高中數(shù)學(xué)2-1-3分層抽樣2新人教A版必修

2.1.3分層抽樣1.理解分層抽樣的概念.2.掌握分層抽樣的一般步驟.3.區(qū)分簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行抽樣.1.本節(jié)重點(diǎn)是正確理解分層抽樣的定義和步驟.2.本節(jié)難點(diǎn)是靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本，并恰當(dāng)?shù)剡x擇三種抽樣方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的抽樣問題.分層抽樣的有關(guān)概念（1）一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成_________的層，然后按照一定的_____，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法稱為分層抽樣.（2）每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性_____.互不交叉比例相同1.分層抽樣的總體具有什么特性？提示：分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，也就是說當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣.2.一個(gè)班共有54人，其中男女比5∶4,若抽取9人參加教改調(diào)查會，則每個(gè)男同學(xué)被抽取的可能性為_____，每個(gè)女同學(xué)被抽取的可能性為______.【解析】男女每人被抽取的可能性是相同的，因?yàn)槟型瑢W(xué)共有（人），女同學(xué)共有（人）．所以每個(gè)男同學(xué)被抽取的可能性為每個(gè)女同學(xué)被抽取的可能性為答案：3.為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，抽樣方法是_______，如果男生的身高和女生的身高有顯著不同（男生30人，女生20人），抽樣方法是______.【解析】根據(jù)總體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒?答案：簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣4.一個(gè)工廠有若干車間，今采用分層抽樣的方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為128的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查.若一車間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為____________.【解析】設(shè)應(yīng)抽取x件，則∴x=16.答案：16簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較

分層抽樣的概念【技法點(diǎn)撥】分層抽樣的前提和遵循的兩條原則（1）前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽取.（2）遵循的兩條原則：①將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.【典例訓(xùn)練】1.下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（）（A）從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會（B）某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本（C）從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間（D）從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量2.分層抽樣又稱為類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類（層），然后每層各抽若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，必須進(jìn)行（）（A）每層內(nèi)等可能抽樣（B）每層內(nèi)不等可能抽樣（C）所有層用同一抽樣比（D）所有層抽同樣多樣本容量【解析】1.選B.A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．2.選C.由分層抽樣的定義和特點(diǎn)可知，所有層用同一個(gè)抽樣比，等可能抽樣.【想一想】解答題2的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是理解分層抽樣的實(shí)質(zhì)是保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣.

【變式訓(xùn)練】某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中七年級108人，八、九年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案.使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按七、八、九年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號為1，2，…，270，并將整個(gè)編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,60,90,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.其中可能是分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號碼為（）（A）①②（B）②③（C）①③（D）①④【解析】選B.先考慮哪種情況為分層抽樣，分層抽樣需按年級分三層，七年級抽取4人，八、九年級各抽3人，也即1到108號抽4人，109到189號抽3人，190到270號抽3人.可判斷①②③可能是分層抽樣.再判斷①②③中哪幾個(gè)是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣需把1到270號分成均勻的10部分.每部分按事先約定好的方法抽取1個(gè)，則①為系統(tǒng)抽樣.故選B.

分層抽樣的設(shè)計(jì)【技法點(diǎn)撥】分層抽樣的操作步驟第一步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個(gè)體數(shù).第三步，用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體.第四步，將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本.【典例訓(xùn)練】1.將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2．若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取______個(gè)個(gè)體.2.一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程.【解析】1.∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層抽樣應(yīng)從C中抽取答案：202.因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法.具體過程如下：（1）將3萬人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.（2）按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人.（3）按照各層抽取的人數(shù)隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.（4）將300人合到一起，即得到一個(gè)樣本.【互動(dòng)探究】若把題1個(gè)體數(shù)之比改為2∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，其中A層中的個(gè)體數(shù)為16，那么此樣本容量為n=________.【解析】由于A層中的樣本數(shù)為16，A層中的個(gè)體所占的比例為故樣本容量答案：72【思考】如何保證分層抽樣的公平性？提示：（1）分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大且互不重疊.（2）為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣.（3）在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣.【變式訓(xùn)練】某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級機(jī)關(guān)為了了解他們對政府機(jī)構(gòu)的改革意見，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出具體實(shí)施抽取的步驟．【解題指南】根據(jù)副處級干部，一般干部和工人對政府機(jī)構(gòu)改革的意見有明顯差異，這是三類不同的人群，因此應(yīng)采用分層抽樣，按照的比例進(jìn)行分層抽取.【解析】用分層抽樣方法抽?。唧w實(shí)施抽取步驟如下：①∵20∶100＝1∶5，∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．②因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，將他們分別按1～10和1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用先對其按00,01,02，…，69編號，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．③將抽取的2人，4人，14人匯合在一起就得到了容量為20的樣本．

抽樣方法的綜合應(yīng)用【技法點(diǎn)撥】抽樣方法的選取方法（1）若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣.（2）若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣（3）采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體容量N能被樣本容量n整除時(shí)，抽樣間隔為當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時(shí)，先用簡單隨機(jī)抽樣剔除多余個(gè)體，抽樣間隔為【典例訓(xùn)練】1.（2012·瀏陽高一檢測）①學(xué)校為了了解高一學(xué)生的情況，從每班抽2人進(jìn)行座談；②一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人的成績在110分以上，10人的成績在100～110分，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人了解有關(guān)情況；③運(yùn)動(dòng)會服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道.就這三件事，合適的抽樣方法為（）（A）分層抽樣，分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣（B）系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣（C）分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣（D）系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣2.為了考察某學(xué)校的教學(xué)水平，將抽取這個(gè)學(xué)校高三年級的部分學(xué)生本學(xué)年的考試成績進(jìn)行考察，為了全面反映實(shí)際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查（已知該學(xué)校高三年級共有20個(gè)教學(xué)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生按隨機(jī)方式編好了學(xué)號，假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同）：①從全年級20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班，再從該班任意抽取20人，考察他們的學(xué)習(xí)成績；②每個(gè)班都抽取1人，共計(jì)20人，考察這20個(gè)學(xué)生的成績；③把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個(gè)級別，從中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察（已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）．根據(jù)上面的敘述，回答下列問題：（1）上面三種抽取方式中，其總體、個(gè)體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？（2）上面三種抽取方式中各自采用何種抽樣方法？（3）試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．【解析】1.選D.系統(tǒng)抽樣適合總體中個(gè)體數(shù)量比較大的情況.分層抽樣適合總體由差異明顯的幾層組成的.總體中個(gè)體數(shù)比較少的時(shí)候，選用簡單隨機(jī)抽樣.2.（1）三種抽取方式中，其總體都是高三全體學(xué)生本學(xué)年的考試成績，個(gè)體都是指高三年級每個(gè)學(xué)生本學(xué)年的考試成績．第一種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中，樣本為所抽取的100名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為100.（2）三種抽取方式中，第一種方式采用的是簡單隨機(jī)抽樣法；第二種方式采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機(jī)抽樣法；第三種方式采用的是分層抽樣法和簡單隨機(jī)抽樣法．（3）第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這20個(gè)班中用抽簽法任意抽取一個(gè)班；第二步：從這個(gè)班中按學(xué)號用隨機(jī)數(shù)法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績．第二種方式抽樣的步驟如下：各個(gè)班的學(xué)生按1，2，3，…編號；第一步：在第一個(gè)班中，用簡單隨機(jī)抽樣法任意抽取某一學(xué)生，記其編號為a；第二步：在其余的19個(gè)班中，選取編號為a的學(xué)生，共計(jì)20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層．若按成績分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，總體由差異明顯的三部分組成，所以在抽取樣本時(shí)，應(yīng)把全體學(xué)生分成三個(gè)層次．第二步：確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)．因?yàn)闃颖救萘颗c總體個(gè)體數(shù)的比為100∶1000＝1∶10，所以在每個(gè)層次抽取的個(gè)體數(shù)依次為即15,60,25.第三步：按層次分別抽?。趦?yōu)秀生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取15人；在良好生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取60人；在普通生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取25人．【思考】解決題1的關(guān)鍵點(diǎn)以及題2中易發(fā)生何種失誤？提示：（1）解決題1的關(guān)鍵點(diǎn)是弄清各種抽樣的適用條件.（2）在解答題2中易對采用哪種抽樣方式判斷失誤.【變式訓(xùn)練】某批零件共160個(gè)，其中一級品有48個(gè)，二級品有64個(gè)，三級品有32個(gè)，等外品有16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.試簡要敘述用簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣法進(jìn)行抽樣都是等可能抽樣.【解析】（1）簡單隨機(jī)抽樣法：可采用抽簽法，將160個(gè)零件按1～160編號，相應(yīng)地制作1～160號的160個(gè)號簽，從中隨機(jī)抽20個(gè)即可.每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為即每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件按1～160編號，按編號順序分成20組，每組8個(gè).先在第一組用抽簽法抽得k號（1≤k≤8），則在其余組中分別抽得第k+8n（n=1,2,3,…,19）號，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為即每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.（3）分層抽樣法：按比例分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為即都是每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.綜上所述，無論采取哪種抽樣，總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是

分層抽樣的應(yīng)用【技法點(diǎn)撥】分層抽樣的簡單應(yīng)用（1）分層抽樣法的應(yīng)用主要包括如何進(jìn)行分層、分幾層、每層應(yīng)抽取多少個(gè)體等．（2）分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是均等的．由于分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)，可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用．【典例訓(xùn)練】1.某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人.為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.按照分層抽樣方法抽取樣本，各種血型的人所抽的數(shù)目分別為_________.2.某中學(xué)高中學(xué)生有900名，學(xué)校要從中選出9名同學(xué)作為國慶60周年慶祝活動(dòng)的志愿者．已知高一有400名學(xué)生，高二有300名學(xué)生，高三有200名學(xué)生．為了保證每名同學(xué)都有參與的資格，學(xué)校采用分層抽樣的方法抽取，求高一、高二、高三分別抽取學(xué)生的人數(shù)．【解析】1.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.答案：8,5,5,22.樣本容量與總體容量的比為：所以在高一年級應(yīng)抽取在高二年級應(yīng)抽?。ㄈ耍诟呷昙墤?yīng)抽?。ㄈ耍?，即高一、高二、高三分別抽取學(xué)生的人數(shù)為4人、3人、2人．【易錯(cuò)誤區(qū)】抽樣方法中考慮不全致誤【典例】某單位有工程師6人,技術(shù)員12人,技工18人,要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取,不用剔除個(gè)體;如果樣本容量增加1個(gè),則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí),需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體,求得樣本容量為_______.【解題指導(dǎo)】【解析】總體容量N=36人.當(dāng)樣本容量為n時(shí),系統(tǒng)抽樣間隔為，所以n是36的約數(shù)；分層抽樣的抽樣比為求得工程師、技術(shù)員、技工的抽樣人數(shù)分別為所以n應(yīng)是6的倍數(shù),所以n=6或12或18或36①.當(dāng)樣本容量為n+1時(shí),總體中先剔除1人時(shí)還有35人,系統(tǒng)抽樣間隔為所以n只能是6.答案：6【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：（注：此處的①②見解析過程）【即時(shí)訓(xùn)練】今年“3·15”，某報(bào)社做了一次關(guān)于“什么是新時(shí)代的雷鋒精神？”的調(diào)查，在A，B，C，D四個(gè)單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，共回收1000份.因報(bào)道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本.若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是_________份．【解析】因?yàn)锳，B，C，D四個(gè)單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，故四個(gè)單位抽取容量也成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則A，B，C，D四個(gè)單位抽取容量分別為：30-d，30，30+d，30+2d，所以30-d+30+30+d+30+2d=150，d=15，所以在D單位抽取的問卷是60份.答案：601.一個(gè)年級有12個(gè)班，每個(gè)班的同學(xué)從1至50排學(xué)號，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是（）（A）分層抽樣（B）抽簽抽樣（C）隨機(jī)抽樣（D）系統(tǒng)抽樣【解析】選D.依