數(shù)學八年級上冊15.3 分式方程（第1課時）

1/12第十五章分式15.3分式方程第1課時一、教學目標【知識與技能】1.理解分式方程的概念,能將實際問題中的等量關系用分式方程表示,體會分式方程的模型作用;2.知道分式方程的意義,會解可化為一元一次方程的分式方程.3.了解分式方程產生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法.【過程與方法】經歷“實際問題—分式方程模型”的過程,發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學的轉化思想,培養(yǎng)學生的應用意識.【情感、態(tài)度與價值觀】1.在探索活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣,培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心,體會數(shù)學的應用價值.2.通過學習分式方程的解法，使學生理解解分式方程的基本思想是把分式方程轉化成整式方程，把未知問題轉化成已知問題，從而滲透數(shù)學的轉化思想.二、課型新授課三、課時第1課時，共2課時。四、教學重難點【教學重點】 1.正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程.2.探索如何將分式方程轉化為整式方程并掌握解分式方程的一般步驟.【教學難點】 產生增根的原因.五、課前準備 教師：課件、直尺等。學生：三角尺、練習本、鉛筆、圓珠筆或鋼筆。六、教學過程（一）導入新課一艘輪船在靜水中的最大航速為20km/h,它沿江以最大航速順流航行100km所用時間,與以最大航速逆流航行60km所用時間相等,江水的流速為多少?（出示課件2）解:設江水的流速為vkm/h，根據(jù)題意，得10020+v=這樣的方程與以前學過的方程一樣嗎？（二）探索新知1.創(chuàng)設情境，探究分式方程的概念教師問1：為要解決導入中的問題，我們得到了方程10020+v=6020-v，仔細觀察這個方程，未知數(shù)的位置有什么特點？教師問2：方程與上面的方程有什么共同特征？教師問3：上面所得到的方程是我們以前學過的方程嗎？學生回答：不是.教師問4：以前我們學過什么方程？試舉例說明.學生回答：以前學過一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.教師問5：仔細觀察這兩個方程，未知數(shù)的位置有什么特點？學生回答：分母中都含有未知數(shù)．教師問6：像這種，分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.，你能再寫出幾個分式方程嗎？學生思考后，找學生回答?？偨Y點撥：（出示課件5）分式方程的概念：

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

分式方程的特征：分母中含有未知數(shù).

注意：我們以前學習的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中．

2.師生互動，探究分式方程的解法教師講解：分式方程和我們以前研究的一(二)元一次方程一樣，是一種反映現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，但它從形式上又與它們不同：分母中含有未知數(shù).要使上述問題得到真正的解決，則必須想方設法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我們就一起來學習“分式方程的解法”.教師問7：你能試著解分式方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)；（出示課件7）教師問8：為了解決本問題，請同學們先思考并回答以下問題：回顧一下一元一次方程是怎么去分母的？學生回答：方程的兩邊同乘以最簡公分母.教師問9：從中能否得到一點啟發(fā)？學生回答：分式方程的兩邊也乘以最簡公分母.教師問10：我們可以試解方程eq\f(3x－1,2)＋eq\f(5x＋2,3)＝2.學生回答：解：方程兩邊同乘以6得：3（3x-1）+2(5x+2)=6×2去括號得：9x-3+10x+4=12移項得：9x+10x=12+3-4合并同類項得：19x=11系數(shù)化為1得：x=11教師問11：能不能效仿分母不含未知數(shù)的一元一次方程的解法，想辦法去掉分式方程的分母把它轉化為整式方程呢？（出示課件8）教師問12：怎樣去分母？學生回答：方程的兩邊乘以最簡公分母.教師問13：在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個分母都約去呢？學生回答：把分母相乘即可.教師問14：這樣做的依據(jù)是什么？學生回答：等式的基本性質.師生一起解答如下：（出示課件9）解：(1)eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)方程兩邊同乘以（30+v）(30-v)得：90（30-v）=60(30+v).去括號得：2700-90v=1800+60v移項得：-90v-60v=1800-2700合并同類項得：-150v=-900系數(shù)化為1得：v=6教師問15：由此我們如何找最簡公分母呢？師生共同解答如下：（1）定系數(shù)：找系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）定相同因式：相同因式取指數(shù)較大的因式；（3）定單獨因式：單獨的因式作為公分母的一個因式.總結點撥：（出示課件10）（1）分母中含有未知數(shù)的方程，通過去分母就化為整式方程了．

（2）利用等式的性質，可以在方程兩邊都乘同一個式子——各分母的最簡公分母．教師問16：你得到的解v=6是分式方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)的解嗎？(出示課件11)學生回答：檢驗：把v=6代入分式方程得：

左邊=

右邊=

左邊=右邊，所以v=6是原方程的解.

教師問17：試一試：解方程1x-5=10x2-25.（出示課件1學生回答：方程兩邊同乘以(x＋5)(x－5)，約去分母，得x＋5＝10.解這個整式方程，得x＝5.教師問18：x＝5是原分式方程的解嗎？學生通過代入原式發(fā)現(xiàn)：x＝5時，原方程的分母為0，分式根本沒有意義.學生產生困惑并且問：問題出在哪里？師生共同討論，達成共識：問題只能出現(xiàn)在“去分母”這一步，其他步驟沒有問題.教師趁機提出下一個問題教師問19：上面分式方程的求解過程中，同樣是去分母將分式方程化為整式方程，為什么eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)去分母后所得整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的解，而1x-5=10x2-25去分母后所得整式方程x＋5＝10的解卻不是原分式方程的解呢？（出示課件13）師生共同討論后解答如下：因為在去分母的過程中時，兩邊乘了一個含未知數(shù)的整式，是否為零是事先不知道的，我們實際上是假定不為零來操作的，而第一個方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避開了麻煩，而1x-5=10x2-25去分母后所得整式方程的解恰好使得兩邊乘的整式“(x＋5)(x－5)”等于零，這樣就擴大了未知數(shù)的范圍，以致出現(xiàn)分母為零的現(xiàn)象，因此x＝總結點撥：原因：

在去分母的過程中，對原分式方程進行了變形，而這種變形是否引起分式方程解的變化，主要取決于所乘的最簡公分母是否為0．

教師問20：解分式方程，如何檢驗？師生共同解答如下：方法一：將整式方程的解代入原分式方程，看左右兩邊是否相等；方法二：將整式方程的解代入最簡公分母，看是否為0.教師問21：回顧解分式方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)與1x-5=10x2-25的過程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步驟嗎？解分式方程應該注意什么？（出示課件15）

師生共同解答如下：

基本思路：將分式方程化為整式方程.

一般步驟：

（1）去分母；（2）解整式方程；（3）檢驗．

注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要檢驗．

例1：解下列方程：（出示課件17）師生共同解答如下：解：方程的兩邊同乘以x(x–2)，

得2x=3x–6

解得：x=6

檢驗：當x=6時，x（x–2）≠0.

所以，原方程的解是x=6.

例2：解方程：（出示課件19）師生共同解答如下：解：方程兩邊同乘（x-1）(x+2)

得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.

化簡，得x+2=3.

解得x=1.

檢驗：當x=1時，（x-1）(x+2)=0，

因此x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程無解.

總結點撥：（出示課件20）解分式方程的思路：解分式方程的一般步驟:1.在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程.

2.解這個整式方程.

3.把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解，必須舍去.

4.寫出原方程的解.

簡記：一化二解三檢驗總結點撥：（出示課件23）易錯易混點撥：(1)去分母時，原方程的整式部分漏乘．

(2)約去分母后，分子是多項式時，沒有添括號．(因分數(shù)線有括號的作用）(3)把整式方程的解代入最簡公分母后的值為0，不舍掉.（三）課堂練習（出示課件25-29）1.若關于x的分式方程m-3x-1=1的解為x=2,則m的值為（A.5B.4C.3D.22.方程14x=2x+1的解為（A.x=-1B.x=0C.x=35D.x=3.已知關于x的方程有增根，求該方程的增根和k的值.

4.解方程:

參考答案：1.B2.D3.解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，

整理，得x2+（k–2）x–4=0.

因為有增根，所以增根為x=0或x=1.

當x=0時，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；

當x=1時，代入方程，得k=5，所以k=5時,方程有增根x=1.

4.解：方程可化為：得解得x=–3，

經檢驗：x=–3是原方程的根.

（四）課堂小結今天我們學了哪些內容:1.分式方程的定義.2.(1)基本思想：分式方程eq\o(→,\s\up7(去分母))整式方程.(2)基本方法：方程兩邊乘以最簡公分母.(3)基本步驟：①在方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程(一元一次方程)；②解這個整式方程；③檢驗.3.此類分式方程要么有一解，要么無解，兩種可能.（五）課前預習預習下節(jié)課（15.3）152頁到153頁的相關內容。了解列分式方程解應用題的一般步驟.七、課后作業(yè)1、教材152頁練習1,22、解方程：(1)eq\f(3,x2－2x＋1)＝eq\f(2,（x－1）2＋4x)－eq\f(1,1－x2)；(2)eq\f(x,x－2)－eq\f(2x,x－3)＝eq\f(1－x2,x（x－5）＋6).八、板書設計：九、教學反思：1.本節(jié)課的內容是分式方程的定義和簡單分式方程的解法,在教