuǎn)化為證明〔或判定〕線面平行的問題．(2)直線和平面平行時，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系．直線和平面平行的性質(zhì)在應(yīng)用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面的一切直線〞的錯誤結(jié)論．(3)線面平行的其他性質(zhì)：①平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面；②假設(shè)過平面一點的直線平行于與此平面平行的一條直線，則此直線在這個平面。例4、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1求證：MN//平面AA1B1B。變式1、AB、BC、CD是不在同一平面的三條線段，E、F、G分別是AB、BC、CD的中點，求證：平面EFG和AC平行，也和BD平行。例5、過正方體AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求證：BB1//EE1變式1、ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP//GH。知識點三直線與平面垂直1、直線與平面垂直的概念如果一條直線a與一個平面的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個平面互相垂直．其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足.(1)假設(shè)直線a與平面互相垂直，記作(2要注意“任何一條直線〞這個詞語，它與“所有直線〞是同義詞，但與“無數(shù)條直線〞不同，即當(dāng)直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面的任何直線。(3)畫法：畫直線與平面垂直時，一般使直線與表示平面的平行四邊形一邊垂直，如以下圖所示，2、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面的兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個平面。簡記為：“線線垂直，則線面垂直。〞(1)判定定理的條件中，“平面的兩條相交直線〞是關(guān)鍵性詞語，一定要記準(zhǔn)。(2)命題1：如果一條直線垂直于平面的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面；命題2：如果一條直線垂直于平面的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面．以上兩個命題都是錯誤的，因為對于這兩個命題，都沒有表達(dá)出兩直線相交這一特性，(3)要判定一條直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面能否找出兩條相交線和直線垂直，至于這兩條相交直線是否和直線有公共點，這是無關(guān)緊要的。(4)其他判定直線和平面垂直的方法：兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面。3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行。直線與平面垂直還有如下性質(zhì)：(1)如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面任一條直線垂直。(2)假設(shè)兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于同一個平面。(3)假設(shè)于A，AP，則。例6、給出以下結(jié)論：①假設(shè)直線a垂直平面的無窮多條直線，則直線a垂直平面；②無論直線a與平面是否垂直，a總垂直平面的無窮多條直線；③假設(shè)直線a垂直平面的兩條直線，則直線a垂直平面；④假設(shè)直線a垂直平面的所有直線，則直線a垂直平面其中正確的結(jié)論為?！矊懗鲂蛱柤纯伞常?、如右圖，空間四邊形ABCD的邊BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD。變式1、如右圖，P是△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC兩兩垂直，H是△AC的垂心，求證：PH⊥平面ABC。例8、如右圖，矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F，〔1〕求證：AF⊥SC；〔2〕假設(shè)平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD。變式1、如右圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，，求證：OO1⊥平面ABCD。穩(wěn)固練習(xí)一：選擇題1、下面四種說法中：〔１〕兩條平行直線中的一條平行于一個平面，則另一條也平行于這個平面；〔２〕平行于平面一條直線的直線平行于該平面；〔３〕過平面外一點只有一條直線和這個平面平行；〔４〕假設(shè)一條直線和一個平面平行，則這條直線和這個平面所有直線都平行、正確說法的個數(shù)為〔〕Ａ、０；Ｂ、１；Ｃ、２；Ｄ、３2、以下命題中正確的選項是〔〕Ａ、平行于同一平面的兩條直線平行；Ｂ、垂直于同一條直線的兩條直線平行；Ｃ、假設(shè)直線ａ于一個平面的一條直線ｂ平行，則ａ平行于這個平面；Ｄ、假設(shè)一條直線平行于兩相交平面的交線，則這條直線至少平行于兩個平面中的一個異面直線a，b分別在平面，假設(shè)，則直線必定與Ａ、分別與a，b相交B、與a，b都不相交C、至少與a，b中之一相交D、至多與a，b中之一相交4、以下命題中有幾個是正確的？其個數(shù)為〔〕分別在兩個平面的兩條直線一定是異面直線在空間不相交的兩條直線一定是異面直線不同在一個平面的兩條射線所在直線一定是異面直線既不平行也不相交的兩條線段所在直線一定是異面直線A、4個B、3個C、2個D、1個5、如果點P在直線上，而直線又在平面，則可記作〔〕A、B、C、D、6、相交直線AB、AC確定的平面，則以下說法不正確的選項是〔〕Ａ、直線AB、AC都不在平面B、平面經(jīng)過直線AB、ACC、只有A、B、C三點在平面D、直線AB、AC上所有的點都在平面7、以下命題中，真命題是〔〕Ａ、兩條相交直線上的三個點確定一個平面B、兩兩相交的三條直線共面Ｃ、不共面的四點中可以有三點在同一直線上D、三角形和梯形一定是平面圖形不共面的四個點中，〔〕Ａ、可能有三個點共線B、至少有三個點共線Ｃ、任何三個點都不共線D、只有三個點不共線用斜二測法畫平面圖形的直觀圖，對其中三條線段結(jié)論錯誤的選項是〔〕原相交的仍相交B、原垂直的仍垂直C、原平行的仍平行D、原共點的仍共點10、兩兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是 〔〕A、4個 B、5個 C、6個 D、8個11、平面過△ABC的重心，B、C在的同側(cè)，A在的另一側(cè)，假設(shè)A、B、C到平面的距離分別為a、b、c，則a、b、c間的關(guān)系為()A、2a=b+cB、a=b+cC、2a=3(b+c)D、3a=2(b+二、填空題12、不共線的三個平面兩兩相交，可將空間分成的局部可能是________________個13、a，c異面，b，c異面,則a,b的位置關(guān)系是__________________14、，則的位置關(guān)系是_______________答案：一、選擇題A；2、D；3、C；4、D；5、C；6、A；7、D；8、C；9、B；10、C；11、A二、填空題12、4，7，813、平行，異面或相交14、相交或異面穩(wěn)固練習(xí)二：選擇題1、以下命題正確的個數(shù)是〔〕〔１〕假設(shè)直線ｌ上有無數(shù)個點不在平面，則ｌ平行這個平面；〔２〕假設(shè)一條直線與一個平面平行，則這條直線與這個平面的所有直線都平行；〔３〕兩條平行線中的一條與一個平面平行，則另一條也和這個平面平行；〔４〕假設(shè)一條直線與一個平面的無窮多條直線都平行，則這條直線與這個平面平行Ａ、０個；Ｂ、１個；Ｃ、２個；Ｄ、３個、2、直線在平面外指的是〔〕Ａ、直線與平面沒有公共點；Ｂ、直線與平面相交；Ｃ、直線與平面平行；Ｄ、直線與平面最多只有一個公共點3、設(shè)有如下三個命題：甲：相交兩直線ｌ、ｍ都在平面α，并且都不在平面β乙：ｌ、ｍ之中至少有一條與平面β相交丙：α和β相交當(dāng)甲成立時Ａ、乙是丙的充分而不必要條件；Ｂ、乙是丙的必要而不充分條件；Ｃ、乙是丙的充分且必要條件；Ｄ、乙既不是丙的充分條件又不是必要條件4、一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，則兩角的關(guān)系是〔〕相等B、互補(bǔ)C、互余D、不能確定空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，設(shè)，則〔〕Ａ、ＭＮ＞１B、ＭＮ＜１C、ＭＮ＝１D、ＭＮ與１的大小關(guān)系不能確定在正方體的棱所在的１２條直線中，取定一條，則，其它的１１條直線可與它構(gòu)成異面直線的共有A、４條B、５條C、６條D、７條7、下面四個條件中能得出∥b的是〔〕A、且和c，b和c均無公共點B、和b無公共點C、和b與c成等角D、8、過平面一點及平面外一點的直線與平面的任一條直線的位置關(guān)系是〔〕A、相交B、平行C、異面D、相交或異面9、a,b是異面直線，直線c平行于直線a，則c與b〔〕定是異面直線B、定是相交直線C、不可能是平行直線D、不可能相交直線10、四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有 〔〕A、4個 B、3個 C、2個 D、1個11、A,B,C,D是空間四點,AB與CD是異面直線,則必有()A、AC與BD異面,AD與BC共面B、AC與BD共面,AD與BC異面C、AC與BD異面,AD與BC異面D、AC與BD共面,AD與BC共面二、填空題12、假設(shè)E、F、G、H順次為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點，且EG=3，F(xiàn)H=4，則AC2+BD2=.13、，且Ａ，Ｂ不重合，則位置關(guān)系是______________14、平面和相交，在，各取兩點，這四點都不在交線上，則這四個點能確定______平面。三、解答題15、試證明：過兩條異面直線中的一條直線有且只有一個平面與另一條直線平面、答案：一、選擇題1、A；2、D；3、C；4、D；5、B；6、A；7、A；8、D；9、C；10、A；11、C二、填空題12、5013、平行，異面或相交14、1或4三、解答題15、證明：證存在一個平面與另一條直線平行〔存在性〕、設(shè)a、b為異面直線，A為a上任一點，過b與A作一平面，在過A作直線c∥b，則由a、c確定的平面∥b、存在一個平面與b平行、aAaAcb假設(shè)還有過a且不與重合的平面∥b，∩=d、∵三個平面兩兩相交，且a、c交于A，∴其三條交線交于一點，即點A，而d∥b，∴c∥d、即過A存在兩條直線c、d都與b平行，這與平行公理相矛盾、故只有唯一一個平面與另一條直線平行、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1．直線l與平面α不平行，則()A．l與α相交B．l?αC．l與α相交或l?αD．以上結(jié)論都不對【解析】假設(shè)l與α不平行，則l與α相交或l?α.【答案】C2．直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個公共點C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個公共點【解析】直線a在平面γ外，其包括直線a與平面r相交或平行兩層含義，故a與r至多有一個公共點．【答案】D3．在長方體ABCD－A1B1C1D1的六個外表與六個對角面(面AA1C1CA．2個B．3個C．4個D．5個【解析】如下圖，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.【答案】B4．以下說法中正確的選項是()A．如果兩個平面α、β只有一條公共直線a，就說平面α、β相交，并記作α∩β＝aB．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于過A點的任意一條直線C．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于A點，并記作α∩β＝AD．兩平面ABC與DBC相交于線段BC【解析】B不正確，假設(shè)A∈α∩β，則α，β相交于過A點的一條直線；同理C不正確；D不正確，兩個平面相交，其交線為直線而非線段．【答案】A5．如果空間的三個平面兩兩相交，則()A．不可能只有兩條交線B．必相交于一點C．必相交于一條直線D．必相交于三條平行線【解析】空間三個平面兩兩相交，可能相交于一點，也可能相交于一條直線，還可能相交于三條平行線，應(yīng)選A.【答案】A二、填空題6．平面α∥平面β，直線a?α，則直線a與平面β的位置關(guān)系為__