高中數(shù)學(xué)2-1-3分層抽樣2新人教A版必修

2.1.3分層抽樣1.理解分層抽樣的概念.2.掌握分層抽樣的一般步驟.3.區(qū)分簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，并選擇適當?shù)姆椒ㄟM行抽樣.1.本節(jié)重點是正確理解分層抽樣的定義和步驟.2.本節(jié)難點是靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本，并恰當?shù)剡x擇三種抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的抽樣問題.分層抽樣的有關(guān)概念（1）一般地，在抽樣時，將總體分成_________的層，然后按照一定的_____，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法稱為分層抽樣.（2）每個個體被抽中的可能性_____.互不交叉比例相同1.分層抽樣的總體具有什么特性？提示：分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，也就是說當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣.2.一個班共有54人，其中男女比5∶4,若抽取9人參加教改調(diào)查會，則每個男同學(xué)被抽取的可能性為_____，每個女同學(xué)被抽取的可能性為______.【解析】男女每人被抽取的可能性是相同的，因為男同學(xué)共有（人），女同學(xué)共有（人）．所以每個男同學(xué)被抽取的可能性為每個女同學(xué)被抽取的可能性為答案：3.為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，抽樣方法是_______，如果男生的身高和女生的身高有顯著不同（男生30人，女生20人），抽樣方法是______.【解析】根據(jù)總體特點選擇恰當?shù)某闃臃椒?答案：簡單隨機抽樣分層抽樣4.一個工廠有若干車間，今采用分層抽樣的方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個容量為128的樣本進行質(zhì)量檢查.若一車間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為____________.【解析】設(shè)應(yīng)抽取x件，則∴x=16.答案：16簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較

分層抽樣的概念【技法點撥】分層抽樣的前提和遵循的兩條原則（1）前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽取.（2）遵循的兩條原則：①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.【典例訓(xùn)練】1.下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（）（A）從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會（B）某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125個，中等收入的家庭280個，低收入的家庭95個，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本（C）從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間（D）從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量2.分層抽樣又稱為類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然后每層各抽若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，必須進行（）（A）每層內(nèi)等可能抽樣（B）每層內(nèi)不等可能抽樣（C）所有層用同一抽樣比（D）所有層抽同樣多樣本容量【解析】1.選B.A中總體個體無明顯差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體個體無明顯差異且個數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個體差異明顯，適合用分層抽樣．2.選C.由分層抽樣的定義和特點可知，所有層用同一個抽樣比，等可能抽樣.【想一想】解答題2的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是理解分層抽樣的實質(zhì)是保證每個個體等可能入樣.

【變式訓(xùn)練】某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中七年級108人，八、九年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案.使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按七、八、九年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,60,90,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.其中可能是分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號碼為（）（A）①②（B）②③（C）①③（D）①④【解析】選B.先考慮哪種情況為分層抽樣，分層抽樣需按年級分三層，七年級抽取4人，八、九年級各抽3人，也即1到108號抽4人，109到189號抽3人，190到270號抽3人.可判斷①②③可能是分層抽樣.再判斷①②③中哪幾個是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣需把1到270號分成均勻的10部分.每部分按事先約定好的方法抽取1個，則①為系統(tǒng)抽樣.故選B.

分層抽樣的設(shè)計【技法點撥】分層抽樣的操作步驟第一步，計算樣本容量與總體的個體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數(shù).第三步，用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個體.第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本.【典例訓(xùn)練】1.將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2．若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取______個個體.2.一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程.【解析】1.∵A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層抽樣應(yīng)從C中抽取答案：202.因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法.具體過程如下：（1）將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.（2）按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人.（3）按照各層抽取的人數(shù)隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.（4）將300人合到一起，即得到一個樣本.【互動探究】若把題1個體數(shù)之比改為2∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，其中A層中的個體數(shù)為16，那么此樣本容量為n=________.【解析】由于A層中的樣本數(shù)為16，A層中的個體所占的比例為故樣本容量答案：72【思考】如何保證分層抽樣的公平性？提示：（1）分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大且互不重疊.（2）為了保證每個個體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣.（3）在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣.【變式訓(xùn)練】某政府機關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級機關(guān)為了了解他們對政府機構(gòu)的改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出具體實施抽取的步驟．【解題指南】根據(jù)副處級干部，一般干部和工人對政府機構(gòu)改革的意見有明顯差異，這是三類不同的人群，因此應(yīng)采用分層抽樣，按照的比例進行分層抽取.【解析】用分層抽樣方法抽取．具體實施抽取步驟如下：①∵20∶100＝1∶5，∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．②因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，將他們分別按1～10和1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用先對其按00,01,02，…，69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人．③將抽取的2人，4人，14人匯合在一起就得到了容量為20的樣本．

抽樣方法的綜合應(yīng)用【技法點撥】抽樣方法的選取方法（1）若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣.（2）若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.當總體容量較小時宜用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法；當總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣（3）采用系統(tǒng)抽樣時，當總體容量N能被樣本容量n整除時，抽樣間隔為當總體容量不能被樣本容量整除時，先用簡單隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為【典例訓(xùn)練】1.（2012·瀏陽高一檢測）①學(xué)校為了了解高一學(xué)生的情況，從每班抽2人進行座談；②一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人的成績在110分以上，10人的成績在100～110分，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人了解有關(guān)情況；③運動會服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道.就這三件事，合適的抽樣方法為（）（A）分層抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣（B）系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣（C）分層抽樣，簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣（D）系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣2.為了考察某學(xué)校的教學(xué)水平，將抽取這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生本學(xué)年的考試成績進行考察，為了全面反映實際情況，采取以下三種方式進行抽查（已知該學(xué)校高三年級共有20個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生按隨機方式編好了學(xué)號，假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同）：①從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班任意抽取20人，考察他們的學(xué)習(xí)成績；②每個班都抽取1人，共計20人，考察這20個學(xué)生的成績；③把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中共抽取100名學(xué)生進行考察（已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）．根據(jù)上面的敘述，回答下列問題：（1）上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？（2）上面三種抽取方式中各自采用何種抽樣方法？（3）試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．【解析】1.選D.系統(tǒng)抽樣適合總體中個體數(shù)量比較大的情況.分層抽樣適合總體由差異明顯的幾層組成的.總體中個體數(shù)比較少的時候，選用簡單隨機抽樣.2.（1）三種抽取方式中，其總體都是高三全體學(xué)生本學(xué)年的考試成績，個體都是指高三年級每個學(xué)生本學(xué)年的考試成績．第一種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中，樣本為所抽取的100名學(xué)生本學(xué)年的考試成績，樣本容量為100.（2）三種抽取方式中，第一種方式采用的是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法；第三種方式采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法．（3）第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這20個班中用抽簽法任意抽取一個班；第二步：從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績．第二種方式抽樣的步驟如下：各個班的學(xué)生按1，2，3，…編號；第一步：在第一個班中，用簡單隨機抽樣法任意抽取某一學(xué)生，記其編號為a；第二步：在其余的19個班中，選取編號為a的學(xué)生，共計20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層．若按成績分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，總體由差異明顯的三部分組成，所以在抽取樣本時，應(yīng)把全體學(xué)生分成三個層次．第二步：確定各個層次抽取的人數(shù)．因為樣本容量與總體個體數(shù)的比為100∶1000＝1∶10，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為即15,60,25.第三步：按層次分別抽?。趦?yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取15人；在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人；在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人．【思考】解決題1的關(guān)鍵點以及題2中易發(fā)生何種失誤？提示：（1）解決題1的關(guān)鍵點是弄清各種抽樣的適用條件.（2）在解答題2中易對采用哪種抽樣方式判斷失誤.【變式訓(xùn)練】某批零件共160個，其中一級品有48個，二級品有64個，三級品有32個，等外品有16個.從中抽取一個容量為20的樣本.試簡要敘述用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣法進行抽樣都是等可能抽樣.【解析】（1）簡單隨機抽樣法：可采用抽簽法，將160個零件按1～160編號，相應(yīng)地制作1～160號的160個號簽，從中隨機抽20個即可.每個個體被抽到的概率為即每個個體被抽到的可能性相同.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件按1～160編號，按編號順序分成20組，每組8個.先在第一組用抽簽法抽得k號（1≤k≤8），則在其余組中分別抽得第k+8n（n=1,2,3,…,19）號，每個個體被抽到的概率為即每個個體被抽到的可能性相同.（3）分層抽樣法：按比例分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取每個個體被抽到的概率分別為即都是每個個體被抽到的可能性相同.綜上所述，無論采取哪種抽樣，總體中每個個體被抽到的概率都是

分層抽樣的應(yīng)用【技法點撥】分層抽樣的簡單應(yīng)用（1）分層抽樣法的應(yīng)用主要包括如何進行分層、分幾層、每層應(yīng)抽取多少個體等．（2）分層抽樣時，每個個體被抽到的機會是均等的．由于分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時，可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應(yīng)用．【典例訓(xùn)練】1.某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人.為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為20的樣本.按照分層抽樣方法抽取樣本，各種血型的人所抽的數(shù)目分別為_________.2.某中學(xué)高中學(xué)生有900名，學(xué)校要從中選出9名同學(xué)作為國慶60周年慶?；顒拥闹驹刚撸阎咭挥?00名學(xué)生，高二有300名學(xué)生，高三有200名學(xué)生．為了保證每名同學(xué)都有參與的資格，學(xué)校采用分層抽樣的方法抽取，求高一、高二、高三分別抽取學(xué)生的人數(shù)．【解析】1.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.答案：8,5,5,22.樣本容量與總體容量的比為：所以在高一年級應(yīng)抽取在高二年級應(yīng)抽?。ㄈ耍?，在高三年級應(yīng)抽?。ㄈ耍?，即高一、高二、高三分別抽取學(xué)生的人數(shù)為4人、3人、2人．【易錯誤區(qū)】抽樣方法中考慮不全致誤【典例】某單位有工程師6人,技術(shù)員12人,技工18人,要從這些人中抽取一個容量為n的樣本，如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取,不用剔除個體;如果樣本容量增加1個,則在采用系統(tǒng)抽樣時,需要在總體中先剔除1個個體,求得樣本容量為_______.【解題指導(dǎo)】【解析】總體容量N=36人.當樣本容量為n時,系統(tǒng)抽樣間隔為，所以n是36的約數(shù)；分層抽樣的抽樣比為求得工程師、技術(shù)員、技工的抽樣人數(shù)分別為所以n應(yīng)是6的倍數(shù),所以n=6或12或18或36①.當樣本容量為n+1時,總體中先剔除1人時還有35人,系統(tǒng)抽樣間隔為所以n只能是6.答案：6【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結(jié)如下：（注：此處的①②見解析過程）【即時訓(xùn)練】今年“3·15”，某報社做了一次關(guān)于“什么是新時代的雷鋒精神？”的調(diào)查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，共回收1000份.因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本.若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是_________份．【解析】因為A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，故四個單位抽取容量也成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則A，B，C，D四個單位抽取容量分別為：30-d，30，30+d，30+2d，所以30-d+30+30+d+30+2d=150，d=15，所以在D單位抽取的問卷是60份.答案：601.一個年級有12個班，每個班的同學(xué)從1至50排學(xué)號，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗，要求每班學(xué)號為14的同學(xué)留下進行交流，這里運用的是（）（A）分層抽樣（B）抽簽抽樣（C）隨機抽樣（D）系統(tǒng)抽樣【解析】選D.依