雙學(xué)位多項(xiàng)式

雙學(xué)位多項(xiàng)式廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第1頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院概述_1代數(shù)角度

代數(shù)運(yùn)算:加、減、乘、除(帶余除法)及性質(zhì)

最大公因式、互素、不可約、標(biāo)準(zhǔn)分解式、重因式函數(shù)角度

根及其性質(zhì)，余數(shù)定理二者關(guān)聯(lián) 兩多項(xiàng)式函數(shù)相等充要條件為這兩多項(xiàng)式代數(shù)相等第2頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院概述_2與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì) 整除、最大公因式、互素、余數(shù)定理等與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)

不可約、因式分解、根理論等第3頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.1目的與要求掌握一元多項(xiàng)式形式的準(zhǔn)確描述;理解K[x]對(duì)于多項(xiàng)式的加法,數(shù)乘,乘法構(gòu)成K-代數(shù);掌握用多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)解題的方法.第4頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)域_1定義

若集合K中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算后的結(jié)果仍然在K中，則稱K關(guān)于這個(gè)運(yùn)算封閉。定義

復(fù)數(shù)集C的子集K稱為數(shù)域，若其滿足下列條件:包含0,1該集合關(guān)于通常數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算封閉第5頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)域_例例1.有理數(shù)域Q;實(shí)數(shù)域R;復(fù)數(shù)域C.

例2.自然數(shù)集N;整數(shù)集Z.例3.第6頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)域_2命題任一數(shù)域必包含有理數(shù)域Q.命題

R和C之間不存在任何其他數(shù)域.第7頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院一元多項(xiàng)式_1定義

K:數(shù)域,ai∈K,0≤i≤n;n≥0,x:不定元,形如

稱為K上x(chóng)的一元多項(xiàng)式.

例1判斷以下是否多項(xiàng)式?K上一元多項(xiàng)式全體記為K[x]第8頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院一元多項(xiàng)式_2定義

aixi:稱為第i次項(xiàng),ai:第i次項(xiàng)系數(shù).

當(dāng)an≠0時(shí),f(x)稱為n

次多項(xiàng)式,次數(shù)記為degf(x).

anxn:首項(xiàng),an:首項(xiàng)系數(shù),a0:常數(shù)項(xiàng).an=1:首一多項(xiàng)式注1

常數(shù)多項(xiàng)式:

f(x)=a0

≠0(零次多項(xiàng)式)f(x)=a0

≠0degf(x)=0

ai=0,i>0f(x)=0(零多項(xiàng)式),此時(shí)規(guī)定:degf(x)=–∞f(x)=0degf(x)=–∞

注2

f(x)≠0degf(x)≥0第9頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的相等定義兩個(gè)多項(xiàng)式稱為相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的次數(shù)相同且各次項(xiàng)的系數(shù)相等即若

則f(x)=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)m=n,ai=bi,0≤i≤n.第10頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的運(yùn)算_加法1設(shè)f(x),g(x)∈K[x],適當(dāng)增加幾個(gè)系數(shù)為0的項(xiàng),可設(shè)

定義加法:則f(x)+g(x)∈K[x].第11頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的運(yùn)算_加法2性質(zhì)

(1)(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(–

f(x))=0第12頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的運(yùn)算_數(shù)乘1

設(shè)定義c與f(x)的數(shù)乘為:則cf(x)∈K[x].第13頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的運(yùn)算_數(shù)乘2性質(zhì)

(5)(6)(7)(8)第14頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的運(yùn)算_乘法1設(shè)定義f(x)與g(x)的乘積:f(x)g(x)=h(x)其中第15頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院性質(zhì): (9)(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))(10)f(x)g(x)=g(x)f(x)(11)(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)(12)c(f(x)g(x))=(cf(x))g(x)=f(x)(cg(x))(13)1·f(x)=f(x).多項(xiàng)式的運(yùn)算_乘法2第16頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的次數(shù)引理

deg(f(x)+g(x))≤max{degf(x),degg(x)}

degf(x)

=degcf(x),0≠c∈K deg

(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)

注

deg

(f(x)g(x))=0 degf(x)=0且degg(x)=0第17頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式的消去律命題

f(x),g(x)∈K[x].f(x)≠0,g(x)≠0,則

f(x)g(x)≠0.推論

若f(x)≠0,f(x)g(x)=f(x)h(x),則g(x)=h(x).例2

f(x),g(x)∈R[x]且f2(x)

+g2(x)

=0,則f(x)=g(x)

=0.第18頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.2目的與要求掌握帶余除法的內(nèi)容和證明方法;熟練用帶余除法、待定系數(shù)法、湊項(xiàng)法解答有關(guān)整除問(wèn)題.第19頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院整除_定義定義:設(shè)f(x),g(x)∈K[x].若存在h(x)∈K[x].使得

f(x)=g(x)h(x),

則稱g(x)整除f(x),或f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.記為g(x)|f(x).否則記g(x)f(x).注:g(x)|f(x)不可記做g(x)/f(x).第20頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例1

2|3?例2

1)f(x)|0?2)0|f(x)?例3f(x)滿足什么條件時(shí),f(x)|1?例4若g(x)|f(x),問(wèn)是否必有degg(x)≤degf(x)?例5設(shè)g(x)≠0,degg(x)>degf(x),且g(x)|f(x),證明:f(x)=0.第21頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院整除_性質(zhì)性質(zhì):f(x),g(x),h(x)∈K[x],則

(1)反身性:f(x)|f(x);(2)傳遞性:f(x)|g(x),g(x)|h(x),則f(x)|h(x);(3)互伴性:f(x)|g(x),g(x)|f(x),則存在0≠c∈K,使

f(x)=cg(x);

稱此二多項(xiàng)式為相伴多項(xiàng)式,記做f(x)~g(x). (4)f(x)|g(x),則對(duì)任意0≠c∈K,c

f(x)|g(x);(5)f(x)|g(x),f(x)|h(x),則對(duì)任意u(x),v(x)∈K[x],有f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x).特別地若g(x)|g(x)u(x)+h(x),則g(x)|h(x).第22頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院帶余除法_1帶余除法定理設(shè)f(x),g(x)∈K[x],g(x)≠0,則存在唯一q(x)、r(x)∈K[x],且degr(x)

＜degg(x),

使得f(x)=g(x)q(x)+r(x).注1:定理結(jié)論可敘述為：f(x)=g(x)q(x)+r(x),這里或者r(x)=0，或者0≤degr(x)<degg(x).q(x)稱為g(x)除f(x)的商式,r(x)稱為g(x)除f(x)的余式.注2:條件degr(x)

＜degg(x)保證了唯一性.注3:帶余除法與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)嗎？第23頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院帶余除法_2推論:f(x),g(x)∈K[x],g(x)≠0,則

g(x)|

f(x)當(dāng)且僅當(dāng)g(x)除f(x)的余式為0.注

整除關(guān)系與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)嗎？第24頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例6

f(x)=3x4–4x3+5x–1,g(x)=x2–

x+1.求q(x),r(x).例7

求x100+1除以(x–1)2的余式.例8

設(shè)f(x)|g1(x)–

g2(x),f(x)|h1(x)–

h2(x),證明：f(x)|g1(x)h1(x)–

g2(x)h2(x).例9證明x|f(x)的充要條件是x2

|f2(x).例10設(shè)a≠0.證明:xd–

ad|xn–

an的充要條件是d|n.第25頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.3目的與要求熟練掌握最大公因式的概念、性質(zhì)與結(jié)論;熟練掌握互素的概念和充要條件;了解中國(guó)剩余定理的內(nèi)容和思想方法.第26頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_定義定義:

設(shè)f(x),g(x)∈K[x],若d(x)∈K[x]使得

1)

d(x)|f(x)且d(x)|g(x); 2)若h(x)|f(x)且h(x)|g(x),則h(x)|d(x).稱d(x)是f(x)與g(x)的最大公因式.例1

f(x)=(x–1)3(x+2)x,g(x)=(x–1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最大公因式.注1

d(x)是f(x),g(x)的公因式,且次數(shù)最高.第27頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_唯一性注2

設(shè)d(x),d1(x)是

f(x)和g(x)的最大公因式,據(jù)定義有d(x)|d1

(x)且d1(x)|d(x),故存在c∈K,使得d(x)=cd1

(x).即f(x),g(x)的最大公因式最多差一個(gè)非零常數(shù)。f(x),g(x)首項(xiàng)系數(shù)為1(簡(jiǎn)稱首一)的最大公因式是唯一確定的,記為d(x)=(f(x),g(x)).注

(f(x),g(x))=(g(x),f(x))第28頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例2

1)

(f(x),2); 2)(f(x),0),其中f(x)≠0; 3)(2,6);

4)0與0的最大公因式; 5).第29頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_存在性1引理

設(shè)f(x),g(x),h(x)∈K[x]

若g(x)|f(x),則(f(x),g(x))=cg(x);

對(duì)任意h(x)∈K[x],成立

(f(x),g(x))=(f(x)–

h(x)g(x),g(x))注若f(x)=g(x)q(x)+r(x),則(f(x),g(x))=(g(x),r(x))定理設(shè)f(x),g(x)∈K[x],則存在d(x)∈K[x],使得(f(x),g(x))=d(x),且存在u(x),v(x)∈K[x],使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

(證明用Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法)第30頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_存在性2注1

證明方法即是計(jì)算方法.最大公因式即為Euclidean輾轉(zhuǎn)相除中最后一個(gè)非零的余式.注2

最大公因式數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)嗎？注3

設(shè)f(x),g(x),d(x)∈K[x],且d(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1.如果存在u(x),v(x)∈K[x],使得

1)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 2)d(x)|f(x),d(x)|g(x)

則d(x)=(f(x),g(x)).特別提示若沒(méi)有條件2),則不能保證結(jié)論成立.第31頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_多個(gè)多項(xiàng)式1定義對(duì)m個(gè)多項(xiàng)式fi(x)

∈K[x],1≤i≤m,若存在首項(xiàng)系數(shù)為1的d(x)∈K[x],使得

(1)d(x)|fi(x),1≤i≤m (2)若h(x)|fi(x),1≤i≤m,則h(x)|d(x)

則稱d(x)是fi(x),1≤i≤m

的最大公因式,記做d(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))第32頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最大公因式_多個(gè)多項(xiàng)式2命題

設(shè)f(x),g(x),h(x)∈K[x],則

(f(x),g(x),h(x))=((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))注求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式可先求任意兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式,再用同樣方法繼續(xù),而不必顧及先后順序.例3

求第33頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院作業(yè)作業(yè):p1031(1)(2)(4); p1871,3(a≠0),4,7*; p1942(1)

補(bǔ)充:設(shè)a,b,c兩兩互異,用(x-a),(x-b),(x-c)除f

(x)的余式是r,s,t.試求用

(x-a)(x-b)(x-c)除f

(x)的余式.思考:p1874,6

第34頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)設(shè)以下所有多項(xiàng)式均為K上x(chóng)的一元多項(xiàng)式

若,則若,則對(duì)

帶余除法:

且當(dāng)時(shí),唯一.第35頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院互素_1定義:設(shè)f(x),g(x)∈K[x],若(f(x),g(x))=1,則稱f(x)與g(x)互素.定理

設(shè)f(x),g(x)∈K[x],則f(x),g(x)互素當(dāng)且僅當(dāng)存在u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.注一般的若僅有d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),并不能保證d(x)=(f(x),g(x)).

但若u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,就確保(f(x),g(x))=1.第36頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例4

設(shè)則例5

設(shè),且,證明對(duì)任意自然數(shù)m,第37頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院互素_2推論1

設(shè)f1(x)|g(x),f2(x)|g(x),且(f1(x),f2(x))=1,則f1(x)f2(x)|g(x).推論2

設(shè)(f(x),g(x))=1,且f

(x)|g(x)h(x),則

f

(x)|h(x).推論3

設(shè)(f(x),g(x))=d(x)≠0,且f

(x)=f1(x)d(x), g(x)=g1(x)d(x),則(f1(x),g1(x))=1.推論4

設(shè)t(x)是首一多項(xiàng)式,(f(x),g(x))=d(x),則(f(x)t(x),g(x)t(x))=d(x)t(x).推論5

設(shè)(f1(x),g(x))=1,(f2(x),g(x))=1,則(f1(x)f2(x),g(x))=1.第38頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)若,則對(duì)

且

第39頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.4目的與要求熟練掌握不可約因式的基本性質(zhì);掌握因式分解定理的存在性與唯一性的證明方法;熟練利用標(biāo)準(zhǔn)分解式解決相關(guān)問(wèn)題;理解重因式的概念與判定方法.第40頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院不可約多項(xiàng)式_定義定義

設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)≥1,若f(x)能表為兩個(gè)次數(shù)較小的多項(xiàng)式之積,則稱f(x)是K上可約多項(xiàng)式,否則稱為K上不可約多項(xiàng)式.注1

只有非常數(shù)多項(xiàng)式才有可約或不可約的概念.注2

K上不可約多項(xiàng)式f(x)的因式只能是K上非零常數(shù)c及cf(x).次數(shù)為1的多項(xiàng)式必不可約.注3

多項(xiàng)式是否可約與數(shù)域K有關(guān).

例如x2–2在Q[x]上是不可約多項(xiàng)式,但在R[x]上是可約多項(xiàng)式.注4

多項(xiàng)式分為:可約多項(xiàng)式,不可約多項(xiàng)式,0次多項(xiàng)式和0多項(xiàng)式.第41頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院不可約多項(xiàng)式_性質(zhì)1性質(zhì)1

f(x),p(x)∈K[x],且p(x)是不可約多項(xiàng)式,則或p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.性質(zhì)2

設(shè)f(x),g(x),p(x)∈K[x],且p(x)是不可約多項(xiàng)式,若p(x)|f(x)g(x),

則或p(x)|f(x)或p(x)|g(x).注1

性質(zhì)2中若不可約多項(xiàng)式p(x)不整除f(x),也不整除g(x),則p(x)不整除f(x)g(x).注2

性質(zhì)中p(x)不可約是重要的.如p(x)=x2,f(x)=x,g(x)=x,p(x)|f(x)g(x),但第42頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院不可約多項(xiàng)式_性質(zhì)2性質(zhì)1的逆命題

設(shè)p(x)∈K[x],degp(x)>0,滿足以下性質(zhì):對(duì)任意f(x)∈K[x]或p(x)|f(x)或(f(x),p(x))=1,則p(x)在K上不可約.性質(zhì)2的逆命題設(shè)p(x)∈K[x],degp(x)>0,滿足以下性質(zhì):對(duì)任意f(x),g(x)∈K[x],如果p(x)|f(x)g(x)必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),則p(x)是K上不可約多項(xiàng)式.注多項(xiàng)式f(x)不可約的判定除了定義外,還可以通過(guò)其與任意多項(xiàng)式的關(guān)系(要么整除要么互素)來(lái)判定.第43頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院不可約多項(xiàng)式_性質(zhì)3推論設(shè)f1(x),f2(x),…,fm(x)∈K[x],且p(x)是K上不可約多項(xiàng)式,若p(x)|f1(x)f2(x)…fm(x),

則存在i,1≤i≤m,使得p(x)|fi(x).第44頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院因式分解基本定理_1因式分解基本定理

設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)≥1,則

1)f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x),其中pi(x)是K上不可約多項(xiàng)式,1≤i≤s; 2)若f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)

其中pi(x),qj(x)在K上不可約,1≤i≤s,1≤j≤t,則 必有s=t且經(jīng)過(guò)適當(dāng)調(diào)換因式順序后,qi(x)~pi(x),1≤i≤s.

多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式

其中pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,ei≥1.第45頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例1

分別求多項(xiàng)式f(x)=6(x8–4x4+4)分別在Q、R和C上的多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式.第46頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最小公倍式_定義定義:設(shè)f(x),g(x)∈K[x],若m(x)∈K[x]使得

1)

f(x)|m(x)且g(x)|m(x); 2)若f(x)|l(x)且g(x)|l(x),則m(x)|l(x)則稱m(x)是f(x)與g(x)的最小公倍式.首一最小公倍式記作[f(x),g(x)].例4

f(x)=(x–1)3(x+2)x,g(x)=2(x–1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最小公倍式、最大公因式.推論5

設(shè)f(x),g(x)是非零多項(xiàng)式,則f(x)g(x)~(f(x),g(x))[f(x),g(x)].第47頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院因式分解基本定理_2定理

設(shè)ai≥0,bi≥0,ai+bi＞0,1≤i≤m,pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,則第48頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院重因式_1多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,則其導(dǎo)數(shù)為f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+a1(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(

x)(cf(x))’=cf’(

x)(fm(x))’=mfm-1(x)f’(

x).第49頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院定義

不可約多項(xiàng)式p(x)稱為f(x)的k重因式

(k＞1),如果并且.注

不可約多項(xiàng)式p(x)為f(x)的k重因式 例2

分別在R和C上敘述p(x)=x2+1是否是f(x)=(x4–1)3的重因式.若是,是幾重因式;若不是,為什么?

重因式_2第50頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院定理若不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k(>2)重因式,則p(x)是f’(x)的k–1重因式.注1

若不可約多項(xiàng)式p(x)是f’(x)的k–1重因式,并不意味著p(x)是f(x)的k重因式.注2

若不可約多項(xiàng)式p(x)是f’(x)的k–1重因式,且p(x)|f(x),問(wèn)p(x)是f(x)的k重因式么?(思考)重因式_3第51頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院定理設(shè)d(x)=(f(x),f’(x)),f(x)=f1(x)d(x),則f1(x)是一個(gè)無(wú)重因式的多項(xiàng)式,且此多項(xiàng)式的每一個(gè)不可約因式與f(x)的不可約因式相同.

證明思路:設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)分解式,則從而注去除重?cái)?shù)的有效方法重因式_4第52頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院推論1

若不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式,則p(x)是f(x),f’(x),…,f(k-1)(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式.推論2

不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的重因式 p(x)是f(x)和f’(x)的公因式.推論3

f(x)無(wú)重因式(f(x),f’(x))=1.注1

判斷f(x)是否有重因式無(wú)需進(jìn)行因式分解.注2

f(x)是否可約與數(shù)域有關(guān);p(x)是否是f(x)的重因式與數(shù)域有關(guān);但f(x)是否有重因式與數(shù)域無(wú)關(guān).重因式_5第53頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例3:設(shè)證明:存在自然數(shù)N,使得當(dāng)n1,n2>N時(shí),總成立例4:設(shè),證明 的充要條件是存在K上不可約多項(xiàng)式,使得

例5:設(shè)f(x)∈K[x],a∈K,令g(x)=f(x+a).證明f(x)在K上可約g(x)在K上可約.第54頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院作業(yè)作業(yè):p1943,4;p2271,2;p1981(1),2,4,6;p2273;

補(bǔ)充1:求證無(wú)重因式.

補(bǔ)充2:求有重因式的條件.

補(bǔ)充3:f(x)=anxn+…+a1x+a0在K上可約,其中ana0≠0,證明g(x)=a0xn+…+an-1x+an在K上也可約.思考:若不可約多項(xiàng)式p(x)是f’(x)的k–1重因式,且p(x)|f(x),問(wèn)p(x)是f(x)的k重因式么?選做:f(x),g(x)全不為零,若f(x)g(x)+f(x)+g(x)=p(x)是首一不可約多項(xiàng)式,則(f(x),g(x))=1.第55頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)p(x)是K上不可約多項(xiàng)式

p(x)的因式只能是c或cp(x),0≠c∈K.

f(x)∈K[x],p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.

f(x),g(x)∈K[x],且p(x)|f(x)g(x),

則p(x)|f(x)或p(x)|g(x).f(x)無(wú)重因式(f(x),f’(x))=1.設(shè)d(x)=(f(x),f’(x)),f(x)=f1(x)d(x),則f1(x)是一個(gè)無(wú)重因式的多項(xiàng)式,且此多項(xiàng)式的每一個(gè)不可約因式與f(x)的不可約因式相同.第56頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.5目的與要求理解多項(xiàng)式可作為函數(shù)的根的性質(zhì);理解兩個(gè)多項(xiàng)式相等作為函數(shù)相等;了解多項(xiàng)式的性質(zhì)與數(shù)域擴(kuò)大的關(guān)系;能應(yīng)用多項(xiàng)式的函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.第57頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式函數(shù)_1設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,對(duì)任意b

∈K,定義f(b)=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0,則

定義了數(shù)域K上的函數(shù).定義設(shè)f(x)∈K[x],b∈K,且f(b)=0,則稱b為f(x)在K上的一個(gè)根或零點(diǎn).余數(shù)定理設(shè)f(x)∈K[x],b∈K,則存在唯一的g(x)∈K[x],使得f(x)=(x–

b)g(x)+f(b).特別地,b是f(x)的根當(dāng)且僅當(dāng)(x–

b)|f(x).第58頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式函數(shù)_2定理設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)=n,則f(x)在K內(nèi)至多有n個(gè)不同的根.推論設(shè)f(x),g(x)∈K[x],且degf(x),degg(x)≤n,且存在n+1個(gè)不同的數(shù)b1,b2,…,bn+1∈K,使得f(bi)=g(bi),1≤i≤n+1,則f(x)=g(x).定理設(shè)f(x),g(x)∈K[x],則f(x),g(x)作為多項(xiàng)式相等(即次數(shù)和各次項(xiàng)系數(shù)相等)當(dāng)且僅當(dāng)f(x),g(x)作為多項(xiàng)式函數(shù)相等:即對(duì)任意b∈K,有f(b)=g(b).第59頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例例1sinx不是R上多項(xiàng)式.例2

設(shè)degf(x)>0,n是正整數(shù).又若f(x)|f(xn),則f(x)的根或?yàn)?或?yàn)閱挝桓?(復(fù)習(xí)題6)第60頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式函數(shù)_3定義b∈K,若(x–

b)k|f(x),但 則稱b為f(x)的一個(gè)k重根.若k=1,則稱b為單根.注1

f(x)在K上有重根,則在K上必有重因式;反之未必.命題

設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)=n,則f(x)在K上至多有n個(gè)根.第61頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例3

設(shè)b是f(x)的k重根,則b是f’(x)的k–1重根.反之未必.例4

設(shè)b是(f(x),f’(x))的k–1重根,則b必是f(x)的k重根.第62頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院多項(xiàng)式性質(zhì)與數(shù)域擴(kuò)大的關(guān)系多項(xiàng)式的整除、帶余除法、最大公因式、互素與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān)定理設(shè)F,K是數(shù)域,且.設(shè)f(x),g(x)∈K[x],則

1)在K[x]上,g(x)

|f(x)在F[x]上,g(x)|f(x); 2)在K[x]上,f(x)=g(x)

q(x)

+r(x)

在F[x]上,f(x)=g(x)

q(x)

+r(x)

3)在K[x]上,(f(x),g(x)

)=d(x)

在F[x]上,(f(x),g(x)

)=d(x)

4)在K[x]上,(f(x),g(x)

)=1

在F[x]上,(f(x),g(x)

)=1

多項(xiàng)式的根、不可約、標(biāo)準(zhǔn)分解式與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)第63頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例5

討論f(x)=x2+1在R、C上的根與可約性.例6

f(x)在K上不可約,則必在任何數(shù)域上無(wú)重根(作業(yè)).例7

f(x),p(x)是K上多項(xiàng)式,p(x)在K上不可約,且f(x)與p(x)在C上有公共根,則p(x)|f(x).例8

f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,m,n,p是正整數(shù),則x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.第64頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)

K上x(chóng)的一元多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式

其中pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的K上不可約多項(xiàng)式,ei≥1.ei的確定

pi(x)的確定第65頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.6目的與要求理解代數(shù)基本定理與C[x]上多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)分解式;熟練掌握Viète定理.第66頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)基本定理

每個(gè)次數(shù)大于0的復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式都至少有一個(gè)根.推論復(fù)數(shù)域上的一元n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個(gè)根.推論復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次的.復(fù)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:

其中ai∈C且兩兩互異,ei>0,1≤i≤m,第67頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)學(xué)的推進(jìn)最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展。韋達(dá)用“分析”這個(gè)詞來(lái)概括當(dāng)時(shí)代數(shù)的內(nèi)容和方法。創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號(hào)，用字母代替未知數(shù)系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系給出三次方程不可約情形的三角解法著有《分析方法入門》、《論方程的識(shí)別與訂正》等多部著作詳情進(jìn)入課程網(wǎng)站

→應(yīng)用與實(shí)驗(yàn)→數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介韋達(dá)(FransoisViète,1540-1603)法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一第68頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院Viète定理_根與系數(shù)的關(guān)系Viète定理

設(shè)

f(x)=xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn∈K[x]

在K中有n個(gè)根x1,x2,…,xn,則

第69頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例1

寫出下列多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系:

第70頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例2

設(shè)x3+px2+qx+r的三個(gè)根成等差數(shù)列,求證2p3–9pq+27r=0.例3設(shè)是x3+px2+qx+r的根.求多項(xiàng)式,使得其根為例4設(shè)f(x)=anxn+…+a0的n個(gè)根x1,x2,…,xn兩兩互異,且xi≠0,1≤i≤n,求以為根的多項(xiàng)式.第71頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院作業(yè)作業(yè):p2011,2,3,5;p22711 p2061,5;p22814思考:p2063,4;p22813選做:p2016;p2278

補(bǔ)充:設(shè)f(x)=anxn+…+a0∈Z[x],a0為素?cái)?shù),且a0>|a1|+…+|an|,則f(x)在Z上不可約.第72頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)域上的一元n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個(gè)根.復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次的.復(fù)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:

其中ai∈C且兩兩互異,ei>0,1≤i≤m,第73頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院§5.7目的與要求熟練掌握實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式;學(xué)習(xí)一些解決實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式問(wèn)題的方法和技巧.學(xué)會(huì)用綜合除法等方法求一些Q上多項(xiàng)式的有理根;理解整數(shù)集Z上多項(xiàng)式在Q上可約性的關(guān)系;熟練應(yīng)用Eisenstein判別法;了解Q上多項(xiàng)式分解問(wèn)題的一些技巧與方法.第74頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式引理

f(x),p(x)是K上多項(xiàng)式,p(x)在K上不可約,且f(x)與p(x)在C上有公共根,則p(x)|f(x).定理

設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.若復(fù)數(shù)a+bi(b≠0,a,b∈R)是f(x)在C上的根,則a–

bi也是f(x)在C上的根.推論

實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式或?yàn)橐淮位驗(yàn)槎味囗?xiàng)式ax2+bx+c,其中b2–4ac<0.實(shí)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:

其中ai,bj,cj∈R,ei,lj>0,bj2–4cj<0,ai兩兩互異,且

x2+bjx+cj兩兩互素,1≤i≤m,1≤j≤r.第75頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例子例1

證明x8+5x6+4x4+2x2+1無(wú)實(shí)根.例2

設(shè)f(x)∈R[x],則在f(x)的兩個(gè)實(shí)根之間至少存在f’(x)的一個(gè)根.例3

已知,ci∈R,0≤i≤n.證明f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn至少有一個(gè)實(shí)根.例4

設(shè)f(x)∈R[x],degf(x)為奇數(shù),則f(x)必有實(shí)數(shù)根.例5

設(shè)f(x)∈R[x],且f(x)只有實(shí)根.證明:若是f’(x)的重根(重?cái)?shù)≥2),則f(

)=0.第76頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:

其中ai∈C且兩兩互異,ei>0,1≤i≤m.復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次的.實(shí)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:

其中ai,bj,cj∈R,ei,lj>0,bj2–4cj<0,ai兩兩互異,且

x2+bjx+cj兩兩互素,1≤i≤m,1≤j≤r.實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式或?yàn)橐淮位驗(yàn)槎味囗?xiàng)式ax2+bx+c,其中b2–4ac<0.第77頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院素?cái)?shù)與整數(shù)的互素設(shè)p,a,b是整數(shù),且p是素?cái)?shù).若p整除ab,則p整除a,或p整除b.設(shè)p,a,b是整數(shù),若p整除a,且p整除a+b,則p整除b.設(shè)p,q,h是非±1整數(shù),且p,q互素,則若p整除qh,則p整除h.第78頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院有理系數(shù)多項(xiàng)式_1定理

設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式,則有理數(shù)q/p是f(x)的根的必要條件是p|an,q|a0,其中p,q是互素的整數(shù)．注1

首一的整系數(shù)多項(xiàng)式其有理根必為整數(shù),且是a0的因子.注2Z上f(x)有理根q/p,則分母p必為首項(xiàng)系數(shù)的因子,分子q必為常數(shù)項(xiàng)的因子.此非充分的.例6

判斷x3+6x2+9x+1是否有有理根?

判斷x3+6x2+9x+54是否有有理根?第79頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院有理系數(shù)多項(xiàng)式_2定理設(shè)整數(shù)

是整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的根,則 都是整數(shù).注1

此法僅適用于整數(shù)根的判定,一般有理根不適用.注2

∈Z僅是斷定整數(shù)是f(x)根的必要條件,非充分條件.如2非x2+2的根.例6

判斷6,–6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.第80頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)