遼寧省大連市第一二一中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析

遼寧省大連市第一二一中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對任意實數(shù)x，若不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤2參考答案：B【考點】指、對數(shù)不等式的解法．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用．【分析】由已知（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立，由此利用根的判別式能求出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵對任意實數(shù)x，不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，∴（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立，∴△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．故選：B．【點評】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意根的判別式的合理運用．2.關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是A．B．C．

D．參考答案：B令，則。令得或（舍去）?！撸?，∴的最小值為?！唷?.在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（

）A.3 B.6 C.9 D.12參考答案：A【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，然后求對應三角形的面積?！驹斀狻咳鐖D：作出可行域：則不等式組表示的平面區(qū)域面積為故選：A【點睛】本題主要考查了用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。4.若不等式對任意實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.兩位同學一起去一家單位應聘，面試前單位負責人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們倆同時被招聘進來的概率是1∕70”．根據(jù)這位負責人的話可以推斷出參加面試的人數(shù)為（）

A．21 B．35 C．42 D．70參考答案：A略6.執(zhí)行圖中的程序，如果輸出的結(jié)果是4，那么輸入的只可能是（）A．﹣4 B．2 C．±2或者﹣4 D．2或者﹣4參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù)y的值，由題意分類討論即可得解．【解答】解：該程序的作用是計算y=的值，并輸出y值．當x≥0時，x2=4，解得x=2；當x＜0時，x=4，不合題意，舍去；那么輸入的數(shù)是2．故選：B．7.以下程序運行后的輸出結(jié)果為（

）A．17

B．19

C．21

D．23參考答案：C8.曲線與曲線的（

）A、長軸長相等

B、短軸長相等

C、焦距相等

D、離心率相等參考答案：C略9.已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，若x1，x2，且f(x1)＋f(x2)>0，則下列不等式中正確的是A.x1>x2

B.x1<x2

C.x1＋x2>0

D.x1＋x2<0參考答案：C10.如果兩條直線l1-:與l2:平行，那么a等于(

)A． B．2 C．2或 D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數(shù)900180016004300參考答案：180.試題分析：由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為：.考點：分層抽樣.12.曲線在點處切線的傾斜角為

參考答案：略13.圓:+=1,圓與圓關(guān)于直線對稱,則圓的標準方程為_________．參考答案：14.已知等比數(shù)列｛｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,則｛an｝的前n項和Sn=___________．參考答案：略15.已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿參考答案：416.曲線y=2x﹣x3在x=﹣1的處的切線方程為

．參考答案：x+y+2=0【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=﹣1處的導數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．【解答】解：y'=2﹣3x2y'|x=﹣1=﹣1而切點的坐標為（﹣1，﹣1）∴曲線y=2x﹣x3在x=﹣1的處的切線方程為x+y+2=0故答案為：x+y+2=017.在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于第

象限．參考答案：四（或者4，Ⅳ）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知a，b，c是△ABC三邊長，且△ABC的面積.求角C及a，b的值.參考答案：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，則函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，將ab=40代入得：a2+b2=89②，聯(lián)立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．

19.曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為：.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最小值、并求取最小值時的P點坐標.參考答案：（1），；（2），.【分析】（1）利用可將參數(shù)方程化為普通方程；利用極坐標和直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）設(shè)，利用點到直線距離公式表示出所求距離，利用三角函數(shù)知識可求得最小值及取最小值時點坐標.【詳解】（1）由題意可得：曲線普通方程為：直線，化為直角坐標方程為：（2）設(shè)點點到直線的距離為：

故點到直線的距離的最小值為：，此時【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標與直角坐標的互化、利用參數(shù)方程求解橢圓上的點到直線距離的最值問題，屬于常規(guī)題型.20.已知函數(shù)f（x）=（1）求函數(shù)y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；（2）設(shè)實數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范圍；（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣kx（k∈R），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[，e2]上的有兩個零點，求k的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導數(shù)，可得切線的斜率，即可求函數(shù)y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；（2）設(shè)實數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求k的取值范圍；（3）由（2）知，h（x））=在[，]上是增函數(shù)，在[，e2]上是減函數(shù)，利用函數(shù)g（x）在[，e2]上有2個零點，可得k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=…2分∴f′（1）=1，…∴曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=x﹣1；…（2）設(shè)h（x）==（x＞0），則h′（x）=（x＞0）令h′（x）=0，解得：x=；…當x在（0，+∞）上變化時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：x（0，）（，+∞）h′（x）+0﹣h（x）↗↘由上表可知，當x=時，h（x）取得最大值，…由已知對任意的x＞0，k＞h（x）恒成立∴k的取值范圍是（，+∞）．…（3）令g（x）=0得：k==，…由（2）知，h（x））=在[，]上是增函數(shù)，在[，e2]上是減函數(shù)．且h（）=﹣e2，h（）=，h（e2）=當≤k＜時，函數(shù)g（x）在[，e2]上有2個零點，…∴k的取值范圍是≤k＜．…21.已知，設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)f(x)在上的最小值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.參考答案：（1）1，（2）當時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進而可求出其最小值；（2）先對函數(shù)求導，分別討論，兩種情況，即可得出函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）若，則,所以，所以，在上單調(diào)遞減，在上單遞增.故當時，函數(shù)f(x)取得最小值，最小值是（2）由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域是，又當時，，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；當時，令解得，，此時函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的令解得，，此時函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減的綜上所述，當時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是當時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.22.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，e），其中e是橢圓C1的離心率，以原點O為圓心，以橢圓C1的長軸長為直徑的圓C2與直線x﹣y+2=0相切．（Ⅰ）求橢圓C1和圓C2的方程；（Ⅱ）過橢圓C1的右焦點F的直線l1與橢圓C1交于點A，B，過F且與直線l1垂直的直線l2與圓C2交于點C，D，以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積記為S，求S的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓經(jīng)過點（1，e），以原點O為圓心，以橢圓C1的長軸長為直徑的圓C2與直線x﹣y+2=0相切，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程和圓C2的方程．（Ⅱ）若直線AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得S=2；若直線AB的斜率為0，由l1⊥l2，得|AB|=2，|CD|=2，S=；若直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)l1的方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韋達定理、根的差別式、弦長公式、函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件能求出S的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C1：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，e），以原點O為圓心，以橢圓C1的長軸長為直徑的圓C2與直線x﹣y+2=0相切，∴由已知得，解得a=，b=1．所以橢圓C1的方程為，圓C2的方程為x2+y2=2．（Ⅱ）若直線AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得|AB|==，|CD|=2，此時S=．若直線AB的斜率為0，由l1⊥l2，得|AB|=2，