分?jǐn)?shù)Brown運動下的一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的定價模型(圖文)

分?jǐn)?shù)Brown運動下的一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的定價模型(圖文)隨著金融市場的日益發(fā)達(dá)，創(chuàng)新品種也越來越多。這其中就包括了剛性重置期權(quán)(RRRoption)、柔性重置期權(quán)(FRRoption)、籃子期權(quán)、帶杠桿的截斷期權(quán)等等。本文將介紹一種與帶杠桿的截斷期權(quán)類似的具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)(PowerResetOption，PRO)的定價模型，在此之前，先來介紹一下與PBO相關(guān)的基礎(chǔ)知識——Brown運動。一、Brown運動Brown運動又稱布朗運動，是一種隨機(jī)分析中最為常見的過程。其特點是在任意時刻，其變化量取決于前一時刻的狀態(tài)，并且變化量服從均值為0，方差為$t-s$的正態(tài)分布，這使得其能夠精確地表示股票價格、匯率以及石油價格等動態(tài)變化的現(xiàn)象。對于一個時間段$[0,T]$，其Brown運動的概率密度函數(shù)為：$$f(x,t)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pit}}e^{-\\frac{x^2}{2t}}$$其中，$x$表示價格變化量，$t$表示時間變化量，可以看到Brown運動的概率密度函數(shù)是一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。二、PowerResetOptionPowerResetOption，簡稱PRO，是一種具有創(chuàng)新特點的重置期權(quán)，其結(jié)構(gòu)與帶杠桿的截斷期權(quán)類似。PRO的結(jié)構(gòu)如下圖所示：在時間$t_i$處，如果價格超過或等于基準(zhǔn)價格$K$，則期權(quán)就會重置，且購買者將獲得若干權(quán)益。具體來講，購買者將能夠獲得一定數(shù)量的股票或資產(chǎn)，通常為單位時間內(nèi)的平均股票數(shù)。而在重置之后，期權(quán)的行權(quán)價格將重新設(shè)置為當(dāng)前時刻的價格$S(t_i)$。假設(shè)$t_i<t_{i+1}$，則PRO在$t_{i+1}$之前的價值為：$$V_{i+1}(S_i)=E_{i+1}[e^{-r(t_{i+1}-t_i)}V_i(S_i^*)]$$其中，$S_i^*$表示$[t_i,t_{i+1}]$中的最高價值，而$V_i(S_i^*)$是該時間段內(nèi)所有價格最高的時刻的權(quán)益。這意味著，期權(quán)價格的變化量將取決于當(dāng)前時刻的股票價格與$S_i^*$的差值，即$dS_i=S_i^*-S_i$。在進(jìn)行期權(quán)定價之前，先來對PRO的核心概念——函數(shù)$V(S)$進(jìn)行定義。假設(shè)PRO的原始價格為$C(S,K)$，則在重置時可獲得一定數(shù)量的基礎(chǔ)資產(chǎn)，其價值為：$$E(C(S(t_i),K))=C(S(t_i),K)+A_iE(S(t_{i+1})-S(t_i))$$其中，$A_i$表示在第$i$次重置時所能獲得的資產(chǎn)數(shù)量，即單位資產(chǎn)的價格乘上重置時$S(t_i)$到$S(t_{i+1})$的變化量，$E(S(t_{i+1})-S(t_i))$表示單位時間內(nèi)的平均的股票數(shù)?；谏鲜龈拍?，$V(S)$的定義為：$$V(S)=C(S,K)+\\sum_{i=1}^{n-1}A_iE[S(t_{i+1})-S(t_i)|(S_{t_i}=S)]$$其中，$n$為期權(quán)的到期期限。三、PRO的定價模型在上文中，已經(jīng)對PRO的核心概念進(jìn)行了定義，接下來需要考慮期權(quán)定價的問題。由于PRO具有重置特性，因此期權(quán)定價也和帶杠桿的截斷期權(quán)類似，仍然需要使用樹模型對其進(jìn)行計算。樹模型是一種簡單而有效的金融工程手段，可以通過生成一組樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來模擬股票價格的變化。樹模型分為兩類，一類是絕對模型(AbsoluteModel)，另一類是相對模型(RelativeModel)。絕對模型指的是從當(dāng)前的價格開始，通過計算未來每一步的期望價格來建立股票價格的樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；而相對模型則是從當(dāng)前價格開始，通過計算未來每一步上漲和下跌股價的概率來建立數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對于PRO的定價模型，可以基于Black-Scholes模型來進(jìn)行計算。Black-Scholes模型是一種最為常用的金融模型，通過假設(shè)股票價格服從的Brown運動和無套利原理來計算期權(quán)價格。該模型可以用以下公式來表示：$$\\frac{\\partialC}{\\partialt}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2C}{\\partial^2S}+rS\\frac{\\partialC}{\\partialS}-rC=0$$其中，$C$為期權(quán)價格，$S$為股票價格，$r$為無風(fēng)險利率，$\\sigma$為波動率。在此基礎(chǔ)上，可以通過構(gòu)建樹模型計算出期權(quán)在不同時間節(jié)點的價格。具體來講，可以按照以下步驟進(jìn)行計算：1.設(shè)定樹形結(jié)構(gòu)先設(shè)定一個$n$層的樹形結(jié)構(gòu)，其中每一層的節(jié)點數(shù)都為$2^k$。在這個樹形結(jié)構(gòu)中，股票價格的變化可以分為兩種：-上漲：當(dāng)前股票價格乘上一個上漲因子，并前置一個概率$u$。-下跌：當(dāng)前股票價格乘上一個下跌因子，并前置一個概率$d$。其中，$u$和$d$的大小可通過以下公式來計算：$$u=e^{\\sigma\\sqrt{\\Deltat}},d=e^{-\\sigma\\sqrt{\\Deltat}}$$其中，$\\Deltat=\\frac{T}{n}$。2.計算期權(quán)價格由于PRO具有重置特性，因此需要考慮重置時的股票價格。具體來講，在每個重置時刻$t_i$，都會計算出相應(yīng)的權(quán)益$A_i$，并將$K$更新為當(dāng)前股票價格$S(t_i)$。因此，在每個將要重置的時刻時，需要將樹形結(jié)構(gòu)中$t>t_i$的股票價格全部替換為$S(t_i)$。這可以保證在期權(quán)到期之前，每個重置時刻對應(yīng)的股票價格都具有相同的初始點。根據(jù)上述步驟，可以計算出每層節(jié)點的股票價格、期權(quán)價格以及概率。最后，將所有節(jié)點的期權(quán)價格累加起來，即可得到期權(quán)的定價結(jié)果。四、總結(jié)本文介紹了一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的