基于GLM的未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性鏈梯法

基于GLM的未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性鏈梯法

一、引言1972年Nelder和Wedderburn提出了廣義線性模型（GeneralizedLinearModels，GLM）[1]，至今已有近40年的歷史。GLM從兩方面對(duì)傳統(tǒng)的線性模型進(jìn)行了擴(kuò)展：一是對(duì)常見(jiàn)的各種線性模型進(jìn)行了統(tǒng)一的處理，二是將變量分布從正態(tài)分布擴(kuò)展到更廣泛的分布類。至今GLM已應(yīng)用于眾多領(lǐng)域。但相對(duì)于其他領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，GLM在精算領(lǐng)域中的應(yīng)用研究歷史較短，研究?jī)?nèi)容有待系統(tǒng)深入。在非壽險(xiǎn)精算領(lǐng)域，保險(xiǎn)數(shù)據(jù)往往不服從正態(tài)分布，GLM非常適合分析這類數(shù)據(jù)。在非壽險(xiǎn)精算學(xué)中，某些很早就出現(xiàn)并得以廣泛應(yīng)用的估計(jì)方法（如Bailey-Simon方法或最小偏差方法、邊際求和方法、最小二乘估計(jì)方法以及其他一些直觀的處理方法等），實(shí)際上正是某些特殊的GLM的應(yīng)用，關(guān)于這方面的文獻(xiàn)可以參考Feldblum和Brosius（2002）[2]，Schmidt和Wünsche（1998）[3]。非壽險(xiǎn)未決賠款準(zhǔn)備金的評(píng)估，無(wú)論從理論上還是方法上都存在很多復(fù)雜的難點(diǎn)，有待進(jìn)一步深入研究。從國(guó)際精算實(shí)務(wù)的發(fā)展歷史來(lái)看，對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金的評(píng)估，很多年以來(lái)一直沿用傳統(tǒng)的確定性方法。目前在國(guó)際精算實(shí)務(wù)中，對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金的評(píng)估不再僅局限于孤立的點(diǎn)估計(jì)，而要開(kāi)始涉及最佳估計(jì)和估計(jì)區(qū)間的概念，而為了從理論上闡述這些概念，就需要深入研究未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的各種隨機(jī)性模型與方法?；贕LM的未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法是當(dāng)前國(guó)際精算理論研究的熱點(diǎn)，關(guān)于這方面的文獻(xiàn)可以參考Renshaw和Verrall（1998）[4]，England和Verrall（2002，2007）[5][6]，WüthrichandMerz（2008）[7]①，張連增（2008）[8]②等等。在未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的各種隨機(jī)性方法中，Mack方法是一種非參數(shù)隨機(jī)鏈梯法，該方法直接對(duì)傳統(tǒng)鏈梯法的假設(shè)步驟建立隨機(jī)模型，而且沒(méi)有具體的賠款額分布假設(shè)。利用Mack模型可以得到未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)均方誤差（MSEP），由于MSEP只考慮了一階矩和二階矩（TaylorandAshe，1983）[9]，對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金的波動(dòng)性度量還不是很充分。以下考慮參數(shù)隨機(jī)性方法，在GLM框架下研究未決賠款準(zhǔn)備金的MSEP的估計(jì)問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合模型假設(shè)，提出了兩種思路，在過(guò)度分散泊松模型中，分別應(yīng)用參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法，得到兩種方法下未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布，進(jìn)而由該分布得到各個(gè)分位數(shù)以及相關(guān)的分布度量（如均值、方差、分位數(shù)等），并通過(guò)精算實(shí)務(wù)中的數(shù)值實(shí)例應(yīng)用R軟件加以實(shí)證分析。二、廣義線性模型的基本框架（一）模型結(jié)構(gòu)3.響應(yīng)函數(shù)和聯(lián)結(jié)函數(shù)。隨機(jī)部分和系統(tǒng)部分之間可以通過(guò)一個(gè)響應(yīng)函數(shù)h（·）聯(lián)結(jié)起來(lái)，如式（4）所示：（三）模型參數(shù)估計(jì)三、基于過(guò)度分散泊松分布的隨機(jī)性鏈梯法（一）隨機(jī)性鏈梯法的模型假設(shè)這里選擇這種特殊的GLM是有兩方面的考慮：（1）在過(guò)度分散泊松模型中，極大似然估計(jì)法和由鏈梯法得到的未決賠款準(zhǔn)備金是相同的[10]。（2）該模型假設(shè)不同事故年i、不同進(jìn)展年j的增量賠款額滿足一種乘積結(jié)構(gòu)，即同時(shí)考慮了由事故年決定的效應(yīng)和由進(jìn)展年決定的效應(yīng)，它們之間滿足一種乘積結(jié)構(gòu)，比較直觀自然。（二）在過(guò)度分散泊松模型中應(yīng)用Bootstrap方法模擬預(yù)測(cè)方布的兩種基本思路1.應(yīng)用參數(shù)Bootstrap方法模擬預(yù)測(cè)分布的基本思路。其中，N表示已有數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；p=I+J+1，用來(lái)表示模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)。（5）多次Bootstrap再抽樣后，可得到未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測(cè)分布，進(jìn)而得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等相關(guān)的分布度量?？紤]到一般情況下，抽樣1萬(wàn)次即可獲得較滿意的參數(shù)估計(jì)值，一般將抽樣次數(shù)定為1萬(wàn)次。2.應(yīng)用非參數(shù)Bootstrap方法模擬預(yù)測(cè)分布的基本思路。如上所述，對(duì)于GLM中的過(guò)度分散泊松模型，由極大似然估計(jì)法和由鏈梯法得到的未決賠款準(zhǔn)備金是相同的。當(dāng)選擇的殘差類型一致時(shí)，在過(guò)度分散泊松模型中分別應(yīng)用參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法，得到的結(jié)果應(yīng)是接近的，而且應(yīng)用非參數(shù)Bootstrap方法時(shí)，處理更直觀。其基本思路如下：（1）對(duì)給定的累計(jì)賠款數(shù)據(jù)（上三角數(shù)據(jù)），應(yīng)用鏈梯法，估計(jì)各事故年在每個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額，進(jìn)而得到未決賠款準(zhǔn)備金的均值估計(jì)。（2）保持最近日歷年累計(jì)賠款數(shù)據(jù)（對(duì)角線數(shù)據(jù)）不變，由累計(jì)進(jìn)展因子和對(duì)角線數(shù)據(jù)，逆向計(jì)算③，得到以往每個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額的擬合值，然后得到上三角數(shù)據(jù)的增量擬合值，此值與給定的增量賠款之差就是殘差。默認(rèn)選定Pearson殘差。（3）這里對(duì)殘差進(jìn)行了調(diào)整④，然后對(duì)調(diào)整后的殘差進(jìn)行Bootstrap再抽樣，其后對(duì)Bootstrap再抽樣進(jìn)行變換，得到模擬的增量賠款（上三角），進(jìn)而得到模擬的累計(jì)賠款。（4）應(yīng)用鏈梯法，計(jì)算相應(yīng)的模擬累計(jì)賠款（下三角），從每次模擬得到的累計(jì)賠款（下三角）計(jì)算對(duì)應(yīng)的增量賠款（下三角），這些模擬的增量賠款（i+j>I）求和即得到未決賠款準(zhǔn)備金的均值估計(jì)。（6）對(duì)調(diào)整后的殘差每次進(jìn)行Bootstrap再抽樣，重復(fù)以上過(guò)程。多次Bootstrap再抽樣后，可得到未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測(cè)分布，進(jìn)而得到各種相關(guān)的分布度量。（三）預(yù)測(cè)均方誤差的估計(jì)1.利用解析表示估計(jì)MSEP。通常使用MSEP來(lái)描述未決賠款準(zhǔn)備金的不確定性。應(yīng)用GLM的一般理論和方法，可以計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金的MSEP。由于過(guò)度分散泊松分布屬于EDF，不失一般性，下面在增量賠款額服從EDF的分布假設(shè)下，分別給出條件MSEP和無(wú)條件MSEP的估計(jì)，其條件MSEP的估計(jì)量如式（17）所示。由式（2）可得：對(duì)式（18）兩邊取期望，得到無(wú)條件MSEP⑤的估計(jì)量為：2.兩種Bootstrap方法中MSEP的估計(jì)。在應(yīng)用Bootstrap方法計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測(cè)分布的過(guò)程中，同時(shí)也可以得到MSEP的估計(jì)。其中，參數(shù)誤差采用Bootstrap模擬得到。為了得到Bootstrap的參數(shù)誤差，需要多次重復(fù)上述過(guò)程，得到一系列未決賠款準(zhǔn)備金的均值的估計(jì)值，Bootstrap的參數(shù)誤差就是多次Bootstrap模擬的未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值的樣本方差。按照過(guò)度分散泊松分布假設(shè)，過(guò)程方差可通過(guò)分散參數(shù)φ乘以鏈梯法得到的未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值得到。值得注意的是，在應(yīng)用非參數(shù)Bootstrap方法估計(jì)MSEP時(shí)，通常在Bootstrap模擬過(guò)程中對(duì)殘差進(jìn)行放回性抽樣時(shí)，不考慮被估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，這會(huì)導(dǎo)致參數(shù)誤差被低估。為修正估計(jì)偏差，需要考慮參數(shù)個(gè)數(shù)p。原始的殘差乘以因子就得到調(diào)整后的殘差，利用調(diào)整后的殘差重抽樣得到參數(shù)誤差。（四）非參數(shù)Bootstrap方法模擬預(yù)測(cè)分布的合理處理四、實(shí)證分析表1是累計(jì)賠款數(shù)據(jù)⑦。按照第三部分的思路分別給出利用解析表示、參數(shù)Bootstrap方法、非參數(shù)Bootstrap方法估計(jì)的MSEP。對(duì)其結(jié)果進(jìn)行比較，并進(jìn)一步地給出利用兩種Bootstrap方法模擬得到的未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布和相關(guān)的分布特征，這里采用R語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)。表2～4分別給出了利用解析表示、參數(shù)Bootstrap方法、非參數(shù)Bootstrap方法估計(jì)的MSEP。其中，過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差是過(guò)程方差的平方根，預(yù)測(cè)誤差[1]是除以鏈梯法估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金得到的。圖1給出了兩種Bootstrap方法模擬得到的未決賠款準(zhǔn)備金總額的完整的預(yù)測(cè)分布，其中，上圖是基于參數(shù)Bootstrap方法模擬的預(yù)測(cè)分布，下圖是基于非參數(shù)Bootstrap方法模擬的預(yù)測(cè)分布，其對(duì)應(yīng)的分布特征如表5所示。五、研究結(jié)論1.從表3、4可以看出，無(wú)論是利用參數(shù)Boot-strap方法，還是利用非參數(shù)Bootstrap方法，其預(yù)測(cè)均方誤差都隨著事故年已知信息的減少而增大，這與表2中采用解析表示估計(jì)得到的結(jié)論是一致的。當(dāng)已知的信息越少時(shí)，估計(jì)的誤差就會(huì)越大，精度就會(huì)降低。2.從表3、4可以看出，兩種Bootstrap方法得到的參數(shù)誤差、過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差、預(yù)測(cè)均方誤差都與解析表示估計(jì)的結(jié)果很接近，另外預(yù)測(cè)誤差都較小。具體來(lái)說(shuō)，非參數(shù)Bootstrap方法得到的MSEP略低于解析表示的估計(jì)值，參數(shù)Bootstrap方法得到的MSEP略高于解析表示的估計(jì)值。3.本文在采用非參數(shù)Bootstrap方法時(shí)，是對(duì)調(diào)整后的Pearson殘差進(jìn)行重抽樣，這種處理方式可以同時(shí)得到未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)均方誤差和預(yù)測(cè)分布，對(duì)準(zhǔn)備金的波動(dòng)性度量更加完善。注釋：①作為國(guó)際上第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法的專著，其中包括了關(guān)于GLM應(yīng)用于準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法的一些內(nèi)容。②《未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性模型與方法》基本涵蓋了當(dāng)前國(guó)際精算研究中未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性模型與方法的各個(gè)分支，并對(duì)已有文獻(xiàn)進(jìn)行了