高等數(shù)學(xué)教案第五章

第五章函數(shù)本章知識(shí)原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式不定積分的換元積分法、分部積分法微分方程初步定積分的概念及其基本性質(zhì)變上限積分和牛頓萊布尼茨公式定積分的換元積分法和分部積分法無限積反常積分定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用本章重點(diǎn)：不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，定積分的概念及其基本性質(zhì)，變上限積分求導(dǎo)公式和牛頓萊布尼茨公式，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用本章難點(diǎn)：求不定積分，定積分的應(yīng)用原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分原函數(shù)的定義若在某一區(qū)間上，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)F(x)叫做函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)。定理1 若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，那么f(x)在該區(qū)間上的原函數(shù)一定存在。定理2 若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么它就有無數(shù)多個(gè)原函.定理3 函數(shù)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)的差是一個(gè)常數(shù)。若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)F(x)+C（C為任意常數(shù)。不定積分的定義定義若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)＋C稱為f(x)的不定積分，記為 f(x)dx F(x)C其中∫稱為積分號(hào)，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，C稱為積分常數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式。fF(x)Cy=F(x)y軸上下平移而得到的一族積分曲線。不定積分的基本性質(zhì)不為零的常數(shù)因子，可移動(dòng)到積分號(hào)前。kfxdxkfxdx兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和f(xf(x)dxg(x)dx3.[ f(x)dx]'f(x) df(x)dxf(x)dx或4.

f'(x)dxfC f或基本積分公式就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式。FF(x)f(x)f(x)dxF(x)C(kxC)kkdxkxC(11x1)xxdx11x1C(1)(lnx)1x1dx lnxx C(axlna)axadxxaxlnaC(ex)exexdxexC(sinx(sinx)cosxcosxdxsin xC(cosx)sinx(tanx)sec2xsec2xdxtanxC(cotx)csc2xcsc2xdxcotxC(arcsinx)11x211x11x2dxarcsinxC(arctanx)11x2dxarctanxC第一換元積分法形式，而新的積分表達(dá)式和新的積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來。定理1 設(shè)f具有原函數(shù)F可導(dǎo)，則有f[(x)](x)dx[f(u)du] F[(x)]Cu(x)湊微分常見類型1）

f1a

fb1FbCa

a02）

f(xn1)xndx

f(xn1)d(xn1)n13）f)exdx3）

f(ex)dexfdxflnx4） x5）(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx5）6）7）

f(tanx)sec2xdxf(tanx)d(tanx)fdxf(arctanx)d(arctanx)1x21x2f(arcsinnx)dxf(arcsinx)1x28）第二換元積分法第一類換元積分法是利用湊微分的方法x＝φ(t)，而積分f(x)dxf[(t)]'(t)dt可用基本積分公式求解。目的：去根號(hào)或化為基本積分公式定理設(shè)f(x)連續(xù)，x＝φ(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)φ’(t)≠0，x＝φ(t)的反函數(shù)t=φ-1(x)存在且可導(dǎo)，并且f[(t)]'(t)dtF(t)C即： f(x)dxF[1(x)]C分部積分法設(shè)函數(shù)uux,vvx的導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則uxvxdxuxvxuxvxdx指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，冪函數(shù)，反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)位于前面的用dv，位于后面的用u微分方程初步微分方程的基本概念引例微分方程的一般概念微分方程：聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程。常微分方程：自變量只有一個(gè)的微分方程.::.:定解條件：用來確定微分方程通解中任意常數(shù)的條件稱為定解條件（初始條件）特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解，即滿足初始條件的解.初值問題：求微分方程滿足初始條件的問題，稱為初值問題。特解的圖象:微分方程的積分曲線.通解的圖象:積分曲線族.可分離變量的微分方程形如f對(duì)f兩邊不定積分，得f設(shè)F分別是f的一個(gè)原函數(shù)，那么微分方程f的通解為GxFC其中C為任意常數(shù)。這種將微分方程中的變量分離開來，然后求解的方法稱為分離變量法一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:dyP(x)yQ(x)dx當(dāng)Q(x) 0,以上方程稱為一階齊次線性微分方.當(dāng)Q(x) 0,以上方程稱為一階非齊次線性方一階線性微分方程的解法線性齊次方程dyP(xyQ(x)使用分離變量dxdyP(x)dx,ydyy

P(x)dx,lnyP(x)dxlnC,yCePx)dx.dyPxyQx).dx常數(shù)變易法：把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.新未知函數(shù)u(x)原未知函數(shù)y(x),作變換yu(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dxu(x)[P(x)]eP(x)dx,將y和y代入原方程得u(x)eP(x)dxQ(x),u(x)Q(x)eP(x)dxdx一階線性非齊次微分方程的通解為:y[Q(x)eP(x)dxdxC]eP(x)dxCeP(x)dx

eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx定積分的概念及其基本性質(zhì)引例曲邊梯形的面積由邊際成本求可變成本定積分的概念定義:設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上有定義，用區(qū)間a,b內(nèi)任意n1個(gè)分點(diǎn)ax

xx1

x bn1 n將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長(zhǎng)度為xxx ni ii 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)x,x ，作和I n

if

i

i1記

ni1, ,

i i,

0x x x1 2

x n1 n

，若極限limn0i1

fi

xi存在，則稱此極限值為函數(shù)f

記作

f

dx即bfxdxlimn0

fi

axia i1 這時(shí)稱函數(shù)fx在區(qū)間a,b上可積，其中fx稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，fxdx稱為被積表達(dá)式，b稱為積分上限，a稱為積分下限定積分的幾何意義曲邊梯形的面積：a

f(x)dxA 曲邊梯形的面積的負(fù)值a

f(x)dxA一般情況下，定積分a

fxdx表示曲線y=f(x)與x軸介于a、b之間的各部分面積的代數(shù)和。ba

f(x)dxSSS1 2 3定積分的基本性質(zhì)性1 bfxgxdx

fxdxbgxdxa a a性2 bkfxdxkbfxdx為常數(shù)a a性3 積分區(qū)間可加性

fxdx

fxdx

fxdxa a cgxfxdx性4設(shè)在區(qū)上有fx gxfxdx

b

bgxdxa a，則fxdx1上有fx，則fxdx

b 0推論2 b

fxdx

afxdxa a5設(shè)函數(shù)fxa,b上有最大值，和最小值，則mbab

fxdxMba6設(shè)函數(shù)f上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)

a,b使得bfxdxfbaa微積分基本定理變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式設(shè)函數(shù)上連續(xù)，并且設(shè)x上的一點(diǎn)，考察定積分x

f(x)dx

f(t)dt是x的函數(shù)，記x)a

a af(t)dt為積分上限函數(shù)或稱積分上限函數(shù)。定理 若fx在[a,b]上連續(xù)則積分上限函數(shù)(x)xa

f(t)dt 在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是

dxf(t)dtf(x)dxa推論 設(shè)f在[a,b]上連續(xù)，則fx在[a,b]上必存在原函數(shù)。推論 f上連續(xù)上可導(dǎo)，ub dffdxa微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓-萊布尼茨公式，它是用求原函數(shù)的方法計(jì)算定積分的數(shù)值。定理（牛頓-萊布尼茨公式）：若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則bf(x)dxF(b)F(a)a定積分的換元積分法和分布換元法

定理?yè)Q元積分公式 設(shè)函數(shù)f x在a,b上連續(xù)，函數(shù)xt:在區(qū)間或,上單調(diào)，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)t在x上變化，且a, b則有ba

fx

fttdt上式稱為定積分的換元積分公式定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)ux,vx在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有buxvxdxuxvxbbuxvxdx上式稱為定積分的分部積分公式a a a反常積分定義設(shè)函數(shù)∞b是∞內(nèi)任一實(shí)數(shù)，若極限limbf()dx存在，ba則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)內(nèi)的反常積分，記作a

f(x)dx lim b a

f(x)dx并稱此時(shí)反常積分收斂，否則，若limbf()dx.ba∞上的反常積分：b

f(dxlimbf(dxaa

fx)dx稱為f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)上的反常積分，若對(duì)任意實(shí)數(shù)c，反常積分和c f(dx和

c

f

都收斂，則稱反常積分收斂或存在，否則稱為發(fā)散．這個(gè)反常積分值的幾何意義是：當(dāng)a→-∞,b→+∞時(shí)，雖然圖中陰影部分向左、右無限延1伸，但面積卻有極限值πy面積。

1x2

的下方，x軸上方的圖形定積分的應(yīng)用平面圖形的面積yfxAa

f(x)dxy1

fy1

fAbf2 a 2

(x)f1

(x)]dxxAdxdxcx1

fx2

fAdfx)gxc旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞x軸旋轉(zhuǎn)Vb[f(x)]2dxaxyycydy軸所圍成的曲邊梯y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為Vd[y)]2dyc由邊際函數(shù)求總函數(shù)已知一個(gè)總函數(shù)（如總成本函數(shù)、總收益函數(shù)等，利用微分或求導(dǎo)運(yùn)算就可以求出其邊際函數(shù)（邊際成本、邊際收益等分運(yùn)算。當(dāng)固定成本為C，邊際成本為CQ,邊際收益為RQ,且產(chǎn)銷平衡，即產(chǎn)量、需求量和銷量均為Q時(shí)；0

CQQCtdtC;0 0RQQRtdt;0LQRQCQQRtCtdtC0 0本章小結(jié)：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)知道不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式熟練基本積分公式，熟練運(yùn)用不定積分的換元積分法和分部積分法熟練運(yùn)用第一類換元積分法（湊微分法）求不定積分，掌握幾種常見的第一類換元積分