三視圖、截面與外接球（練習）（含解析）2023年高考數(shù)學二輪復習

考點7-2三視圖、截面與外接球1．（2022·上海靜安·二模）中國古代建筑使用榫卯結(jié)構將木部件連接起來，構件中突出的部分叫榫頭，凹進去的部分叫卯眼，圖中擺放的部件是榫頭，現(xiàn)要在一個木頭部件中制作出卯眼，最終完成一個直角轉(zhuǎn)彎結(jié)構的部件，那么卯眼的俯視圖可以是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)榫頭的俯視圖結(jié)合結(jié)果圖，可判斷卯眼的俯視圖.【詳解】解：根據(jù)榫頭的俯視圖及結(jié)果圖的俯視圖可判斷卯眼的俯視圖為B項中的圖形.故選：B.2．（2022·全國·模擬預測（文））已知三棱錐的直觀圖如圖所示，則該三棱錐的俯視圖為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直觀圖直觀想象即可【詳解】由圖，則該三棱錐的俯視圖為D故選：D3．（2022·青海西寧·二模（文））已知某幾何體的主視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5個圖形：其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由三視圖的定義，結(jié)合正視圖和左視圖得圖形相同，對題目中的圖形進行分析,即可得到結(jié)論．【詳解】對于④，中間是正三角形，它與正視圖和左視圖中矩形的寬度不一致，所以④不能作為該幾何體的俯視圖圖形；對于其余4個圖形，中間圖形與正視圖和左視圖的矩形寬度一致，可以作為該幾何體的俯視圖圖形；所以滿足條件的圖形個數(shù)為①②③⑤共4個．故選：C．4.（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.【答案】##【分析】計算，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意可知，圓的半徑為，即，又，所以為正三角形，∴，所以扇形的面積是.故答案為：5．（2021·全國·高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.6.（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】將三棱錐放到長方體中，設長方體的長、寬、高分別為，求出即得三棱錐外接球的半徑，即得解.【詳解】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C7．（2022·全國·高三專題練習）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意運用基本事實作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.【詳解】延長交于點，連接交于點，如圖，在正方體中，面面，面面，面面，又四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.又，在等腰梯形中，過作，.故選：C.8.（2022·全國·高三專題練習）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側(cè)面上，則該正方體的棱長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設正方體棱長為，根據(jù)題意得，分析求解即可.【詳解】根據(jù)題意過頂點和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如下所示：所以，，所以，，為矩形，設，所以，所以，所以，即，即，解得.故選：C.9.（2022·江西·金溪一中高三階段練習（文））魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個性質(zhì)，機械加工中把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方形）的孔來.圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，現(xiàn)有一個質(zhì)點飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒有穿過孔洞的概率為_________.【答案】【分析】設正方形的邊長為，求出魯洛克斯三角形面積，再利用幾何概型求解.【詳解】解：設正方形的邊長為，魯洛克斯三角形由三個弓形與正三角形組成，其面積為，故所求概率.故答案為：10．（2022·北京·二模）如圖，在正方體，中，E，F(xiàn)，G分別為棱上的點（與正方體頂點不重合），過作平面，垂足為H．設正方體的棱長為1，給出以下四個結(jié)論：①若E，F(xiàn)，G分別是的中點，則；②若E，F(xiàn)，G分別是的中點，則用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形一定是等邊三角形；③可能為直角三角形；④．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①④【分析】①等體積法判斷；②根據(jù)正方體的性質(zhì)畫出平行于平面的可能截面情況；③由正方體性質(zhì)，通過定兩點，移動另一點判斷的內(nèi)角變化趨勢即可；④設，利用等體積法，結(jié)合正余弦定理、三角形面積公式、錐體體積公式化簡即可判斷.【詳解】①由，而，所以，可得，正確；②根據(jù)正方體的性質(zhì)平行平面的平面有如下情況：當截面在面與面之間時為六邊形，在面左上或面右下時為等邊三角形，錯誤；③分別在上不為頂點任意點，當從到過程遞減，即小于，同理知：也小于，不可能為直角三角形，錯誤；④若，又，即，所以，則，即，所以，即，正確；故答案為：①④11.（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出簡圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.【詳解】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點.在中，，D為AC的中點，因為，所以，則.因為二面角是150°，所以，所以，.因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.設為外接圓的圓心，則.設三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.12．（2022·河南安陽·模擬預測（理））在四面體ABCD中，，平面BCD，.過點B作垂直于平面ACD的平面截該四面體，若截面面積存在最大值，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于點，過點作,先證得平面為所求截面，然后設，求得，，從而求得三角形面積，然后換元后求導利用導數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得出結(jié)論.【詳解】在四面體ABCD中，，平面BCD，.∵平面BCD，平面BCD，，又，,則平面，過作于點，過點作,則平面，平面，故，，則平面，平面，故平面平面ACD，設，設，在中，，，在中，，，，在△中，，則，故，故，令，，得，當時，，當時，，故函數(shù)在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，即當時，有最小值，此時截面面積最大，故當，時，截面面積最大，故若截面面積存在最大值，則，故的最大值為，故選：C.13．（2020·河北石家莊·模擬預測（理））三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知作出圖象，找出二面角的平面角，設出的長，即可求出三棱錐的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有長度的字母表示），再設出球心，由球的表面積求得半徑，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關系求得的長度，則三棱錐體積的最大值可求.【詳解】如圖所示，過點作面，垂足為，過點作交于點，連接，則為二面角的平面角的補角，即有，易知面，則，而△為等邊三角形，∴為中點，設，則c，故三棱錐的體積為：，當且僅當時，體積最大，此時共線.設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，由已知，，得.過點作于F，則四邊形為矩形，則，，，在△中，解得∴三棱錐的體積的最大值為：.故選：D.14．（2022·浙江·紹興一中模擬預測）已知正方體的棱長為2，M，N分別是的中點，點P是截面（包括邊界）上的動點，，則與平面所成最大角的正切值為_______．【答案】【分析】先分析得到點P的軌跡是圓，然后將與平面所成最大角的正切值轉(zhuǎn)化為求的最大正切值并計算即可.【詳解】取的中點O，連接，由正方體性質(zhì)可知平面，則，即如下圖（2），點P的軌跡是，半徑為，又M到平面的距離為，因為，所E到的距離為，則為直線與平面的夾角，當O，T，P共線時，則此時最小，的值最大，，所以，即．故答案為：.15．（2022·河南·高三開學考試（理））如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面．若，則三棱錐外接球的表面積是________．【答案】【分析】先利用角平分線及求出各邊長，進而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半徑相等列