高考數(shù)學(xué)微積分附答案解析

定積分與微積分基本定理【考點(diǎn)導(dǎo)讀】了解定積分的實(shí)際背景，初步掌握定積分的相關(guān)概念，體會(huì)定積分的基本方法。單的幾何和物理問題?！净A(chǔ)練習(xí)】下列等于1的積分是 （3） 。（）1dx0

（2）1(xdx0

（）dx0

（4）11dx0225232ycosx(0x32

)與坐標(biāo)軸圍成的面積是 。已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率vgt，則落體運(yùn)動(dòng)從t0到tt0

所走的路程為

gt2020210N0.18J。5．2(3x2k)dx10,k 1 ,8

45xdx 4 。0 1【范例導(dǎo)析】例1．計(jì)算下列定積分的值：（1） 2 5 2 3(4xx)dx 2(x)dx (xsin（1） 2 5 2

cos2xdx；1 0 2分析：求函數(shù)f(x)意義，轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積來處理；二是應(yīng)用微積分基本定理，關(guān)鍵在于找到F(x)，使F(x)f(x)。解：（1）3(4xx2)dx(2x21x3)

320311 3 11（2）因?yàn)?/p>

1[ (x

)6(x)5，所以2(x)5dx

(x1)6|21；（3）

622 (xsinx)dx(x222

18cosx)|218

6 1 60 0 1cos2x x sin2x （4）2

cos2

xdx2

dx |2242 24

2cos2dx222 2 2 2點(diǎn)評(píng)：除了題目有明確要求之外，在求定積分的兩種方法中我們基本上選用微積分基本定理解決問題，避免每次都要進(jìn)行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不過有時(shí)候我們不容易找到比較F(x)，這時(shí)候用定義或者其幾何意義就顯得方便了。例2．利用定積分表示下列圖形的面積：yx2 y yx2 y (x1)21Oa 1 O a x1 O 2 x（1） （ （我們可以用定積分來表示曲邊梯形的面積。解：（1）中陰影部分的面積為：Sax2dx；0（2）中陰影部分的面積為：Sa1

x2dx；（3）中陰影部分的面積為：S0[(x121dx2[(x121dx。1 0點(diǎn)評(píng)：注意“代數(shù)和”的理解：若在曲間[a,b]上f(x)0,則Sa

f(x)dx，若在曲間[a,b]上f(x)0,則Sba

f(x)dx。如上面的（3）。例3.求由曲線yx22與y3x,x0,x2，所圍成的平面圖形的面積(畫出圖形)。解：如圖所示，由yx22，y3x,x0,x2可得y曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3),(2,6)所以所求面積為S1(x223x)dx2(3xx22)dx10 1點(diǎn)評(píng)：求圖形面積的總體思路是：先求出圖形， O 2 x根據(jù)圖形求出交點(diǎn)坐標(biāo)，將圖形進(jìn)行適當(dāng)分割，用定積分進(jìn)行表示，從而求出所要的面積?！痉答佈菥殹縴exxy1圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇ｘ為積分變量，則積分區(qū)間［0，2］。2．由直線yx,yx1ｘ軸圍成平面圖形的面積為21y。2031N1cm6cm，所耗費(fèi)的功是0.18 。．1|x24|dx=0．1(exexdx0

113。3e1 。ey2axxx2,x3x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的5旋轉(zhuǎn)體的體積是2

，那么a 1 。yx2xy1，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為11x2dx 。0ycosxx02π2|cosxdx0按萬有引力定律，兩質(zhì)點(diǎn)間的吸引力F

mmr21 2，ｋmr21 2

為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ｒ?yàn)閮牲c(diǎn)間距離，若兩質(zhì)點(diǎn)起始距離為ａ，質(zhì)點(diǎn)m1

沿直線移動(dòng)至離m2

的距離為aｂ處，試求所作之功kmm(a1 2

1) 。bln4曲線y2x,x1,x2及x軸所圍成的圖形的面積是ln4物體Av21在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體ABA5mv的速度與AA？（。ABt0

，由題意有：SA

S 5B即0(t21dx01tdx5，所以t

3

250所以t0

0(t21)5(t0

021)， 所以t0

0 05(s)所以SA

5t0

25130(m)。yax2bxxy4x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達(dá)到最大值的a,b值，并求S的最大值。解：由題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1

0,x2

b，aSa

a(ax2bx)dx0

1 b3(1)6a2又直線xy4與拋物線yax26a2xy4由方程組 得：yax2bxax2b1)x40，其判別式0，即(b1)216a0．16116于是a

(b1)2,代入（1）式得：128b31)42(3S(b128b31)42(3令S'(b)=0；在b＞0時(shí)得b=3，且當(dāng)