對(duì)新課程中考數(shù)學(xué)壓軸題設(shè)計(jì)的思考

對(duì)新課程中考數(shù)學(xué)壓軸題設(shè)計(jì)的思考

中考數(shù)學(xué)壓軸題的主要功能是對(duì)學(xué)生不同學(xué)習(xí)水平進(jìn)行區(qū)分，考查學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)和重要方法的理解、掌握水平，為高中階段學(xué)校招生提供依據(jù)。為了體現(xiàn)公平性，通常中考數(shù)學(xué)壓軸題是綜合方程、不等式、函數(shù)、三角形、四邊形等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)設(shè)計(jì)而成，對(duì)初中數(shù)學(xué)教和學(xué)具有重要的引領(lǐng)作用。近年各地為改進(jìn)和完善中考試題命制，進(jìn)行了有益的探索和創(chuàng)新，設(shè)計(jì)出了許多立意新穎、問題創(chuàng)設(shè)和諧自然、能力要求恰當(dāng)?shù)木蕢狠S題。但縱觀各地中考數(shù)學(xué)壓軸題，超出《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）要求，過分強(qiáng)調(diào)區(qū)分功能和選拔功能，在解題技巧上設(shè)置障礙，題目越出越難。這種現(xiàn)象對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的影響不可小視，本文試結(jié)合幾個(gè)具體題目，對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計(jì)談?wù)勛约旱囊恍┛捶?，?qǐng)教于專家和同行。第(3)問利用不等式考查學(xué)生的代數(shù)推理能力，其用意是好的，但命題者沒有認(rèn)真研讀《課標(biāo)》對(duì)不等式的具體要求，內(nèi)容和能力要求都超出《課標(biāo)》。作差比較大小是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，由0＜α＜β＜1結(jié)合0＜t＜1，然后分0＜t≤α，α＜t≤β、β＜t＜1三種情況討論，更是學(xué)生思維能力所達(dá)不到的。該問題的抽象程度和難度遠(yuǎn)不是一個(gè)初中生能把握的。編擬中考題的一條基本原則是試題內(nèi)容和要求應(yīng)以《課標(biāo)》為依據(jù)，試題設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和方法的理解深度以及在從事數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平方面的考查。中考試題在內(nèi)容和要求上向前邁出一小步，就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)向前跨出一大步。因此，試題難度不應(yīng)在內(nèi)容上打“擦邊球”，在解題技巧上設(shè)置障礙，更不能因強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生能力的考查，就任意增加試題難度。例2（2010北京）問題：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA。探究∠DBC與∠ABC的度數(shù)的比值。請(qǐng)你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明。(1)當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全圖形（圖2）。觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為______；當(dāng)推出∠DAC=15°時(shí)，可進(jìn)一步推出∠DBC的度數(shù)為______；可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為______；圖2(2)當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明。原解：(1)相等，15°，1∶3；(2)如圖3，作∠KCA=∠BAC，過B點(diǎn)作BK∥AC交CK于點(diǎn)K，連結(jié)DK。圖3因?yàn)椤螧AC≠90°，所以四邊形ABKC是等腰梯形。所以CK=AB。因?yàn)镈C=DA，所以∠DCA=∠DAC，所以∠KCD=∠3。所以△KCD≌△BAD，所以∠2=∠4，KD=BD。所以KD=BD=BA=KC。因?yàn)锽K∥AC，所以∠ACB=∠6。因?yàn)椤螷CA=2∠ACB，所以∠5=∠ACB。所以∠5=∠6，所以KC=KB，所以∠KBD=60°。因?yàn)椤螦CB=∠6=60°-∠1，所以∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1。因?yàn)樯?+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°，所以∠2=2∠1。所以∠DBC與∠ABC的度數(shù)的比值為1∶3。該題第(2)問的難度在于給學(xué)生設(shè)置了一個(gè)特定的證明模式：作∠KCA=∠BAC。幾何證明題中，學(xué)生最感困難的就是如何作出適當(dāng)?shù)妮o助線。該題所作輔助線是不常見的，同時(shí)第(1)問的探究過程對(duì)解答第(2)問無任何方法和思路上的啟示或借鑒，只是給出了一個(gè)猜結(jié)果的所謂的探究。因此，學(xué)生“一線未定，全盤皆輸”。而證明過程中，角之間關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，也需要很高的技巧。雖然我們也可以用下面的方法進(jìn)行證明：如圖4，過D點(diǎn)作DE⊥AC，垂足為E，延長ED交BC于F，連結(jié)AF。因?yàn)椤螧AC=2∠ACB。有∠3=∠ACB，從而得到△ABF∽△CBA，所以，而AB=BD，所以，因而得到△BDF∽BCD。所以∠BDF=∠BCD=∠4。又∠3=∠4+∠5，因而圖4在Rt△AEF中，∠6=90°-（∠4+∠5），①在△ABD中，∠2=180°-4∠4-2∠5，②在△BCD中，∠1=180°-5∠4-∠5，③在△ADF中，∠6=180°-4∠4-∠5。④由①、④可得∠4=30°，⑤將⑤分別代入②、③得∠2=60°-2∠5=2(30°-∠5)，∠1=30°-∠5。故∠2=2∠1。即∠DBC與∠ABC的度數(shù)的比值為1∶3。此種解法角之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換比較復(fù)雜，論證難度比原解法更大。該題證明難度大大超出《課標(biāo)》對(duì)幾何論證的要求。例3（2010成都）已知：如圖5，△ABC內(nèi)接⊙O，AB為直徑，弦CE⊥AB，垂足為F，C是的中點(diǎn)，連結(jié)BD并延長交EC的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q。圖5(1)求證：P是△ACQ的外心；(2)若，CF=8，求CQ的長。(3)求證：。本題是由陳題改編而成。圓與三角形結(jié)合證明有關(guān)線段的比例式或等積式，是課改前中考的常考題型。《課標(biāo)》對(duì)圓部分的論證要求作了大幅度降低，教材將課改前圓中有關(guān)位置關(guān)系、相等、比例式等的證明放到了高中選修課“幾何證明選講”中學(xué)習(xí)，并且高考對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行考查。如2010年高考數(shù)學(xué)全國課標(biāo)卷（理工農(nóng)醫(yī)類）第22題：如圖6，已知圖上的弧AC=BD，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)。證明：(1)∠ACE=∠BCD；(2)。例3的第(3)問所證等積式中的線段在同一直線上，相互間的關(guān)系需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，運(yùn)用兩次相似才能得出結(jié)論，而高考題第(2)問需證一次相似便可得出結(jié)論。例3推理論證要求高于高考題。圖6《課標(biāo)》要求對(duì)幾何證明注重對(duì)證明本身的理解，而不追求證明的數(shù)量和技巧，更多地強(qiáng)調(diào)使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等探索過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、推理能力（包括合情推理、演繹推理），全面體現(xiàn)幾何的教育價(jià)值?！墩n標(biāo)》明確要求考試中與證明有關(guān)的題目難度應(yīng)與《課標(biāo)》中所列命題的論證難度相當(dāng)。推進(jìn)課改，其中最根本的一條就是中考試題在內(nèi)容和要求上不超出《課標(biāo)》。然而中考對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有重要的導(dǎo)向功能，作為中考?jí)狠S題，更是教師、學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)。中考把《課標(biāo)》刪去的幾何論證要求和幾何證明題型重拾回來，勢(shì)必引導(dǎo)教師在教學(xué)中給學(xué)生補(bǔ)充幾何證明的各種題型和技巧，這樣不僅加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，而且給教學(xué)造成負(fù)面影響。教學(xué)是依據(jù)《課標(biāo)》還是依據(jù)考試，是考試服從于《課標(biāo)》，還是教學(xué)服從于考試，教師將莫衷一是。如果中考讓按照《課標(biāo)》要求教學(xué)，努力體現(xiàn)課改理念的教師“吃虧”，而讓增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，大運(yùn)動(dòng)