數(shù)理方程與特殊函數(shù)

數(shù)理方程與特殊函數(shù)第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§10.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程導(dǎo)出步驟如下：(2)把這種影響用算式表達(dá)出來(lái)，經(jīng)分析簡(jiǎn)化整理

就是數(shù)學(xué)物理方程。(1)確定所要研究的物理量u

,從研究的系統(tǒng)中

劃出一小部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和

這個(gè)小部分的相互作用，這種相互作用在一個(gè)

短時(shí)間里怎樣影響物理量u

；第二十四章數(shù)學(xué)物理方程和

定解條件的推導(dǎo)第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、弦的微小橫振動(dòng)方程所謂“橫向振動(dòng)”是指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)平面上，而且弦上的點(diǎn)沿垂直于弦所在直線方向上運(yùn)動(dòng).“微小”意味著可以認(rèn)為弦在振動(dòng)過(guò)程中并未伸長(zhǎng).下面求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.設(shè)有一根均勻柔軟的弦，兩端拉緊固定.它在不振動(dòng)時(shí)是一條直線,取這直線為x軸,建立坐標(biāo)系.弦上各點(diǎn)的橫向位置u是位置x和時(shí)間t的函數(shù)，記作u(x,t).第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六把弦細(xì)分成許多極小的小段，取區(qū)間(x,x+dx)

上的一小段AB為代表加以研究.由于弦是柔軟的，所以張力的方向總是沿著弦的切線方向.受力分析：作用在弦兩端的張力T1和T2

重力（忽略不計(jì)）1a第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)弦的線密度為r,由牛頓第二定律，得AB段的橫向運(yùn)動(dòng)方程AB的長(zhǎng)度在微小振動(dòng)條件下其中第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于微小振動(dòng)，因?yàn)樗杂屑从写肫胶夥匠袒?jiǎn)，得第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（24.4)可改寫為：整理得：對(duì)均勻弦，各小段的密度r是相同的，即r為常數(shù)，引用,把弦振動(dòng)方程改寫成：第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若弦在振動(dòng)過(guò)程中還受到外力的作用，設(shè)作用在單位長(zhǎng)度上的橫向力是則式（24.2)應(yīng)修正為：（24.6)式相應(yīng)地修改為其中第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六方程（24.7)的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的項(xiàng)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng).包括有非零自由項(xiàng)的方程為非齊次方程，自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程.均勻桿的縱振動(dòng)方程跟弦振動(dòng)方程形式上完全一樣.自由振動(dòng)受迫振動(dòng)波動(dòng)方程第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、擴(kuò)散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散.擴(kuò)散問(wèn)題研究的是濃度u在空間分布和時(shí)間中的變化濃度不均勻的程度一般用濃度梯度表示.擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱通常用單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面的原子數(shù)或分子數(shù)表示，稱為擴(kuò)散流強(qiáng)度.記為q.引起擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的原因是濃度分布不均勻，第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六擴(kuò)散流強(qiáng)度和濃度梯度的關(guān)系，用擴(kuò)散定律表示為：這里負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散轉(zhuǎn)移方向（濃度減少的方向）與濃度梯度（濃度增大的方向）相反，比例系數(shù)D叫擴(kuò)散系數(shù).設(shè)細(xì)桿的截面積為常數(shù)A,又設(shè)它的側(cè)面絕熱.作為一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，考慮一根均勻細(xì)桿內(nèi)熱量傳播的過(guò)程.由于桿很細(xì)，在任何時(shí)刻都可以把橫截面上的溫度視為相同.這是一個(gè)一維的情形.即熱量只能沿長(zhǎng)度方向傳導(dǎo)，第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Oxxx+Dx考察在時(shí)間間隔t

到t+Dt

內(nèi)，細(xì)桿上x(chóng)

到x+Dx小段的熱量流動(dòng)情況.設(shè)細(xì)桿比熱為c,面密度為r，此段質(zhì)量為rADx.Dt內(nèi)該段溫度升高u(x,t+Dt)-u(x,t)引起該段溫度升高所需的熱量為第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六另一方面，由熱傳導(dǎo)理論，傅立葉實(shí)驗(yàn)定律——物體在無(wú)窮小時(shí)間段dt內(nèi),流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt,曲面面積dS以及物體溫度u沿曲面dS的外法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比,即其中k>0為熱傳導(dǎo)系數(shù).負(fù)號(hào)表示熱量從高溫處流向低溫處.Oxxx+Dx第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六流入該小段的熱量同樣，在Dt

時(shí)間內(nèi)，流出x+Dx

截面的熱量（中值定理）另一方面，由熱傳導(dǎo)理論，在Dt

時(shí)間內(nèi)，沿Ox

軸正向流入x

截面的熱量第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由熱平衡方程，可得令Dx0，

Dt0，得到這就是一維熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)桿內(nèi)有熱源時(shí)，若此熱源的密度為F(x,t)，即在t時(shí)刻,x處單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度上所放出(或吸收)的熱量，得到第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一維擴(kuò)散方程形式為三維擴(kuò)散方程的形式為當(dāng)D為常數(shù)時(shí)，則(24.17)可化為即第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、穩(wěn)定濃度分布擴(kuò)散達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，空間中各點(diǎn)的濃度不再隨時(shí)間變化，即ut=0.于是三維擴(kuò)散方程（24.17)成為濃度的穩(wěn)定分布方程如果擴(kuò)散系數(shù)D在空間中是均勻的，則（24.18)可化為拉普拉斯(Laplace)方程第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§10.2定解條件一、初始條件對(duì)于運(yùn)輸過(guò)程（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是所研究的物理量u的初始分布（初始濃度分布，初始溫度分布），因此初始條件是：其中為已知函數(shù).第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于振動(dòng)過(guò)程（如：弦，桿等振動(dòng)），要給初始還要給出初始速度還有一類“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”，如拉普拉斯方程等是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，所以不提初始條件.“位移”第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、邊界條件1.固定端，此時(shí)對(duì)應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為2.自由端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)不受位移方向的力，從而在這個(gè)端點(diǎn)弦在位移方向張力為零，即從弦振動(dòng)問(wèn)題出發(fā)，弦在振動(dòng)時(shí)，其端點(diǎn)（以x=a表示這個(gè)端點(diǎn)）所受的約束情況，通常有三種類型第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六或3.彈性支承端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支承.第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六或3.彈性支承端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支承.設(shè)彈性支承原來(lái)的位置為u=0,則就表示彈性支承的應(yīng)變.由虎克（Hooke)定律知，弦在x=a處沿位移方向張力從而第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六總之，不論對(duì)弦振動(dòng)問(wèn)題，還是熱傳導(dǎo)問(wèn)題，它們所對(duì)應(yīng)的邊界條件，不外有三種類型：1.在邊界上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值，即這種形式的邊界條件稱為第一類邊界條件，2.在邊界上給出了未知函數(shù)u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù)，即又稱為狄里克萊(Dirichlet)邊界條件；第28頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這種形式的邊界條件稱為第二類邊界條件，又稱為紐曼（Neumann)邊界條件；3.在邊界上給出了未知函數(shù)u及其沿S的外法向微商某種線性組合的值，即這種形式的邊界條件稱為第三類邊界條件，又稱為洛平（Robin)邊界