雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)8-3雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)1．（2021·全國(guó)·高考真題（文））點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線(xiàn)方程，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：.故選：A.2．（2021·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）已知，分別為雙曲線(xiàn)（）的左、右焦點(diǎn)，，是右支上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)得，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理可得解.【詳解】由題意得，設(shè)，則，，，，在中，由勾股定理得，解得，則，，在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以的離心率，故選：A.3．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C中第一象限上的一點(diǎn)，的平分線(xiàn)與x軸交于Q，若，則雙曲線(xiàn)的離心率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，，利用三角形的三邊關(guān)系以及雙曲線(xiàn)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，離心率為，由，則，，因?yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，所以,又因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率取值范圍為.故選：B4.（2022·全國(guó)·高考真題（理））若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則_________．【答案】【分析】首先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線(xiàn)的距離，解得或（舍去）．故答案為：．5．（2022·河南開(kāi)封·高三模擬（理））已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線(xiàn)垂直于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．【答案】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)方程可得點(diǎn)，的坐標(biāo)，結(jié)合，可得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，若過(guò)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，垂足為，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于，，因?yàn)?，所以在，之間，如圖所示，直線(xiàn)的方程為，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的離心率．同理，過(guò)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率．綜上所述，雙曲線(xiàn)的離心率為，故答案為：.6.（2022·山東青島·二模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)F，過(guò)F與x軸垂直的直線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的運(yùn)算建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，由題可知，，即拋物線(xiàn)方程為，令代入拋物線(xiàn)方程，可得，代入雙曲線(xiàn)方程，可得，可設(shè)，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7．（2022·新疆·三模（理））已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限交于點(diǎn)A，M為的中點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)，即可得到、的關(guān)系，即可得解；【詳解】解：由，即，又，且，解得或（舍去），由且為的中點(diǎn)，知，∴，∴，∴，又，∴，∴漸近線(xiàn)方程為.故選：A8．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））如圖，已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，線(xiàn)段與交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由題意可得為線(xiàn)段的中點(diǎn)；由得，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義求得，利用勾股定理可得，即得a,c的關(guān)系式，求得答案.【詳解】如圖，因?yàn)椋詾榫€(xiàn)段的中點(diǎn)；由于，即,所以，所以為等腰三角形，且有連接，又，點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)C上，由雙曲線(xiàn)的定義，可得，故;所以在中，有，即，整理得，所以離心率，故選:B．9.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，滿(mǎn)足，且，則雙曲線(xiàn)的離心率是________．【答案】【分析】連接，，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義及余弦定理解三角形，可得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連接，，由條件可得，則，，，所以，即，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率為：，故答案為.10．（2021·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，過(guò)點(diǎn)的圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于位于第一象限的點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______．【答案】【分析】先由題意得到圓的方程，再與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)聯(lián)立得到的坐標(biāo)，利用的坐標(biāo)求出直線(xiàn)的斜率，得到，繼而求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程【詳解】解：由題意得圓的方程為，雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，又由直線(xiàn)的斜率為，可得，有，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．故答案為：11.（2022·江西·豐城九中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn).過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由內(nèi)心的性質(zhì)，可知M，N的橫坐標(biāo)都是a，得到MN⊥x軸，設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為θ，有，將表示為θ的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可求得范圍.【詳解】設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線(xiàn)上，設(shè)直線(xiàn)的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題知，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）長(zhǎng)為11的線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線(xiàn)的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出和，(F為雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)）解出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，求得m的最小值.【詳解】由雙曲線(xiàn)可知，a＝3，b＝4，c＝5，設(shè)AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、B共線(xiàn)且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．檢驗(yàn):如圖，當(dāng)F、A、B共線(xiàn)且軸時(shí)，為雙曲線(xiàn)的通徑，則根據(jù)通徑公式得,所以軸不滿(mǎn)足題意.綜上，當(dāng)F、A、B共線(xiàn)且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．故選：B．13．（2023·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線(xiàn)（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，.若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由可得在的角平分線(xiàn)上，由雙曲線(xiàn)的定義和切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得為的內(nèi)心，再由內(nèi)心的向量表示，推得，再由雙曲線(xiàn)的定義和離心率公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是的角平分線(xiàn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，且在雙曲線(xiàn)中，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長(zhǎng)、、至點(diǎn)、、，使得，，，可知為的重心，設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，即，又為的內(nèi)心，所以，因?yàn)?，所以，，則，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：設(shè)的角，，所對(duì)邊分別為，，，則（1）的重心滿(mǎn)足；（2）的內(nèi)心滿(mǎn)足；（3）的外心滿(mǎn)足.14．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線(xiàn)G的方程，其左、右焦點(diǎn)分別是，，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線(xiàn)G上點(diǎn)，滿(mǎn)足，則______．【答案】8【分析】設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，利用切線(xiàn)長(zhǎng)相等求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，又由得在的平分線(xiàn)上，進(jìn)而得到即為內(nèi)心，應(yīng)用雙曲線(xiàn)的定義求得面積差即可.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，可得，又由雙曲線(xiàn)定義可得，則，又，解得，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.又，可得，化簡(jiǎn)得，即，即是的平分線(xiàn)，由于，，可得即為的內(nèi)心，且半徑為2，則.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于先利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，再由得到在的平分線(xiàn)上，結(jié)合的橫坐標(biāo)為進(jìn)而得到即為內(nèi)心，利用雙曲線(xiàn)定義及面積公式即可求解.15．（2021·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)鏡面反射，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線(xiàn)新聞燈”，就是利用了雙曲線(xiàn)的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線(xiàn)燈”的軸截面是雙曲線(xiàn)一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)