空間向量應用總復習

空間向量應用總復習第1頁/共87頁一。知識再現(xiàn)空間向量：(1)空間直角坐標系(2)向量的直角坐標運算(3)夾角和距離公式

牛牛文庫文檔分享第2頁/共87頁(1)空間直角坐標系zxyoA(x,y,z)

牛牛文庫文檔分享第3頁/共87頁(2)向量的直角坐標運算

牛牛文庫文檔分享第4頁/共87頁(3)夾角和距離公式OjikXYZAB

牛牛文庫文檔分享第5頁/共87頁二.兩個重要的空間向量1.直線的方向向量

把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB

牛牛文庫文檔分享第6頁/共87頁2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.

αn

牛牛文庫文檔分享第7頁/共87頁abnα

牛牛文庫文檔分享第8頁/共87頁求平面的法向量的坐標的步驟第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.

牛牛文庫文檔分享第9頁/共87頁

2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.ABCDOA1B1C1D1zxy1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.練習1

牛牛文庫文檔分享第10頁/共87頁三、建立空間坐標系利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線注意已有的正、直條件相關幾何知識的綜合運用

牛牛文庫文檔分享第11頁/共87頁xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA正四棱錐zABCD正三棱錐xyz長方體

牛牛文庫文檔分享第12頁/共87頁四、常用公式：1、求線段的長度：2、平行3、垂直

牛牛文庫文檔分享第13頁/共87頁4、求P點到平面的距離：，（N為垂足，M為斜足，為平面的法向量）5、求直線l與平面所成的角：

，(為的法向量)6、求兩異面直線AB與CD的夾角：

牛牛文庫文檔分享第14頁/共87頁7、求二面角的平面角:(為二面角的兩個面的法向量）8、求二面角的平面角:

（射影面積法）9、求法向量：①找；②求：設

為平面內(nèi)的任意兩個向量，

為α的法向量

則由方程組

可求得法向量．

牛牛文庫文檔分享第15頁/共87頁垂直與平行的證明直線與直線的平行直線與直線的垂直直線與平面的平行共面向量的充要條件與平面的法向量垂直直線與平面的垂直垂直于平面內(nèi)不共線的兩個向量平面與平面的平行兩個平面的法向量平行平面與平面的垂直兩個平面的法向量垂直

牛牛文庫文檔分享第16頁/共87頁設直線l，m的方向向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)，m的位置關系：練習2

牛牛文庫文檔分享第17頁/共87頁直線與直線的平行與垂直平行：共線向量的充要條件

垂直：向量垂直的充要條件

lmlm

牛牛文庫文檔分享第18頁/共87頁

例1.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD

證明：設依題意有，于是∵∴CC1⊥BD

題型一：線線垂直

牛牛文庫文檔分享第19頁/共87頁例2.已知正三棱柱的各棱長都為1，是底面上邊的中點，是側棱上的點，且，求證：。解1：向量解法設，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得你能建立直角坐標系解答本題嗎？題型一：線線垂直

牛牛文庫文檔分享第20頁/共87頁解2：直角坐標法。取由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得AMBC,如圖建立坐標系m-xyz。則XYZG例2

已知正三棱柱的各棱長都為1，是底面上邊的中點，是側棱上的點，且，求證：。題型一：線線垂直

牛牛文庫文檔分享第21頁/共87頁直線與平面的平行與垂直設直線l的方向向量分別為

，平面α的法向量為，平面α內(nèi)兩不共線向量，且l

α平行：①共面向量的充要條件

②垂直：①垂直于平面內(nèi)不共線的兩個向量

②ll

牛牛文庫文檔分享第22頁/共87頁ABDCA1B1D1C1例3.在正方體AC1中，E為DD1的中點，求證：DB1//面A1C1EEFxyz即題型二：線面平行

牛牛文庫文檔分享第23頁/共87頁DACBBCDAFEXYZ評注：本題若用一般法證明，容易證A’F垂直于BD，再證A’F垂直于DE，或證A’F垂直于EF則較難，用建立空間坐標系的方法能使問題化難為易。題型三：線面垂直

牛牛文庫文檔分享第24頁/共87頁A1C1B1ACBEDzxy題型：線面平行、垂直

牛牛文庫文檔分享第25頁/共87頁平面與平面的平行與垂直設平面α、β

的法向量分別為平行：

垂直：

牛牛文庫文檔分享第26頁/共87頁練習2：設平面

，的法向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷，的位置關系：

牛牛文庫文檔分享第27頁/共87頁XYZ題型四：面面平行

牛牛文庫文檔分享第28頁/共87頁例7.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證：面AED⊥面A1FD1zxy證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A-xyz,設正方體的棱長為2,則E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F(1,2,0),設平面AED的法向量為n1=(x，y，z)得取z=2，得n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量為n2=(2，0，1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD題型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1

牛牛文庫文檔分享第29頁/共87頁三種角的計算異面直線所成的角直線和平面所成的角二面角

牛牛文庫文檔分享第30頁/共87頁數(shù)量積：

夾角公式：

線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第31頁/共87頁求下列兩個向量夾角的余弦值（1），

（2）.

牛牛文庫文檔分享第32頁/共87頁異面直線所成角的計算

牛牛文庫文檔分享第33頁/共87頁異面直線所成角的范圍：

思考：結論：題型一：線線角線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第34頁/共87頁例一：題型一：線線角線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第35頁/共87頁解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設則：

所以：所以與所成角的余弦值為題型一：線線角

牛牛文庫文檔分享第36頁/共87頁

問題：利用向量坐標法求兩條異面直線夾角

的一般步驟是什么？(1)恰當?shù)臉嫿臻g直角坐標系；(2)正確求得對應點的坐標，空間向量

的坐標表示及其數(shù)量積和模；(3)代入空間向量的夾角公式，求得其余

弦值；(4)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為幾何結論.

牛牛文庫文檔分享第37頁/共87頁PADGFEzxByC題型一：線線角解：如圖，建立空間直角坐標系。

牛牛文庫文檔分享第38頁/共87頁PADGFEzxByC2004年福州市第一次統(tǒng)測試題題型一：線線角

牛牛文庫文檔分享第39頁/共87頁練習：如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD題型一：線線角解:以A為原點建立如圖所示

的直角坐標系A-xyz,

設正方體的棱長為2,則M(1,0,0),C(2,2,0),

B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.

牛牛文庫文檔分享第40頁/共87頁xPABDCEyz題型一：線線角

牛牛文庫文檔分享第41頁/共87頁練習：題型一：線線角在長方體中，

牛牛文庫文檔分享第42頁/共87頁斜線與平面所成角的計算anPAO

牛牛文庫文檔分享第43頁/共87頁題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：

思考：結論：題型二：線面角線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第44頁/共87頁練習：如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是_____.題型二：線面角600

牛牛文庫文檔分享第45頁/共87頁例四：題型二：線面角在長方體中，線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第46頁/共87頁在長方體中，N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即練習1：題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第47頁/共87頁練習1：在長方體中，又題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第48頁/共87頁練習2：

的棱長為1.題型二：線面角正方體線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第49頁/共87頁練習3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第50頁/共87頁解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,0)設面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由得，解得取y=,得n=(3,,0)而∴∴

牛牛文庫文檔分享第51頁/共87頁BAOB`A`O`DPXYZ題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第52頁/共87頁例6

如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點E的位置；若不存在說明理由。

DBACEPxzy題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第53頁/共87頁解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，設BE=m，則

牛牛文庫文檔分享第54頁/共87頁xy2003年全國高考題ABCDEGA1B1C1z題型二：線面角

牛牛文庫文檔分享第55頁/共87頁二面角的平面角的計算PBAlabQnm

牛牛文庫文檔分享第56頁/共87頁題型三：二面角二面角的范圍：關鍵：觀察二面角的范圍線線角復習線面角二面角小結引入

牛牛文庫文檔分享第57頁/共87頁練習：已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為______.1350題型三：二面角

牛牛文庫文檔分享第58頁/共87頁題型三：二面角

牛牛文庫文檔分享第59頁/共87頁設平面

牛牛文庫文檔分享第60頁/共87頁例8:如圖:直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,AB=AA1=4,E為AB的中點求:1)直線BD1與CE所成的角的余弦值;2)二面角A1-CE-D的余弦值.xzyOBACA1D1B1DC1E題型三：二面角

牛牛文庫文檔分享第61頁/共87頁練習1.在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS題型三：二面角

牛牛文庫文檔分享第62頁/共87頁解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.

牛牛文庫文檔分享第63頁/共87頁xyzAA1BCDD1C1B1P題型三：二面角練習2：

牛牛文庫文檔分享第64頁/共87頁ABXYZ

牛牛文庫文檔分享第65頁/共87頁ABXYZ

牛牛文庫文檔分享第66頁/共87頁如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【課后作業(yè)】

牛牛文庫文檔分享第67頁/共87頁【鞏固練習】

1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,則PA與BE所成角的余弦值為_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.

3正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點,則二面角E-BC-A的大小是__________

牛牛文庫文檔分享第68頁/共87頁ABCDMXYZ

牛牛文庫文檔分享第69頁/共87頁ABCDMGXYZ

牛牛文庫文檔分享第70頁/共87頁小結：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關鍵：觀察二面角的范圍

牛牛文庫文檔分享第71頁/共87頁五。距離的計算點與點距離點到直線的距離點到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個平行平面的距離異面直線的距離

牛牛文庫文檔分享第72頁/共87頁題型一：點到直線的距離說明：PABM

牛牛文庫文檔分享第73頁/共87頁

牛牛文庫文檔分享第74頁/共87頁anPAOMN題型二：點到平面的距離

牛牛文庫文檔分享第75頁/共87頁xyzAA1BCDD1C1B1P?題型二：點到平面的距離例1

牛牛文庫文檔分享第76頁/共87頁求點P到平面α距離步驟：1.建立適當?shù)目臻g直角坐標系2.寫出點的坐標（點P及α內(nèi)三點）3.求出向量的坐標（點P與α內(nèi)一點A連線向量，α內(nèi)兩不共線向量）4.求α的法向量n5.求6.下結論

牛牛文庫文檔分享第77頁/共87頁例2