基于GLM的未決賠款準備金評估的隨機性鏈梯法

基于GLM的未決賠款準備金評估的隨機性鏈梯法

一、引言1972年Nelder和Wedderburn提出了廣義線性模型（GeneralizedLinearModels，GLM）[1]，至今已有近40年的歷史。GLM從兩方面對傳統(tǒng)的線性模型進行了擴展：一是對常見的各種線性模型進行了統(tǒng)一的處理，二是將變量分布從正態(tài)分布擴展到更廣泛的分布類。至今GLM已應用于眾多領域。但相對于其他領域來說，GLM在精算領域中的應用研究歷史較短，研究內(nèi)容有待系統(tǒng)深入。在非壽險精算領域，保險數(shù)據(jù)往往不服從正態(tài)分布，GLM非常適合分析這類數(shù)據(jù)。在非壽險精算學中，某些很早就出現(xiàn)并得以廣泛應用的估計方法（如Bailey-Simon方法或最小偏差方法、邊際求和方法、最小二乘估計方法以及其他一些直觀的處理方法等），實際上正是某些特殊的GLM的應用，關于這方面的文獻可以參考Feldblum和Brosius（2002）[2]，Schmidt和Wünsche（1998）[3]。非壽險未決賠款準備金的評估，無論從理論上還是方法上都存在很多復雜的難點，有待進一步深入研究。從國際精算實務的發(fā)展歷史來看，對未決賠款準備金的評估，很多年以來一直沿用傳統(tǒng)的確定性方法。目前在國際精算實務中，對未決賠款準備金的評估不再僅局限于孤立的點估計，而要開始涉及最佳估計和估計區(qū)間的概念，而為了從理論上闡述這些概念，就需要深入研究未決賠款準備金評估的各種隨機性模型與方法。基于GLM的未決賠款準備金評估隨機性方法是當前國際精算理論研究的熱點，關于這方面的文獻可以參考Renshaw和Verrall（1998）[4]，England和Verrall（2002，2007）[5][6]，WüthrichandMerz（2008）[7]①，張連增（2008）[8]②等等。在未決賠款準備金評估的各種隨機性方法中，Mack方法是一種非參數(shù)隨機鏈梯法，該方法直接對傳統(tǒng)鏈梯法的假設步驟建立隨機模型，而且沒有具體的賠款額分布假設。利用Mack模型可以得到未決賠款準備金的預測均方誤差（MSEP），由于MSEP只考慮了一階矩和二階矩（TaylorandAshe，1983）[9]，對未決賠款準備金的波動性度量還不是很充分。以下考慮參數(shù)隨機性方法，在GLM框架下研究未決賠款準備金的MSEP的估計問題，在此基礎上，結合模型假設，提出了兩種思路，在過度分散泊松模型中，分別應用參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法，得到兩種方法下未決賠款準備金的預測分布，進而由該分布得到各個分位數(shù)以及相關的分布度量（如均值、方差、分位數(shù)等），并通過精算實務中的數(shù)值實例應用R軟件加以實證分析。二、廣義線性模型的基本框架（一）模型結構3.響應函數(shù)和聯(lián)結函數(shù)。隨機部分和系統(tǒng)部分之間可以通過一個響應函數(shù)h（·）聯(lián)結起來，如式（4）所示：（三）模型參數(shù)估計三、基于過度分散泊松分布的隨機性鏈梯法（一）隨機性鏈梯法的模型假設這里選擇這種特殊的GLM是有兩方面的考慮：（1）在過度分散泊松模型中，極大似然估計法和由鏈梯法得到的未決賠款準備金是相同的[10]。（2）該模型假設不同事故年i、不同進展年j的增量賠款額滿足一種乘積結構，即同時考慮了由事故年決定的效應和由進展年決定的效應，它們之間滿足一種乘積結構，比較直觀自然。（二）在過度分散泊松模型中應用Bootstrap方法模擬預測方布的兩種基本思路1.應用參數(shù)Bootstrap方法模擬預測分布的基本思路。其中，N表示已有數(shù)據(jù)個數(shù)；p=I+J+1，用來表示模型中參數(shù)的個數(shù)。（5）多次Bootstrap再抽樣后，可得到未決賠款準備金總額的預測分布，進而得到均值、標準差、分位數(shù)等相關的分布度量?？紤]到一般情況下，抽樣1萬次即可獲得較滿意的參數(shù)估計值，一般將抽樣次數(shù)定為1萬次。2.應用非參數(shù)Bootstrap方法模擬預測分布的基本思路。如上所述，對于GLM中的過度分散泊松模型，由極大似然估計法和由鏈梯法得到的未決賠款準備金是相同的。當選擇的殘差類型一致時，在過度分散泊松模型中分別應用參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法，得到的結果應是接近的，而且應用非參數(shù)Bootstrap方法時，處理更直觀。其基本思路如下：（1）對給定的累計賠款數(shù)據(jù)（上三角數(shù)據(jù)），應用鏈梯法，估計各事故年在每個進展年的累計賠款額，進而得到未決賠款準備金的均值估計。（2）保持最近日歷年累計賠款數(shù)據(jù)（對角線數(shù)據(jù)）不變，由累計進展因子和對角線數(shù)據(jù)，逆向計算③，得到以往每個進展年的累計賠款額的擬合值，然后得到上三角數(shù)據(jù)的增量擬合值，此值與給定的增量賠款之差就是殘差。默認選定Pearson殘差。（3）這里對殘差進行了調(diào)整④，然后對調(diào)整后的殘差進行Bootstrap再抽樣，其后對Bootstrap再抽樣進行變換，得到模擬的增量賠款（上三角），進而得到模擬的累計賠款。（4）應用鏈梯法，計算相應的模擬累計賠款（下三角），從每次模擬得到的累計賠款（下三角）計算對應的增量賠款（下三角），這些模擬的增量賠款（i+j>I）求和即得到未決賠款準備金的均值估計。（6）對調(diào)整后的殘差每次進行Bootstrap再抽樣，重復以上過程。多次Bootstrap再抽樣后，可得到未決賠款準備金總額的預測分布，進而得到各種相關的分布度量。（三）預測均方誤差的估計1.利用解析表示估計MSEP。通常使用MSEP來描述未決賠款準備金的不確定性。應用GLM的一般理論和方法，可以計算未決賠款準備金的MSEP。由于過度分散泊松分布屬于EDF，不失一般性，下面在增量賠款額服從EDF的分布假設下，分別給出條件MSEP和無條件MSEP的估計，其條件MSEP的估計量如式（17）所示。由式（2）可得：對式（18）兩邊取期望，得到無條件MSEP⑤的估計量為：2.兩種Bootstrap方法中MSEP的估計。在應用Bootstrap方法計算未決賠款準備金預測分布的過程中，同時也可以得到MSEP的估計。其中，參數(shù)誤差采用Bootstrap模擬得到。為了得到Bootstrap的參數(shù)誤差，需要多次重復上述過程，得到一系列未決賠款準備金的均值的估計值，Bootstrap的參數(shù)誤差就是多次Bootstrap模擬的未決賠款準備金估計值的樣本方差。按照過度分散泊松分布假設，過程方差可通過分散參數(shù)φ乘以鏈梯法得到的未決賠款準備金的估計值得到。值得注意的是，在應用非參數(shù)Bootstrap方法估計MSEP時，通常在Bootstrap模擬過程中對殘差進行放回性抽樣時，不考慮被估計參數(shù)的個數(shù)，這會導致參數(shù)誤差被低估。為修正估計偏差，需要考慮參數(shù)個數(shù)p。原始的殘差乘以因子就得到調(diào)整后的殘差，利用調(diào)整后的殘差重抽樣得到參數(shù)誤差。（四）非參數(shù)Bootstrap方法模擬預測分布的合理處理四、實證分析表1是累計賠款數(shù)據(jù)⑦。按照第三部分的思路分別給出利用解析表示、參數(shù)Bootstrap方法、非參數(shù)Bootstrap方法估計的MSEP。對其結果進行比較，并進一步地給出利用兩種Bootstrap方法模擬得到的未決賠款準備金的預測分布和相關的分布特征，這里采用R語言對其進行數(shù)值實現(xiàn)。表2～4分別給出了利用解析表示、參數(shù)Bootstrap方法、非參數(shù)Bootstrap方法估計的MSEP。其中，過程標準差是過程方差的平方根，預測誤差[1]是除以鏈梯法估計的未決賠款準備金得到的。圖1給出了兩種Bootstrap方法模擬得到的未決賠款準備金總額的完整的預測分布，其中，上圖是基于參數(shù)Bootstrap方法模擬的預測分布，下圖是基于非參數(shù)Bootstrap方法模擬的預測分布，其對應的分布特征如表5所示。五、研究結論1.從表3、4可以看出，無論是利用參數(shù)Boot-strap方法，還是利用非參數(shù)Bootstrap方法，其預測均方誤差都隨著事故年已知信息的減少而增大，這與表2中采用解析表示估計得到的結論是一致的。當已知的信息越少時，估計的誤差就會越大，精度就會降低。2.從表3、4可以看出，兩種Bootstrap方法得到的參數(shù)誤差、過程標準差、預測均方誤差都與解析表示估計的結果很接近，另外預測誤差都較小。具體來說，非參數(shù)Bootstrap方法得到的MSEP略低于解析表示的估計值，參數(shù)Bootstrap方法得到的MSEP略高于解析表示的估計值。3.本文在采用非參數(shù)Bootstrap方法時，是對調(diào)整后的Pearson殘差進行重抽樣，這種處理方式可以同時得到未決賠款準備金的預測均方誤差和預測分布，對準備金的波動性度量更加完善。注釋：①作為國際上第一本系統(tǒng)介紹準備金評估隨機性方法的專著，其中包括了關于GLM應用于準備金評估隨機性方法的一些內(nèi)容。②《未決賠款準備金評估的隨機性模型與方法》基本涵蓋了當前國際精算研究中未決賠款準備金評估隨機性模型與方法的各個分支，并對已有文獻進行了