平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)課件

上章內(nèi)容回顧試驗(yàn)資料的整理：檢查和核對(duì)；制作次數(shù)分布表和分布圖（柱形圖、折線圖、條形圖，餅圖）試驗(yàn)資料計(jì)數(shù)資料（非連續(xù)）質(zhì)量性狀資料（數(shù)量化處理）數(shù)量性狀資料計(jì)量資料（連續(xù)變量）試驗(yàn)資料搜集常用的方法：調(diào)查和試驗(yàn)試驗(yàn)資料均具有集中性和離散性兩種基本特征，平均數(shù)是反映集中性的特征數(shù)，變異數(shù)是反映離散型的特征數(shù)第三章平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)平均數(shù)（mean）用于反映資料的集中性，即觀測(cè)值以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）與變異系數(shù)（variationcoefficient）反映資料的離散性，即觀測(cè)值分散變異的性質(zhì)。第一節(jié)平均數(shù)一、平均數(shù)的意義和種類(lèi)二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性四、算術(shù)平均數(shù)的作用五、總體平均數(shù)算術(shù)平均數(shù):一個(gè)數(shù)量資料中各個(gè)觀察值的總和除以觀察值個(gè)數(shù)所得的商數(shù)，稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，記作。因其應(yīng)用廣泛，常簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)或均數(shù)(mean)。均數(shù)的大小決定于樣本的各觀察值。012345678910平均數(shù)=5平均數(shù)=61234567141、算術(shù)平均數(shù)2、中位數(shù)中位數(shù):將資料內(nèi)所有觀察值從大到小排序，居中間位置的觀察值稱(chēng)為中數(shù)(median)，計(jì)作Md。當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列，找到中間的1個(gè)數(shù)（n為奇數(shù)）或2個(gè)數(shù)（n為偶數(shù)），之后求平均即可。0123456789101214012345678910中位數(shù)=5中位數(shù)=5眾數(shù):資料中最常見(jiàn)的一數(shù)，或次數(shù)最多一組的中點(diǎn)值，稱(chēng)為眾數(shù)(mode)，記為M0。如棉花纖維檢驗(yàn)時(shí)所用的主體長(zhǎng)度即為眾數(shù)。3、眾數(shù)眾數(shù)可能不存在可能有多個(gè)眾數(shù)多用于屬性數(shù)據(jù)01234567891011121314眾數(shù)=9沒(méi)有眾數(shù)幾何平均數(shù):如有n個(gè)觀察值，其相乘積開(kāi)n次方，即為幾何平均數(shù)(geometricmean)，用G代表。其計(jì)算公式如下：

4、幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù):（harmonicmean）各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù)，記為H。即

（4.6）5、調(diào)和平均數(shù)對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：（4.1）簡(jiǎn)寫(xiě)：【例1】某植保站測(cè)得10只某類(lèi)害蟲(chóng)的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（mg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10得：即10只害蟲(chóng)的平均體重為528.5mg。（二）加權(quán)法（4.2）式中：xi-第i組的組中值；fi-第i組的次數(shù)；k-分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi

在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi稱(chēng)為是xi

的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：【例3】140行水稻產(chǎn)量（P38），用兩種方法求其平均數(shù)，并比較計(jì)算結(jié)果。（1）直接法：（2）加權(quán)法：1、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算與每一個(gè)數(shù)（值）都有關(guān)。

2、如果是n1個(gè)值的平均數(shù),是n2個(gè)值的平均數(shù)，那么全部n1＋n2個(gè)值的算術(shù)平均數(shù)是（加權(quán)平均數(shù)）

三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性

4、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。（常數(shù)）或簡(jiǎn)寫(xiě)為：5、若A為任意常數(shù)，6、平均數(shù)是有單位的數(shù)值，與原資料單位相同。注意：必須性狀同質(zhì)時(shí)，才有代表性。算術(shù)平均數(shù)是描述觀測(cè)資料的重要特征數(shù)，它的作用主要有以下兩點(diǎn)：1.指出數(shù)據(jù)資料的中心位置，標(biāo)志著資料所代表性狀的數(shù)量水平和質(zhì)量水平。2.可以作為樣本或資料的代表數(shù)據(jù)與其他資料進(jìn)行比較。四、算術(shù)平均數(shù)的作用

對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：

（4.3）

式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱(chēng)此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)量。五、總體平均數(shù)二、方差為了正確反映資料的變異度，較合理的方法是根據(jù)樣本全部觀察值來(lái)度量資料的變異度。這時(shí)要選定一個(gè)數(shù)值作為共同比較的標(biāo)準(zhǔn)。平均數(shù)既作為樣本的代表值，則以平均數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn)較為合理，但同時(shí)應(yīng)該考慮各樣本觀察值偏離平均數(shù)的情況，為此這里給出一個(gè)各觀察值偏離平均數(shù)的度量方法。為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，()，稱(chēng)為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即Σ()=0，因而不能用離均差之和Σ()來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即Σ|x–x|/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。

我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，且離均差之和為零的問(wèn)題。先將各個(gè)離均差平方，即()2，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱(chēng)平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為均方（meansquare,縮寫(xiě)為MS）,又稱(chēng)樣本方差，記為S2，即

S2=（4.7）相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：（4.8）標(biāo)準(zhǔn)差為方差的正平方根值，用以表示資料的變異度,其單位與觀察值的度量單位相同。從樣本資料計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：同樣，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差用表示：

由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：三、標(biāo)準(zhǔn)差由于所以（4.9）式可改寫(xiě)為：（4.10）相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：（4.11）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。四、變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和觀察值的單位相同，表示一個(gè)樣本的變異度。若比較兩個(gè)樣本的變異度，則因單位不同或均數(shù)不同，不能用標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行直接比較。這時(shí)可計(jì)算樣本的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)均數(shù)的百分?jǐn)?shù)，稱(chēng)為變異系數(shù)(coefficientofvariation)。變異系數(shù)是無(wú)量綱的量，可以用于不同單位、不同尺度下各樣本變異程度的比較。

【例7】已知某甲品種豬平均體重為190kg，