生物統(tǒng)計(jì)學(xué)單因素方差分析

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)單因素方差分析第1頁/共61頁方差分析

analysisofvariance－ANOVA由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出。方差分析是一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，是用來判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的。它不同于t檢驗(yàn)之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對(duì)所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒有顯著性差異，則認(rèn)為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同。第2頁/共61頁

方差分析中常用基本概念（一）試驗(yàn)指標(biāo)

experimentalindex

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目。（二）試驗(yàn)因素experimentalfactor

試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素，常用大寫字母A、B、C、…等表示。

單因素試驗(yàn)與兩因素或多因素試驗(yàn)。

固定因素與隨機(jī)因素：是否可控制。第3頁/共61頁（三）因素水平leveloffactor試驗(yàn)因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱為因素水平，簡(jiǎn)稱水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等。（四）重復(fù)repeat

在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；某一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為該處理的重復(fù)數(shù)。第4頁/共61頁本章主要內(nèi)容第一節(jié)單因素方差分析的基本原理第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟教學(xué)重點(diǎn)：

單因素方差分析的方法教學(xué)要求：1.掌握方差分析的概念、作用、基本原理與步驟2.掌握單因素試驗(yàn)資料的方差分析方法第5頁/共61頁第一節(jié)單因素方差分析的基本原理一、線性模型二、固定線性模型三、隨機(jī)線性模型四、多重比較五、基本假定第6頁/共61頁

（一）線性模型

linearstatisticalmodel

假設(shè)某單因素試驗(yàn)有a個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有na個(gè)觀測(cè)值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表9-1所示。一、線性模型第7頁/共61頁表9-1單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式合計(jì)X1X2X3…

Xi…

Xa

1

χ11χ21χ31χi1

χa1

2χ12χ22χ32χi2χa23χ13χ23χ33χi3χa3………………jχ1jχ2jχ3jχij

χajnχ1nχ2nχ3nχinχan合計(jì)平均數(shù)總體均數(shù)處理效應(yīng)第8頁/共61頁符號(hào)文字表述an

因素水平數(shù)每一水平的重復(fù)數(shù)第i水平的第j次觀察值第i水平所有觀察值的和第i水平均值全部觀察值的和總平均值第i水平上的子樣方差各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計(jì)算的一級(jí)數(shù)據(jù)，在本章我們采用了黑點(diǎn)符號(hào)體系法表示，要注意熟悉和掌握。第9頁/共61頁

可以分解為

表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進(jìn)行分解，

其中μ表示全試驗(yàn)觀測(cè)值的總體平均數(shù)(overallmean)，

是第i個(gè)處理的效應(yīng)(treatmenteffect),表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。第10頁/共61頁

該式稱為單因素試驗(yàn)的線性統(tǒng)計(jì)模型或數(shù)學(xué)模型。（二）方差分析的基本思路

將a個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源的總體方差估計(jì)值；通過計(jì)算這些估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體均值是否相等。方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。第11頁/共61頁二固定模型fixedmodel因素固定、效應(yīng)也固定，反應(yīng)到線性模型中即為常數(shù)．可要求。1.假設(shè)固定模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：

第12頁/共61頁

故an個(gè)觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來度量。2.平方和與自由度的剖分第13頁/共61頁總平方和的拆分第14頁/共61頁第15頁/共61頁三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：①等重復(fù)時(shí)：②不等重復(fù)時(shí)：第16頁/共61頁

在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀察值要受這一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減一，即an-1?？傋杂啥扔洖閐fT，則

dfT=an-1

。在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。處理間自由度記為dft，則dft=a-1。總自由度的拆分第17頁/共61頁

在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受a個(gè)條件的約束，即，i=1,2,...a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減a，即an-a。處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe=an-a=a(n-1)。因?yàn)?/p>

na-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)

所以dfT=dfA+dfe

綜合以上各式得：第18頁/共61頁

總均方的拆分是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡(jiǎn)稱為總平方和(SST)

，剖分成處理間平方和(SSA)與處理內(nèi)平方和(SSe)兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。處理間均方（處理均方，MSA

）處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe

）第19頁/共61頁

各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方,分別記為：

MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即

MST=ST2=SST/dfT;MSt=St2=SSt/dft;MSe=Se2=Sse/dfe

注意：在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以一般不必計(jì)算；總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。第20頁/共61頁3.期望均方

expectedmeansquares

EMS若A是B的無偏估計(jì)，則稱B是A的數(shù)學(xué)期望。處理內(nèi)均方MSe是誤差方差2的無偏估計(jì)值，即2稱為MSe

的數(shù)學(xué)期望。第21頁/共61頁4.統(tǒng)計(jì)量當(dāng)零假設(shè)成立時(shí)，處理效應(yīng)的方差為零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)i(i=1，2，…，a)

相等時(shí)，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差2的估計(jì)值。

方差分析就是通過MSA與MSe的比較來推斷各處理平均數(shù)間差異的大?。?/p>

F=MSA2/MSe2F具有兩個(gè)自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。第22頁/共61頁查附表7:若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，可認(rèn)為各處理間差異不顯著；若≤F＜，即0.01＜P≤0.05,否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異顯著，標(biāo)記“*”

;若F≥

，即P≤0.01，否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異極顯著，標(biāo)記“**”。第23頁/共61頁【例9.1】

某試驗(yàn)研究不同藥物對(duì)腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機(jī)分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對(duì)照，A2、A3為兩個(gè)不同的用中藥組，A4、A5為兩個(gè)不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表7—2所示。表9—2

用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結(jié)果藥物各小鼠存活天數(shù)（xij）合計(jì)xi.平均A11516151718816561

=1319A2454250383921445796=9254A3303529313516025600=5152A4312820253013417956=3670A5403531323016828224=5710合計(jì)x..=75712413725105第24頁/共61頁這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)a=5,重復(fù)數(shù)n=5。第一步：計(jì)算一級(jí)數(shù)據(jù)（見表）；第二步：計(jì)算SSe、SSA、dfe

、dfA

矯正項(xiàng)C=x2../an/（5×5）=22921.96

總平方和處理間平方和

=248274-2291.96=1905.44

處理內(nèi)平方和SSe=SST-SSA=2183.04－1905.44=277.60=20第25頁/共61頁總自由度dfT=an-1=25-1=24=5×5-1=24

處理間自由度dfA=a-1=5-1=4=4處理內(nèi)自由度dfe=dfT-dfA=24-4=20

=處理間均方MSA=SSt/dfA=1905.44

/4=476.36

處理內(nèi)均方MSe=SSe/dfe=

277.60

/20=13.88

第三步：提出假設(shè)=24零假設(shè)為：H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著備擇假設(shè)為：HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著第26頁/共61頁第四步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32**第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學(xué)解釋：

F＞F0.01(4,20)=4.43，P＜0.01。說明五個(gè)處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。第27頁/共61頁在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見表9—3。表9—3

表9—2資料的方差分析表變異來源平方和自由度均方F值處理間SSA

1905.44dfA

4MSA

476.3634.22**處理內(nèi)SSe

277.60dfe

20MSe

13.88總變異SST2183.04

dfT

24F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行;在表的左下方注出顯著水平α。第28頁/共61頁三、隨機(jī)模型Randommodel

因素隨機(jī)、效應(yīng)不固定

是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1.假設(shè)

隨機(jī)模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：

第29頁/共61頁2.總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3.數(shù)學(xué)期望：4.統(tǒng)計(jì)量F:注意：在做生物學(xué)解釋時(shí)，固定模型中的結(jié)論只適用于檢查的那幾個(gè)因素水平；隨機(jī)模型中的結(jié)論可推廣到這一因素的各個(gè)水平。第30頁/共61頁四、多重比較(multiplecomparisons)

統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。

（一）為什么要進(jìn)行多重比較？

F值顯著或極顯著，否定了無效假Ho，表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒有顯著差異。因而，有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。第31頁/共61頁（二）常用的多重比較方法多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法和最小顯著極差法。1、最小顯著差數(shù)法(LSD法，Leastsignificantdifference)1.1LSD法的基本原理

在處理間F檢驗(yàn)顯著的前提下,先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα,然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較，作出結(jié)論。第32頁/共61頁最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算：式中為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值,均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤則下式算得。其中MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復(fù)數(shù)。第33頁/共61頁顯著水平取0.05和0.01時(shí)，從t值表查出代入，即可求得LSD0.05和LSD0.011.2

LSD法多重比較步驟列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01;將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計(jì)算出的LSD0.05

、LSD0.01

比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。第34頁/共61頁

【例9.1】dfe=20,n=5,MSe=13.88查t值表得：

t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t0.01(20)=2.845

所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為：第35頁/共61頁表9-4五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD法))處理平均數(shù)-16.2-26.8-32.0-33.6A542.826.6**16.0**10.8**9.2**A433.617.4**6.8**1.6A332.015.8**5.2*A226.810.6**A116.2第36頁/共61頁

將表9-4中的10個(gè)差數(shù)與LSD0.05

、LSD0.01比較：小于LSD0.05者不顯著；介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，標(biāo)記“*”；大于LSD0.01者極顯著，標(biāo)記“**”。檢驗(yàn)結(jié)果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。表明所用的藥物不論中西藥對(duì)小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。第37頁/共61頁說明：實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法：LSD法是將t檢驗(yàn)中把所求得的t的絕對(duì)值與臨界值的比較轉(zhuǎn)化為將各對(duì)均數(shù)差值的絕對(duì)值與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計(jì)推斷的．第38頁/共61頁2.Duncan法2.1Duncan法的基本原理把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度（最小顯著極差R(α,k）），如果兩平均數(shù)的極差大于或等于R(α,k），則兩平均數(shù)間差異顯著；如果小于R(α,k）差異不顯著，這種方法就稱為Duncan法。若xi＞xj，k＝i-j＋1，因此，若有a個(gè)平均數(shù)相互比較，就有a-1種秩次距(a,a-1,a-2,…,2)，因而需求得a-1

個(gè)R(α,k），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。第39頁/共61頁2.2檢驗(yàn)步驟：列出平均數(shù)多重比較表；由自由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表9），計(jì)算最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k

；將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。第40頁/共61頁對(duì)于【例9.1】，已算出=1.67，依dfe=20,k=2,3,4,5，由附表9查臨界r0.05(20,k)和r0.01(20,k)值，乘以，求得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表9-5。

dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.024.96.733.104.225.27.043.184.335.37.253.254.405.47.3表9-5r值與R值第41頁/共61頁處理平均數(shù)-16.2-26.8-32.0-33.6A542.826.0**16.0**10.8**9.2**A433.617.4**6.8*1.6nsA332.015.8**5.2*A226.810.6**A116.2

表9-6五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(Duncan

法)第42頁/共61頁五、基本假定①效應(yīng)的可加性（additivity）②分布的正態(tài)性（normality）③方差的同質(zhì)性（homogeneity）第43頁/共61頁方差分析的基本步驟1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。3.若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和Duncan

法。第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟第44頁/共61頁一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析【例9.2】

為了研究小白鼠患白血病后脾組織中DNA含量的變化，測(cè)定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421的脾。測(cè)定結(jié)果見表9—7。試檢驗(yàn)各組DNA含量差異是否顯著。第45頁/共61頁

表9—7四組小白鼠脾組織中DNA含量1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

C=x2../an=398.12/(4×8)=4952.61組別DNA含量（mg/g）xi.xi.2112.313.213.715.215.816.917.315.4119.814.981815.9614352.04210.811.612.312.713.513.514.813.6102.812.851332.2810567.8439.310.311.111.711.712.012.312.490.811.351038.628244.6449.510.310.510.510.510.911.011.584.710.59899.157174.09合計(jì)x..=398.1

5086.0140338.61第46頁/共61頁

SSe=SST–SSA=133.40-89.72=43.68dfT=an-1=4×8-1=31dfA=a-1=4-1=3dfe=dfT-dfA=31-3=282.

列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)，見表9—8。表9—8

四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表變異來源平方和自由度均方F值組間89.72329.9119.17**組內(nèi)43.68281.56總變異133.4031第47頁/共61頁

根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得：

F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57

因?yàn)镕＞F0.01(3,28),即P＜0.01，表明處理間DNA含量的差異達(dá)到1％顯著水平。3.

多重比較采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見表9—9。因?yàn)镸Se=1.56,n=8,所以根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9查出α=0.05和α=0.01的各臨界r值,各r值乘以,即得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表9-10。第48頁/共61頁

表9—9

r值及LSR值dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012822.903.911.2821.72833.044.081.34421.80343.134.181.38331.848組別平均數(shù)-10.59-11.35-12.85114.984.39**3.63**2.13**212.852.26**1.50*311.350.76410.59平均數(shù)表9—10

各組DNA含量平均數(shù)多重比較表第49頁/共61頁檢驗(yàn)結(jié)果表明：

正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類白血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。也就是說各類白血病都將導(dǎo)致小白鼠脾中DNA含量明顯降低。組別平均數(shù)432114.984.39**3.63**2.13**212.852.26**1.50*311.350.76410.59第50頁/共61頁二、各處理重復(fù)數(shù)不相等的方差分析

這種情況下方差分析步驟與各處理重復(fù)數(shù)相等的情況相同，只是在有關(guān)計(jì)算公式上略有差異。設(shè)處理數(shù)為a；各處理重復(fù)數(shù)為n1,n2,…,na

；試驗(yàn)觀察值總數(shù)為N=Σni。則第51頁/共61頁【例9.3】五個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg)如表7—11所示。試比較品種間增重有無差異。表9—11五個(gè)品種豬30天增重品種增重（kg）nixi.xi.2/niB121.519.520.022.018.020.06121.02440.1720.22450.5B216.018.517.015.520.016.06103.01768.1717.21783.5B319.017.520.018.017.0591.51674.4518.31680.25B421.018.519.020.0478.51540.5619.61544.25B515.518.017.016.0466.51105.5616.61109.25合計(jì)25460.58528.91=8567.85第52頁/共61頁

此例處理數(shù)a=5，各處理重復(fù)數(shù)不等?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析：

1.

計(jì)算各項(xiàng)平方和及其自由度第53頁/共61頁2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表9—12

五品種育肥豬增重方差分析表

臨界F值為F0.05（4，20）=2.87，F(xiàn)0.01（4，20）=4.43,因?yàn)?.99＞4.43，故P＜0.01，表明品種間差異極顯著。3.多重比較

采用Duncan法，各處理平均數(shù)多重比較表見表9—12。變異來源