高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：選修4-1《幾何證明選講》1

第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

[主干知識(shí)梳理]一、平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．二、平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段

． 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段

．成比例成比例三、相似三角形的判定及性質(zhì)1．判定定理內(nèi)容判定定理1

對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2

對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似判定定理3

對(duì)應(yīng)成比例且

相等，兩三角形相似兩角三邊兩邊夾角2.性質(zhì)定理內(nèi)容性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于性質(zhì)定理2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比性質(zhì)定理3相似三角形的面積比等于推論相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比相似比的平方相似比的平方四、直角三角形的射影定理

直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的

；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的

．比例中項(xiàng)比例中項(xiàng)

[基礎(chǔ)自測(cè)自評(píng)]1.(教材習(xí)題改編)如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm.則BC的長(zhǎng)為________．2．(教材習(xí)題改編)如圖所示，BD、CE

是△ABC的高，BD、CE交于F.寫出圖中 所有與△ACE相似的三角形____________ ____． 解析由Rt△ACE與Rt△FCD和Rt△ ABD各有一個(gè)公共銳角，因而它們相似． 又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽R(shí)t△FBE.

答案△FCD，△FBE，△ABD3如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么△MON與△AOC面積的比是________．答案1∶45．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D.若BC＝m，∠B＝α，則AD長(zhǎng)為________． 解析由射影定理，得

AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC， 即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m， 即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.

又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α， ∴AD＝mcos

αsin

α.

答案mcos

αsin

α[關(guān)鍵要點(diǎn)點(diǎn)撥]1．使用平行線截割定理時(shí)要注意對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，對(duì)應(yīng)順序不能亂．2．相似三角形判定定理的作用：

(1)可以判定兩個(gè)三角形相似．

(2)間接證明角相等、線段長(zhǎng)成比例．

(3)為計(jì)算線段的長(zhǎng)度及角的大小創(chuàng)造條件．平行線分線段成比例定理的應(yīng)用

[規(guī)律方法]比例線段常由平行線產(chǎn)生，利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當(dāng)題中沒有平行線條件而又必須轉(zhuǎn)移比例時(shí)，常通過(guò)添加輔助平行線達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的．

[跟蹤訓(xùn)練]1．(1)(2014·泉州模擬)如圖，要測(cè)量的A、C兩點(diǎn)被池塘隔開，李師傅在AC外任選一點(diǎn)B，連接BA和BC，分別取BA和BC的中點(diǎn)E、F，量得E、F兩點(diǎn)間的距離等于23米，則A、C兩點(diǎn)間的距離為________米．[典題導(dǎo)入] (2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．相似三角形的判定及性質(zhì)

(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．[規(guī)律方法]1．相似三角形的判定主要是依據(jù)三個(gè)判定定理，結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的關(guān)系．2．注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線．3．相似三角形的性質(zhì)可用來(lái)考查與相似三角形相關(guān)的元素，如三角形的高、周長(zhǎng)、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的直徑等．

[跟蹤訓(xùn)練]2.如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，過(guò)E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知PD＝2DA＝2，則PE＝________.射影定理的應(yīng)用[規(guī)律方法]1．在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．2．證題時(shí)，作垂線構(gòu)造直角三角形是解該問(wèn)題的常用方法．

[跟蹤訓(xùn)練]3．(1)如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的 射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓

O的半徑等于________． 解析在Rt△ACB中， 由射影定理得CD2＝AD·DB,42＝8·AD，

AD＝2，AB＝AD＋DB＝10， 所以圓的半徑等于5.

答案5【創(chuàng)新探究】巧構(gòu)相似三角形求面積之比

(2014·廣東揭陽(yáng)一模)如圖所示，AB是⊙O的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)E作切線ED⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.若CB＝2，CE＝4，則AD的長(zhǎng)為________．【高手支招】

借助圖形判斷三角形相似的方法：(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；(3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊．

[體驗(yàn)高考]