利潤最大化與二次函數(shù)

利潤最大化與二次函數(shù)二次函數(shù)在市場經(jīng)濟的今天，用途特別廣泛。利潤最大問題，就是一個典型。下面就舉例說明。1、住宿問題某賓館客房部有60個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿．當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．設(shè)每個房間每天的定價增加元．求：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式．（2）該賓館每天的房間收費（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式．（3）該賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？（2008年貴陽市）分析：因為，每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，現(xiàn)在增加x元，折合個10元，所以，有個房間空閑；空房間數(shù)+入住房間數(shù)=60，這樣第一問就解決了；房間收費數(shù)額應(yīng)該等于房間的定價乘以房間的數(shù)量，這樣第二問的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問時，關(guān)鍵是理解利潤的意義，利潤=每天的房間收費數(shù)-每個房間每天支出的各種費用。解：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：y=60-，（2）賓館每天的房間收費（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：z=（200+x）（60-），（3）賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：W=（200+x）（60-）-20（60-），炊整理，得：調(diào)W疏=亂-吊+棋42罩x+1圓08讀00歉=-歷（x效2增-暈420男x）+鉤10800投=嫂-爸（x-侍21傅0）補2潤+趴15210蛛，翻因為，a=砌-絹＜0，所以銀，函數(shù)有最宮大值，惱并且，當(dāng)x呈=錦21起0時，函數(shù)芽W有最大值昌，最大值為感15210合，鈔當(dāng)每個房間綿的定價為每謝天哨41稈0告元時，大有最大值解，笛最大值是緊15210議元。陣2、投資問項題聾例2、隨著倘綠城南寧近蝦幾年城市建朽設(shè)的快速發(fā)垂展，對花木鍬的需求量逐莫年提高。某心園林專業(yè)戶牧計劃投資種伶植花卉及樹夢木，根據(jù)市吃場調(diào)查與預(yù)世測，種植樹假木的利潤曠與投資量受成正比例關(guān)抽系，如圖1泥2-約①企所示；種植穿花卉的利潤賄與投資量駱成二次函數(shù)互關(guān)系，如圖殼12-災(zāi)②交所示（注：鷹利潤與投資須量的單位：塔萬元）呼（1）分別炒求出利潤喇與扎關(guān)于投資量安的函數(shù)關(guān)系橡式；暢（2）如果螺這位專業(yè)戶旗以8萬元資轎金投入種植掘花卉和樹木誤，他至少獲憶得多少利潤??？他能獲取膨的最大利潤違是多少？悅（2008狀年乏?幟南寧市）分析：疊根據(jù)圖像和騾題意知道y姻1用是x的正比管例函數(shù)，并利且知道圖像憐上的一個點揮的坐標(biāo)為P盲(1，2熔)淘，這樣就可喪以求出正比營例函數(shù)的解考析式；峽仔細觀察拋拜物線的特點敞，拋物線經(jīng)娛過原點，頂鍵點也在原點無，因此，解遭析式一定是筆形如y=a衣x辨2套的形式。解：適（1）訪因為，y握1麗是x的正比切例函數(shù)，設(shè)工，y感1悶=kx，應(yīng)因為，圖像攝經(jīng)過點P(估1，2挨)低，大所以，2=蒙k，栽所以，利潤砌y致1日關(guān)于投資量潤的函數(shù)關(guān)系耗式是y些1輝=2x蔬，x＞0摔；伶因為，y瑞2滾是x的二次揮函數(shù)，設(shè)，星y德2也==ax糖2膽，習(xí)因為，圖像命經(jīng)過點Q(掙2，2活)海，幻所以，2=濱4a網(wǎng)，苦所以，a=捷，鄰所以，利潤員y糞2籮關(guān)于投資量撓的函數(shù)關(guān)系矮式是y瘦2尼=聚謎x滾2芝林，x＞0；明（2）這位過專業(yè)戶以8硬萬元資金投煉入種植花卉沖和樹木，暑其中投資花貓卉x耍萬恨元，麥他獲得的利習(xí)潤是虧：懷y榨=y嫁1近+炎細y舞2要=班突x塌2漢把+2錢×城（機8-x）役=賢套x案2防攪-栽2鴉x削+16耳=雕（好x意-染2）彩2固+14，記因為，a=販＞閱0，所以，擋函數(shù)有最誦小鋸值，煤并且，當(dāng)x泰=曠2難萬元丙時，函數(shù)載y鞏有最扎小泥值，最才小慈值為勵14位萬元時；鑄因為，對稱速軸是x=2占，尺當(dāng)0漫≤竄x哪≤涉2時，y隨繪x的增大而巡減小，慶所以，當(dāng)x遠=0時，y宰有最大值，繡且為y=悉（武x-2）則2打+14=1柱6，膽當(dāng)2＜x尋≤窄8時，y隨搶x的增大而枯增大，準(zhǔn)當(dāng)x=8時遞，y有最大蓬值，且為y涂=暫（行x-2）解2貸+14=3低2，甜所以，史當(dāng)x=8兩萬元漸時，獲得的評利潤最大，勿并且為32甲萬元。輕因此，這位泳專業(yè)戶以8解萬元資金投刻入種植花卉嶄和樹木，他何至少獲得滴14掛萬元利潤；衣他能獲取的拌最大利潤是單32拿萬元。議3、存放問功題首例3、桂我州有一種飽可食用的野里生菌，上市漠時，外商李趨經(jīng)理按市場充價格30元勵/千克收購抱了這種野生古菌門1000千析克堡存放入冷庫尊中，據(jù)預(yù)測耐，該野生菌場的市場價格降將以每天每辣千克上漲1艱元；但冷凍徹存放這批野術(shù)生菌時每天線需要支出各鵝種費用合計陰310元，灶而且這類野丹生菌在冷庫拔中最多保存緒160元，示同時，平均撒每天有訴3千克京的野生菌損宗壞不能出售球．虎（1）設(shè)純x霉天后每千克叉該野生菌的牢市場價格為揮元，試寫出滾與槳之間的函數(shù)炒關(guān)系式．庫（2）若存喚放事天后，將這擦批野生菌一鎮(zhèn)次性出售，劈設(shè)這批野生墊菌的銷售總忙額為胞元，試寫出胸與懶之間的函數(shù)化關(guān)系式．恭（3）李經(jīng)蠻理將這批野倦生茵存放多芹少天后出售所可獲得最大目利潤槐元？諒（利潤＝銷譽售總額－芹收鎖購成本－各什種費用）網(wǎng)（08涼山陡州）分析：討因為，該野頁生菌的市場骨價格將以每炮天每千克上逢漲1元，撓所以，x天互就應(yīng)該上漲評x?！潦?=x元狠；吵市場價格3辯0元+上漲鳳價=x天后伯每千克該野寨生菌的市場跌價格為竟元，這樣第欠一問就解決堡了；奸銷售總額為隱元憑應(yīng)該等于野設(shè)生菌的價格劇乘以墳數(shù)量，這樣親第二問的等姨量關(guān)系也找覺到了；求在解答第三編問時，關(guān)鍵哄是理解利潤撓的意義，利筒潤=疫銷售總額圓-卷損壞的野生壯菌的費用干。解：密（1）裙由題意得惹與鏈之間的函數(shù)廚關(guān)系式斬是：惠（郊，且蛋整數(shù)）白；（2）樸由題意得流與吵之間的函數(shù)謊關(guān)系式葵是：找；役（3）乞由題意得舊：斑因為，a=死-3＜0，蔽所以，函數(shù)砍有最大值，洪并且，當(dāng)x技=100時氣，函數(shù)W有攤最大值，最良大值為30役000，潑所以，鴉當(dāng)明時，蜘，劣因為，10牲0天像＜傍160天，丈所以，濁存放100房天后出售這碰批野生菌可經(jīng)獲得最大利旬潤3000揭0元．抗4、定價問蹈題簡例4、紹為了落實國厲務(wù)院副總理冷李克強同志頸到恩施考察賊時的指示精貸神,最近，監(jiān)州委州政府湖又出臺了一滋系列納“瞧三農(nóng)伙”詠優(yōu)惠政策,熔使農(nóng)民收入稈大幅度增加深.某農(nóng)戶生府產(chǎn)經(jīng)銷一種弊農(nóng)副產(chǎn)品,呀已知這種產(chǎn)殊品的成本價情為20元/適千克.市場秒調(diào)查發(fā)現(xiàn),壓該產(chǎn)品每天警的銷售量ｗ瞎(千克)與者銷售價ｘ(肺元/千克)弄有如下關(guān)系終:ｗ=－2竟ｘ＋80.忽設(shè)這種產(chǎn)品橡每天的銷售先利潤為ｙ(居元).穩(wěn)(1)求ｙ江與ｘ之間的邁函數(shù)關(guān)系式伶.凍(2)當(dāng)銷夕售價定為多保少元時,每辣天的銷售利倆潤最大?最支大利潤是多伯少?雁(3)如果佩物價部門規(guī)慮定這種產(chǎn)品姑的銷售價不泄得高于28硬元/千克,晴該農(nóng)戶想要骨每天獲得1摸50元的銷步售利潤,銷氧售價應(yīng)定為積多少元?肌刪（2008探恩施自治州捷）分析：詢利潤=價格摸×求銷售數(shù)量，軟這是問題解然答的關(guān)鍵。解:骨⑴是廊y＝(x－討20直)榆?引w互＝(x－贈2袍0)(－2姑x＋城80礦)增＝－2x抗2長＋回12警0x－攔1抱6蟲00舌，擇所以，頸y與x的庸函數(shù)啞關(guān)系式為仔：徒y(tǒng)＝－2x鵲2延＋伴12格0x－屑1否600簡．⑵制因為，今y＝－2x勉2謊＋死12置0x－擊1蜜6魯00筑＝－2央昆(x－俗30砍)勞擋2夜＋細200扣，蓬因為，a=搜-2＜0，司所以，函數(shù)防有最大值，博并且，當(dāng)x漢=30時，暈函數(shù)y有最劣大值，最大贈值為200使，發(fā)所以，伯當(dāng)x＝貪30頂時，y澆有多最大箏值200炊．謝陸因此，腎當(dāng)銷售價定腳為30元/粱千克時,每銅天可獲最大汪銷售利潤2廣00元.偶⑶養(yǎng)當(dāng)畝y＝沫150朱時，可得方顫程群械－2叮方(x－急30害轉(zhuǎn))齊2蘆雜＋期200浸＝舅150?。艚膺@個趟方程兵，造得甘盆x介1遠＝鐘2前5，丙x旱2來＝葉3靜5．截抗值匪根據(jù)際題意，含x刃2獎＝皆3塊5不合題意稱,慮應(yīng)舍去．禮所以，糟當(dāng)瘦銷售梢價定滲為鏡2當(dāng)5元控/千克漿時，觀該農(nóng)戶每天艦可獲得銷售勁利潤在1飛5撫0元．雜5、補貼問舒題夠例5、作某市種植某笨種綠色蔬菜奔，全部用來益出口．為了臺擴大出口規(guī)航模，該市決諸定對這種蔬準(zhǔn)菜的種植實階行政府補貼忘，規(guī)定每種輕植一畝這種受蔬菜一次性暖補貼菜農(nóng)若謝干元．經(jīng)調(diào)校查，種植畝次數(shù)京（畝）與補方貼數(shù)額車（元）之間弱大致滿足如董圖1所示的離一次函數(shù)關(guān)醬系．隨著補懸貼數(shù)額帆的不斷增大竿，出口量也嘉不斷增加，掩但每畝蔬菜龍的收益進（元）會相族應(yīng)降低，且評與艙之間也大致逝滿足如圖2乞所示的一次陳函數(shù)關(guān)系．圖1圖1x/元50（第25題）1200800y/畝O圖2x/元10030002700z/元O究（1）在政騾府未出臺補極貼措施前，穩(wěn)該市種植這辛種蔬菜的總榨收益額為多凳少？鐮（2）分別姑求出政府補火貼政策實施墨后，種植畝伶數(shù)歌和每畝蔬菜必的收益田與政府補貼項數(shù)額渾之間的函數(shù)邪關(guān)系式；徑（3）要使慶全市這種蔬呢菜的總收益待（元）最大往，政府應(yīng)將燦每畝補貼數(shù)也額封定為多少？勺并求出總收藥益闊的最大值．呈（2008堂年后泰安市偷）競分析：惠農(nóng)撞政策是國家覽的基本政策擱，