分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下的一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的定價(jià)模型(圖文)

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下的一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的定價(jià)模型(圖文)隨著金融市場(chǎng)的日益發(fā)達(dá)，創(chuàng)新品種也越來(lái)越多。這其中就包括了剛性重置期權(quán)(RRRoption)、柔性重置期權(quán)(FRRoption)、籃子期權(quán)、帶杠桿的截?cái)嗥跈?quán)等等。本文將介紹一種與帶杠桿的截?cái)嗥跈?quán)類似的具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)(PowerResetOption，PRO)的定價(jià)模型，在此之前，先來(lái)介紹一下與PBO相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)——Brown運(yùn)動(dòng)。一、Brown運(yùn)動(dòng)Brown運(yùn)動(dòng)又稱布朗運(yùn)動(dòng)，是一種隨機(jī)分析中最為常見(jiàn)的過(guò)程。其特點(diǎn)是在任意時(shí)刻，其變化量取決于前一時(shí)刻的狀態(tài)，并且變化量服從均值為0，方差為$t-s$的正態(tài)分布，這使得其能夠精確地表示股票價(jià)格、匯率以及石油價(jià)格等動(dòng)態(tài)變化的現(xiàn)象。對(duì)于一個(gè)時(shí)間段$[0,T]$，其Brown運(yùn)動(dòng)的概率密度函數(shù)為：$$f(x,t)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pit}}e^{-\\frac{x^2}{2t}}$$其中，$x$表示價(jià)格變化量，$t$表示時(shí)間變化量，可以看到Brown運(yùn)動(dòng)的概率密度函數(shù)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。二、PowerResetOptionPowerResetOption，簡(jiǎn)稱PRO，是一種具有創(chuàng)新特點(diǎn)的重置期權(quán)，其結(jié)構(gòu)與帶杠桿的截?cái)嗥跈?quán)類似。PRO的結(jié)構(gòu)如下圖所示：在時(shí)間$t_i$處，如果價(jià)格超過(guò)或等于基準(zhǔn)價(jià)格$K$，則期權(quán)就會(huì)重置，且購(gòu)買(mǎi)者將獲得若干權(quán)益。具體來(lái)講，購(gòu)買(mǎi)者將能夠獲得一定數(shù)量的股票或資產(chǎn)，通常為單位時(shí)間內(nèi)的平均股票數(shù)。而在重置之后，期權(quán)的行權(quán)價(jià)格將重新設(shè)置為當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格$S(t_i)$。假設(shè)$t_i<t_{i+1}$，則PRO在$t_{i+1}$之前的價(jià)值為：$$V_{i+1}(S_i)=E_{i+1}[e^{-r(t_{i+1}-t_i)}V_i(S_i^*)]$$其中，$S_i^*$表示$[t_i,t_{i+1}]$中的最高價(jià)值，而$V_i(S_i^*)$是該時(shí)間段內(nèi)所有價(jià)格最高的時(shí)刻的權(quán)益。這意味著，期權(quán)價(jià)格的變化量將取決于當(dāng)前時(shí)刻的股票價(jià)格與$S_i^*$的差值，即$dS_i=S_i^*-S_i$。在進(jìn)行期權(quán)定價(jià)之前，先來(lái)對(duì)PRO的核心概念——函數(shù)$V(S)$進(jìn)行定義。假設(shè)PRO的原始價(jià)格為$C(S,K)$，則在重置時(shí)可獲得一定數(shù)量的基礎(chǔ)資產(chǎn)，其價(jià)值為：$$E(C(S(t_i),K))=C(S(t_i),K)+A_iE(S(t_{i+1})-S(t_i))$$其中，$A_i$表示在第$i$次重置時(shí)所能獲得的資產(chǎn)數(shù)量，即單位資產(chǎn)的價(jià)格乘上重置時(shí)$S(t_i)$到$S(t_{i+1})$的變化量，$E(S(t_{i+1})-S(t_i))$表示單位時(shí)間內(nèi)的平均的股票數(shù)?；谏鲜龈拍睿?V(S)$的定義為：$$V(S)=C(S,K)+\\sum_{i=1}^{n-1}A_iE[S(t_{i+1})-S(t_i)|(S_{t_i}=S)]$$其中，$n$為期權(quán)的到期期限。三、PRO的定價(jià)模型在上文中，已經(jīng)對(duì)PRO的核心概念進(jìn)行了定義，接下來(lái)需要考慮期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題。由于PRO具有重置特性，因此期權(quán)定價(jià)也和帶杠桿的截?cái)嗥跈?quán)類似，仍然需要使用樹(shù)模型對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。樹(shù)模型是一種簡(jiǎn)單而有效的金融工程手段，可以通過(guò)生成一組樹(shù)形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)模擬股票價(jià)格的變化。樹(shù)模型分為兩類，一類是絕對(duì)模型(AbsoluteModel)，另一類是相對(duì)模型(RelativeModel)。絕對(duì)模型指的是從當(dāng)前的價(jià)格開(kāi)始，通過(guò)計(jì)算未來(lái)每一步的期望價(jià)格來(lái)建立股票價(jià)格的樹(shù)形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；而相對(duì)模型則是從當(dāng)前價(jià)格開(kāi)始，通過(guò)計(jì)算未來(lái)每一步上漲和下跌股價(jià)的概率來(lái)建立數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對(duì)于PRO的定價(jià)模型，可以基于Black-Scholes模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算。Black-Scholes模型是一種最為常用的金融模型，通過(guò)假設(shè)股票價(jià)格服從的Brown運(yùn)動(dòng)和無(wú)套利原理來(lái)計(jì)算期權(quán)價(jià)格。該模型可以用以下公式來(lái)表示：$$\\frac{\\partialC}{\\partialt}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2C}{\\partial^2S}+rS\\frac{\\partialC}{\\partialS}-rC=0$$其中，$C$為期權(quán)價(jià)格，$S$為股票價(jià)格，$r$為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，$\\sigma$為波動(dòng)率。在此基礎(chǔ)上，可以通過(guò)構(gòu)建樹(shù)模型計(jì)算出期權(quán)在不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)的價(jià)格。具體來(lái)講，可以按照以下步驟進(jìn)行計(jì)算：1.設(shè)定樹(shù)形結(jié)構(gòu)先設(shè)定一個(gè)$n$層的樹(shù)形結(jié)構(gòu)，其中每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)都為$2^k$。在這個(gè)樹(shù)形結(jié)構(gòu)中，股票價(jià)格的變化可以分為兩種：-上漲：當(dāng)前股票價(jià)格乘上一個(gè)上漲因子，并前置一個(gè)概率$u$。-下跌：當(dāng)前股票價(jià)格乘上一個(gè)下跌因子，并前置一個(gè)概率$d$。其中，$u$和$d$的大小可通過(guò)以下公式來(lái)計(jì)算：$$u=e^{\\sigma\\sqrt{\\Deltat}},d=e^{-\\sigma\\sqrt{\\Deltat}}$$其中，$\\Deltat=\\frac{T}{n}$。2.計(jì)算期權(quán)價(jià)格由于PRO具有重置特性，因此需要考慮重置時(shí)的股票價(jià)格。具體來(lái)講，在每個(gè)重置時(shí)刻$t_i$，都會(huì)計(jì)算出相應(yīng)的權(quán)益$A_i$，并將$K$更新為當(dāng)前股票價(jià)格$S(t_i)$。因此，在每個(gè)將要重置的時(shí)刻時(shí)，需要將樹(shù)形結(jié)構(gòu)中$t>t_i$的股票價(jià)格全部替換為$S(t_i)$。這可以保證在期權(quán)到期之前，每個(gè)重置時(shí)刻對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格都具有相同的初始點(diǎn)。根據(jù)上述步驟，可以計(jì)算出每層節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格、期權(quán)價(jià)格以及概率。最后，將所有節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格累加起來(lái)，即可得到期權(quán)的定價(jià)結(jié)果。四、總結(jié)本文介紹了一種具有冪型創(chuàng)新重置期權(quán)的