非對(duì)稱韋達(dá)定理的處理技巧

第1頁(yè)共1頁(yè)非對(duì)稱的“韋達(dá)定理”的突破技巧在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理，，之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求，之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了。特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種中的系數(shù)不對(duì)等的情況，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”，接下來，我們來談?wù)劤Ｒ姷耐黄品绞健?.函數(shù)在處有極值，且,求的取值范圍；解：令，則有，。令，則（），得，，所以，即，因?yàn)?，解得。點(diǎn)評(píng)：像這種非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，我們可以通過配湊成正常的韋達(dá)定理處理結(jié)構(gòu)來。，得，，所以2.設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，則的取值范圍為.解析：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得（*）則，注意到，令，則，所以，，所以，即在（*）中，由判別式可得，從而有，所以，解得.結(jié)合得.綜上，.小結(jié)：經(jīng)常出現(xiàn)在圓錐曲線的題型為：過點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)，且滿足之類的，或者是之類的。其中，用坐標(biāo)表示出來后，就可以選擇一個(gè)較簡(jiǎn)單的式子來轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理；我們可以設(shè)他們的比值為，這樣可以轉(zhuǎn)化到，再用同樣的辦法來解決。3.（2010年遼寧理20）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為,.⑴求橢圓C的離心率；⑵如果，求橢圓C的方程.解析：⑴由題意得，設(shè),由題意得，，可得，即，直線的方程為，由得，所以，。代入，可得，即，所以橢圓C的離心率為。⑵，所以，由⑴，解得，，所以橢圓C的方程為4.已知橢圓：（）過點(diǎn)，且離心率為。⑴求橢圓的方程；⑵記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程。解析：⑴⑵由題意得，，直線的方程，設(shè)，由得，所以，。直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得（的系數(shù)出現(xiàn)了不對(duì)稱）解決辦法一：暴力法：由得不妨設(shè)，，代入，（這里的值可以交換）解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上。解決辦法二：（保留一個(gè)），即由根與系數(shù)關(guān)系，知，代入上式，得，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上。解決辦法三：（中，把轉(zhuǎn)化為），即由根與系數(shù)關(guān)系，，知，代入上式，得，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上。解決辦法四：帶點(diǎn)轉(zhuǎn)化，注意到點(diǎn)都在曲線上，所以，所以，所以所以由，，得，，所以，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上。5.（2011年四川理科21）橢圓有兩頂點(diǎn)、，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)．（I）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（II）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值。解析：（I）由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率，設(shè)，。則由，得，可得，所以整理得，，所以，的方程為（II）由題可得，，直線的方程為，直線的方程為，由，可得，（的系數(shù)出現(xiàn)了不對(duì)稱）由，得，代入上式可得，，可得，即所以，是定值1.注意：1.若用上題法三，即若用由，得代入后得，還得用法二的方法代入，所以這里就不寫了。2.也可以把其中一點(diǎn)代入曲線可得代入，也可以達(dá)成目的。1.已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，在橢圓上上，且，設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值。2.已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，分別為左右頂點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為。⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上。⑶設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值。3.（2010年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。（同類）4.（2012年遼寧20理）如圖，橢圓，動(dòng)圓.點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，與相交于四點(diǎn)（1）求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。（同類）5.已知橢圓左頂點(diǎn)為，為原點(diǎn)，是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，直線和分別與橢圓交于兩點(diǎn)⑴若，求的面積的最小值；（2）若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.1.解析：由題意得，，所以，設(shè)直線的方程為，，。由，消去得，所以，則所以，又由得，代入上式得：，所以為定值。2.解析：⑴當(dāng)時(shí)，直線為，令，得。即橢圓的上頂點(diǎn)為，所以，又的周長(zhǎng)為，即，又，解得，所以橢圓的方程為⑵設(shè)，由，消去得，所以，又，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得由得代入上式，得，所以點(diǎn)在定直線上。另，知代入也恰好能得到。⑶由⑵知，，由，知，所以為定值。3.[解析]（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）切入法一：由題意得B（3，0）、A（-3，0），M、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以，可得，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得，即，顯然得交點(diǎn)的坐標(biāo)，所以即，法一：注意到M在橢圓上，所以，即，所以，所以，把，，代入得，即，即得，注意到，所以，所以，即直線的方程為過定點(diǎn)。法二：得，代入得，整理得，即，所以，即直線的方程為過定點(diǎn)。切入法二：點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。方法二：若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。（同類）4.【解析】設(shè)，，又知，，則直線的方程為①直線的方程為②由①②得③由點(diǎn)在橢圓上，故可得，從而有，代入③得：（）（2）證明：設(shè)，由矩形與矩形