人教版高中數(shù)學(xué)必修五等差數(shù)列通項公式優(yōu)質(zhì)教案-2023修改整理

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從容說課

本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓同學(xué)明確等差中項的概念，進一步嫻熟把握等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)的公

式，并能通過通項公式與圖象熟悉等差數(shù)列的性質(zhì)；讓同學(xué)明了一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必然是一個等差數(shù)列，使同學(xué)學(xué)會用圖象與通項公式的關(guān)系解決某些問題在學(xué)法上，引導(dǎo)同學(xué)去聯(lián)想、探究，同時鼓舞同學(xué)大膽質(zhì)疑，學(xué)會探索.在教學(xué)過程中，遵循同學(xué)的認(rèn)

知邏輯，充分調(diào)動同學(xué)的樂觀性，盡可能讓同學(xué)經(jīng)受學(xué)問的形成和進展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)愛好，發(fā)揮

他們的主觀能動性及其在教學(xué)過程中的主體地位，通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)同學(xué)的觀看、分析

資料的能力，樂觀思維，追求新知的創(chuàng)新意識

通過對等差數(shù)列的討論，使同學(xué)明確等差數(shù)列與普通數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特別與普通的辯證唯

物主義觀點，通過等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想，進一步滲透數(shù)

形結(jié)合思想、函數(shù)思想.通過引導(dǎo)同學(xué)樂觀探索，主動學(xué)習(xí)，提高同學(xué)學(xué)習(xí)樂觀性，也提高了課堂的教學(xué)效

果

教學(xué)重點等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用

教學(xué)難點等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、靈便應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題

教具預(yù)備多媒體及課件

三維目標(biāo)

一、學(xué)問與技能

1.明確等差中項的概念

2.進一步嫻熟把握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式，能通過通項公式與圖象熟悉等差數(shù)列的性質(zhì)

3.能用圖象與通項公式的關(guān)系解決某些問題

二、過程與辦法

1.通過等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、

函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，

滲透方程思想

2.發(fā)揮同學(xué)的主體作用，講練相結(jié)合，作好探索性學(xué)習(xí)

3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)樂觀性

三、情感態(tài)度與價值觀1.通過對等差數(shù)列的討論，使同學(xué)明確等差數(shù)列與普通數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特別與普通的辯證

唯物主義觀點

2.通過體驗等差數(shù)列的性質(zhì)的神秘，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師學(xué)生們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式，哪位學(xué)生能回憶一下什么樣的

數(shù)列叫等差數(shù)列？

生我回答，普通地，假如一個數(shù)列從其次項起，

每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即an-an-1=d(n≥２，n∈N*)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差

(通常用字母“d”表示

師對，我再找學(xué)生說一說等差數(shù)列

{an}的通項公式的內(nèi)容是什么？生1等差數(shù)列{an}的通項公式應(yīng)是an=a1+(n-1)d生2等差數(shù)列{an}還有兩種通項公式：

an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數(shù)師好！剛才兩位學(xué)生說得很好，

由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的公式：①d=an-an-1；②11

naadn；③mn

aadmn.你能理解與記憶它們嗎？生3公式②1

1naadn與③mnaadmn記憶邏輯是項的值的差比上項數(shù)之間的差(下標(biāo)之差［合作探索］

探索內(nèi)容：假如我們在數(shù)

a與數(shù)

b中間插入一個數(shù)A，使三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什

么樣的條件呢？

師本題在這里要求的是什么

生固然是要用a，b來表示數(shù)A

師對，但你能按照什么學(xué)問求?如何求?誰能回答

生由定義可得A-a=b-A，即

2b

aA

反之，若

2b

a

A，則A-a=b-A

由此可以得

2b

a

Aa,A,b成等差數(shù)列

推動新課

我們來給出等差中項的概念：若a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項

按照我們前面的探索不難發(fā)覺，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項

如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項

9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項

［辦法引導(dǎo)］

等差中項及其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列A=a+b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列

［合作探索］

師在等差數(shù)列{an}中，d為公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么這些項與項之間有何種等量關(guān)系呢？

生我得到了一種關(guān)系am+an=ap+aq

師能把你的發(fā)覺過程說一下嗎？

生受等差中項的啟發(fā)，我發(fā)覺a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7

從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq

師你所得的這關(guān)系是歸納出來的，歸納有利于發(fā)覺，這很好，但歸納不能算是證實！我們是否可以對這

歸納的結(jié)論加以證實呢？

生我能給出證實，只要運用通項公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項為a1，則

am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d

ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d

由于我們有m+n=p+q,所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq

師好極了！由此我們的一個重要結(jié)論得到了證實：在等差數(shù)列{an}的各項中，與首末兩項等距離的兩項的

和等于首末兩項的和.另外，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq

同樣地，我們還有：若m+n=2p,則am+an=2ap.這也是等差中項的內(nèi)容

師注重：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，學(xué)生們可舉例說明嗎

生我舉常數(shù)列就可以說明白

師舉得好!這說明在等差數(shù)列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的須要不充分條件.

［例題剖析］

【例1】在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9

師在等差數(shù)列中通常如何求一個數(shù)列的某項？

生1在通常狀況下是先求其通項公式，再按照通項公式來求這一項

生2而要求通項公式，必需知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的隨意兩項(知道隨意兩項就知道公差，這在前面已討論過了

生3本題中，只已知一項和另一個雙項關(guān)系式，想到從這雙項關(guān)系式入手

師好，我們下面來解，請一個學(xué)生來解一解，誰來解？

生4由于{an}是等差數(shù)列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-

所以可得d=a4-a3=7-

又由于a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我們求出了a3=2，a9

【例2】(課本P44的例2)某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4千米(不含4

千米)計費10元.假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，迎候時光為0，需要支付多少元的車費

師本題是一道實際應(yīng)用題，它所涉及到的是什么學(xué)問方面的數(shù)知識題？

生這個實際應(yīng)用題可化歸為等差數(shù)列問題來解決

師為什么？

生按照題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增強1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來舉行計算車費

師這個等差數(shù)列的首項和公差分離是多少

生分離是11.2，

師好，大家計算一下本題的結(jié)果是多少

生需要支付車費23.2元

(老師按課本例題的解答示范格式

評述：本例是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個容易應(yīng)用，做此題的目的是讓大家學(xué)會從實際問題中抽象

出等差數(shù)列的模型，用等差數(shù)列學(xué)問解決實際問題

課堂練習(xí)

1.在等差數(shù)列{an}中，

(1)若a5=a,a10=b,求a15

解：由等差數(shù)列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a

(2)若a3+a8=m,求a5+a6

解：等差數(shù)列{an}中，a5+a6=a3+a8

(3)若a5=6,a8=15,求a14

解：由等差數(shù)列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d

從而a14=a5+(14-5)d

(4)已知a1+a2+…＋a5=30,a6+a7+…＋a10=80，求a11+a12+…＋a15的值

解：等差數(shù)列{an}中，由于

所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12

從而(a11+a12a15)+(a1+a2+…＋a5)=2(a6+a7+…＋a10

因此有(a11+a12+…＋a15)=2(a6+a7+…＋a10)-(a1+a2+…＋a5

=2×80-

2.讓同學(xué)完成課本P45練習(xí)

老師對同學(xué)的完成狀況作出小結(jié)與評價

［辦法引導(dǎo)］

此類問題的解題的關(guān)鍵在于靈便地運用等差數(shù)列的性質(zhì)，因此，首先要嫻熟把握等差數(shù)列的性質(zhì)，第二要

注重各基本量之間的關(guān)系及其它們的取值范圍

課堂小結(jié)

師通過今日的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么學(xué)問?有何體味？

生通過今日的學(xué)習(xí),明確等差中項的概念;進一步嫻熟把握等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì).

(讓同學(xué)自己來總結(jié)，將所學(xué)的學(xué)問,結(jié)合獵取學(xué)問的過程與辦法，舉行回顧與反思，從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合,培養(yǎng)同學(xué)的概括能力和語