基本不等式教學(xué)講義

基不教講ZHISHILI知識梳理1．重要不等式

)a2

＋

2

≥aba，R當且僅當＝等號成．a(chǎn)＋2．基本不等式ab≤均值定理2基不等式成立的條件a>0>0；等成立的條件：當且僅當＝時等號成立；a＋其叫正數(shù)，的術(shù)平均數(shù)，ab叫正數(shù)a，的何平均.23．利用基本不等式求最大、最值問題如，∈，∞，xy＝定)，那么當＝時x＋有小值.(簡：“積定和最小)如，∈，∞，＋＝定值，S2那么當＝時xy最大值簡：“和積最大)4ZHONGYAOLUN重要結(jié)論

)常用的幾個重要不等式a＋≥aba>0，．當僅當＝b時等號a＋ab≤(2(abR．當且僅當＝取等)2a＋a2＋2(3)()≤(a，R．當且僅當＝b時取等號2ba(4)＋≥，b同．當僅當a＝時取等號．a(chǎn)b2a＋a(5)≤ab≤≤112＋ab

＋2

2

(a，>0且僅當＝取等．

1144411444SHUANGJIZICE雙基自測

)1．下列結(jié)論正確的個數(shù)(B)1函＝＋的小值為2.xxyx>0，>0是＋≥的充要條件．yx若>0，則a3

1＋的小值為2.a2a2

＋2

＋2≥＋＋ab，∈)．π4當∈，)時，函數(shù)()＝＋≥2xA．C．

B1D．[解析B2．已知a，∈且a＋＝，ab的最大值(B)A．

1B41C2

D．

22[解析abR

b≥abab≤ab4B43．陜西渭南期中已知x>0，則函y＋x的小(D)xA．－C．16[解析

x

≥2

B18D．x·42yxxx4D14．若<0，則＋()xA．最值，且最小值為2B有最大值，且最大值為2C有最小值，且最小值為2D．最值，且最大值為2

x11x30xx25x11x30xx251[解析xx≥21x1x≤2.15．教材改)fx＝＋(在x＝處取得最小值則n＝)x25A．27C2

B3D．[解析(x(x2)24x2>0x3x2x2x26．(2017·江)某公司一年購買某種貨物600，每次購買x，運費為萬/，一年的總存儲費用為4萬元．要使一年的總運費與總存儲用之和最小，則x的是30.600900900[解析4x×4(x)4×240x考點1利用基本不等式求最——維探究角度配湊法求最值例1(1)(2018·天津月考已b是數(shù)，且＋b＝，a(a＋b的大值是(C)9A．8C．

9B4D．513已>，＝x＋的小值為7，此時x＝4x－2113a31[解析>0a3b6(3)·3b≤(2×)23332323a3a1baa33.3x4x5>0.4

11132323111111113232311111y4x55≥57.4x5x54x5x“”4x5y[易錯警示aa3ab≤)a2a436a0aabB2451[引申把例2)中>，為<，則y＝x＋的最大值為，此時x＝1.444－5[解析<4

5x445≤24x554x

5253.5454x154x423.x1.4x5名師點撥拼湊法求最值的技巧“”“”“”“”(2)角度換元法求最值x1例2求數(shù)＝的大值．x3＋x1[解析

x1≥x2

1

t14445134x312x31t14445134x312x31t2132t4

.y0>0>1t1t

t

11≥4(t2y≤tt(x5y5角度常數(shù)代換法求最值例3遼寧師大附中期若數(shù)，滿3x＋＝，則＋y的最小值為C)24A．5C．[解析>0>0,3x5.yx

28B5D．131123y1(x3y(13)≥(1325yxyx4x35C名師點撥常數(shù)代換法的技巧

·)5.(xy“1”1“”〔變式訓(xùn)練1〕2角已知0<<1，則x(4－x取最大值時x的為3

42y1y1y1yy11316ty1143y1(1)2≥32.42y1y1y1yy11316ty1143y1(1)2≥32.1143角山臨沂期)設(shè)x>0，，＋＝，＋的最小值為.x＋2x2＋角函數(shù)＝(>1)的最小值為3＋x－21角內(nèi)古集寧月考已，>0且a＋b1，則＋的最值A(chǔ))abA．C．

B5D．1134[解析x3x(3x)(43<1x3x≤]3333x4xx.33x>05x(1)141141y14x(1)]()(5)≥2x6x6x6

y43·)x1y23x

.x>0x14163xx16xx262tx2(xy1210t16

3.1610t≥2t

t

16t

4163)≤≥t1610t143≥(x3x2x2

.x221333yx1x1x11

a21()(244ba21()(244b4ba1121a144x3121214baabba

≥2

·abab2b1ab8A24ab考點2利用基本不等式求參數(shù)范——生共研例4若數(shù)，滿ab＝＋＋，求：ab取值范圍；a＋的值范圍．[解析b≥ab3ab>022t3≥(tt1)≥≥ab≥ab≥ab3ababab3a3≤).2b>024t12≥(6)(≥≥b≥a3[答案(1)[9，∞(2)[6，∞名師點撥a3a3>0abaa1a1aa1a1)≥6.a1a1〔變式訓(xùn)練2〕齊魯教科研協(xié)作體模已x>0，>0，＋y＋＝，則x＋y最小值是4.[解析>0228.(2y1)(x1>0,21>0x2y(21)(1)2≥x24.

1)

992yxx>02≤)2(2y1)222xyx2y24

≥x24)(2y8)0x2y42≥(y1)x24.x>0xy8829x122y1x2yy1)≥22y1

9·y1)2y1x24.2y2xyxy2x24.考點3利用基本不等式解決實問——生共研例5山東壽光期末已正四棱柱的底面邊長為，為，其所有頂點都在球O的球面上，若該正四棱柱的側(cè)面積為4，則球的面積的最小值為22π.[解析ah4ah2a2

a

2

h

2

2a2

h2

≥22h2≥2≥

222

22

h

2

O4

22≥π×4

222π.名師點撥

888mnmn111·(mn888mnmn111·(mn(10〔變式訓(xùn)練3〕云南師大附中月高學(xué)生在新的學(xué)期里剛搬入新教室隨著樓層的升高上下樓耗費的精力增多因此不滿度升高當教室在第層時上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿意8度降低，設(shè)教室在第層時，環(huán)境不滿意度為，同學(xué)們認為最適宜的教室應(yīng)B)nA．樓C．樓

B3樓D．樓8[解析yn≥2n

n42nnnn22332,3,4,8nCn基本不等式的綜合應(yīng)用例6(1)(2018·寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)已函數(shù)()|ln若0<a<f(a＝(b)，則＋b的值范圍是)A．，＋∞C．(5，＋∞

B，∞D(zhuǎn)．，＋∞(2)(2018·安徽淮南一中等五?？?已正項等比數(shù)列a}(n∈N滿a＝＋2.若存在n54319兩項，使aa＝a，則＋的小值(Bmnmn1A．C．

B2D．[解析lnlnbab)0ab1a4≥441(a2b2

)Bq

q2qqaa82q

mn264a2m6

8mN

191191nmn8mn8m

n991n9919m1)≥(10n8

·m62.Bmnn名師點撥〔變式訓(xùn)練4〕肅嘉峪關(guān)一中模擬已知≠，直線＋b＋＋＝與線ax＋b－－＝0互垂直，則ab的大值等(