代數(shù)式與恒等變形

第5講爹代數(shù)式與恒等變形在化簡、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數(shù)式變形.恒等變形，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡潔，一般可以把恒等變形分為兩類：一類是無附加條件的，需要在式子默認的范圍中運算；另一類是有附加條件的，要善于利用條件，簡化運算.恒等式變形的基本思路：由繁到簡（即由等式較繁的一邊向另一邊推導）和相向趨進（即將等式兩邊同時轉(zhuǎn)化為同一形式）.恒等式證明的一般方法：單向證明，即從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡，變形的過程中要不斷注意結(jié)論的形式，調(diào)整證明的方向.雙向證明，即把左、右兩邊分別化簡，使它們都等于第三個代數(shù)式.3.運用“比差法”或“比商法”，證明“左邊一右邊=0〃或左邊=1（右邊NO）”，可得左邊d右邊.3.4.運用分析法，由結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，探求思路，本節(jié)結(jié)合實例對代數(shù)式的基本變形（如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項與逐步合并等）方法作初步介紹，題1求證：3n+2—2n+2+2X5n+2+3n—2n=10（5n+1+3n—2n-1）.◎旅熠對同底數(shù)冪進行合并整理，解方法一：左邊=2X5X5n+1+(3n+2+3n)+(—2n+2—2〃)=10X5n+1+3n(32+1)—2n-1⑵+2)=10X5n+1+10X3n—10X2n-1=10(5n+1+3n—2n—1)=右邊，方法二：左邊=2X5n+2+3n(32+1)—2n(22+1)=2X5n+2+10X3n一5X2n.右邊=10X5n+1+10X3n—10X2n-1=2X5n+2+10X3n一5X2n.故左邊=右邊.鼠m方法一中受右邊“5n+1、3n、2n-1”的提示，對左邊式子進行合并時，以5〃+1、3〃與2n—1為主元合并，迅速便捷.(■頊壓斐！讀一題，練3題，練就解題高手1-1.已知a+b+c=0,求證：a3+b3+c3=3abc.1-2.已知x+j+乙=xyz,證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.[I—[I?-1-3.證明：％'2+、：3f2+%2+溫3.2+*2+\；2+3.1：2-上：2+<2+方=1.題21+2+3+…+100=?經(jīng)研究，這個問題的一般結(jié)論是1+2+3+???+n=；n(n+1),其中，n為整數(shù)，現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：x2+2x3+...+nx(n+1)=?觀察下面三個特殊的等式：x2=3(1x2x3-0x1x2);x3=3(2x3x4-1x2x3);x4=|(3x4x5-2x3x4);將這三個式子兩邊相加(累加)，可得1x2+2x3+3x4=^x3x4x5=20.3讀完這段材料，請您思考回答：1x2+2x3+…+100xm=1x2+2x3+…+n(n+1)=1x.2x3+2x3x4.+???+n(n+1)(n+2)=(只寫出結(jié)果，不必寫出中間的過程)以k翠京翁分析此題可得到如下信息：100x101=3(100x101x102-99x100x101);n(n+1)=3[n(n+1)(n+2)一(n一1)n(n+1)];解(1)1x2+2x3++]00x101=!(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3++100x101x1032-99x100x101)=3x100x101x102=343400;(2)由類比思想知x2+2x3++n(n+1)=3n(n+1)(n+2).1x2x3=^(1x2x3x4-0x1x2x3),4x3x4.=4(2x3x4x5-1x2x3x4),n(n+1)(n+2)=1[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]4貝1x2x3+2x3x4+…+n(n+1)(n+2)=1n(n+1)(n+2)(n+3).4擊展探究】11在解題時要善于利用類比推理思想，理解并記住一些常用的一般性結(jié)論，如仍+弟+…+1n111=,=+—=++.n(n+1)n+11+、：22+%：3yn+%：n+1=眼n+1—1,1+3+5++(2n—1)=n2.rrsjEia讀一題，練3題，練就解題高手2-1.已知n是正整數(shù)，P3,y)是反比例函數(shù)y=—圖象上的一列點，其中工=1,工=2,…,工=幾nnnX12n記T=xy,T=xy,…,T=xy-若T=1,則TT???T的值是11222399101129I.我們把分子為1的分數(shù)叫做單位分數(shù)，如導，4,…，任何一個單位分數(shù)都可以寫成兩個不同的單位分數(shù)的和，1111111

如一=—+一，一=一+—,——-23-634124511=—+,,；20根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)m=日+—,請寫出口,。所表示的數(shù)；I1X-X，111——,進一步思考，單位分數(shù)一(n是不小于2的正整數(shù))二^+―請寫出△,*所表示的代數(shù)式，并加以驗n△*證.2-3.已知a,a,…a都是正數(shù)，M=(a+a+…+a)(a+a+…+a),N=<a+a+…+12200912200823200912a)(a+a+a).試比較M與N的大小.2008生活數(shù)，題3已知土^b+\=:+口、,a,b,c互不相等，求證8a+9b+5c=?0.a—b2(b—c)3(c—a)a+bh+cC+a7本題可設(shè)g=寸=E=*,然后求解.a+bb+c設(shè)=a—b2(b—c)c+ai=k,3(c—a)貝ga+b=k(a—b),.c=2k(b—c),c+a=3k(c—a).故6(a+b)=6k(a—b),3(b+c)=a(b—c),2(c+a)=6k(c—a).以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a—b—c+c—a).即8a+9b+5c=0.盛矗：忌路本題運用了連比等式設(shè)參數(shù)k的方法，這種引入?yún)?shù)的方法是恒等式證明中的常用技巧，f?成迥?.:讀一題，練1題，決出能力高下3a+3a+2b-52b+c+13-1.已矢口=a-bk-23b+2c-8c一3a+2a+2b+3c一2=2,則2c+a—64a—3b+c+7題4證明(y+z一2x)3+(z+x一2y)3+(x+y—2z)3=3(y+z一2x)-(z+x一2y)(x+y—2z).筆*策疝船本題看似復雜，但是仔細分析各項特征，可嘗試使用多變量換元法.解令y+z一2x=a,①z+x一2y=b,②x+y一2z=c,③則原待證恒等式轉(zhuǎn)化為a3+b3+c3=3abc.聯(lián)想到公式a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一bc一ca).由①+②+③，得a+b+c=(y+z一.2x)+(z+x一2y)+(x+y一2z)=0.故a3+b3+c3—3abc=0,即a3+b3+c3=3abc.原式得證.通惹齡換元法的使用可以使題目條件更趨簡潔，更易把握題目特點.mm讀一題，練mm讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌4-1試用x+l的各項冪表示x3—2.x2+3x—1.4-2.已知2005x2=2007y2=2009z2,x>0,y>0,z>0且1+1+1=1.xyz求證：\.2005x+2007y+2009z=*'頊5+、頊7+*2009.x一232x一34-3.解方程:TOC\o"1-5"\h\z—=—?4-3.解方程:x一2x一32111「題5設(shè)x,y,z互為不相等的非零實數(shù)，且x+=y+—=z+—求證：x2y2z2=1yzx上圣*由于結(jié)論為“x2y2z2=T'的形式，可以從題設(shè)式中導出X，y，z乘積的形式xy，yz，zx解由x+1=y+-1,變形可得yx

yz則yz—-~--①x—yyz同理可得zx—二,②y—z由①X②X③，得X2y2z2—1.本題中x，y,z具有輪換對稱的特點，也可從二元情形中得到啟示：即令x,y為互不相等的非零實數(shù)，且X+-—y+-1,易推出X—y—-—1,故有xy———1,所以x2y2—1,三元與二元情形類TOC\o"1-5"\h\zyxxyx—y似.妒疝膏@讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌1,11175-1若實數(shù)x，y，z滿足x+—=4,y+—=1,z+—=廠，則xyz=yzx35-2.已知x=—(、5+1'3),y=—(i'5—、：3),求x2+6xy+y2的值.1711,15-3.已知實數(shù)a，b，c，d互不相等，且a+—b+c+=d+x,試求x的值，bcdaa2a2a2題6已知y=a——,z=—,求■證：x=a—-xyz混澎戳舂由待證式x=a-az2知要從題設(shè)條件中消去y.a2a2解由已知，得y=a—~x,—a—z兩式相乘，得a2=(a—〒)(a?—z),a3a2z即a2—a2—x—az+xaza2所以z=Tr?拓展躡究a2綜合考查條件結(jié)論，充分挖掘隱含信息，常會成為解題的關(guān)鍵，如本題中由y=a-w,z=a—a2a2了,,到x—a-方,,,發(fā)現(xiàn)要消去y這一信息.拓展躡究(?砌頌讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌,-ab6-1.已知ab=1,求——-+—-的值.a+1b+1_a-bb—cc-a…6-2.設(shè)P=,q=,r=,?其中a+b,b+c,c+a不為零.求證：a+bb+cc+a(1+P)(1+q)(1+r)=(1—P)(1—q)?(1—r).6-3.已知a,b,c,d滿足a<b,c<d,a+b=c+d=0,a3+b3=c3+?d3.求證：a=c,b=d.參考答案與提示[能力曝浪]1■L方法一：因為/+序知—湖一be—匚a乂+故"，+"+仲一如依=?！讣?護士/=為仙\方法二胭為婦七故兩邊立方」字/廠…(臚+N+3臟首+3齦已\您硬M導+護十尸=一3?仆+心=3蚌方法三=由寸+方+『=?！箤j=—6—代人左張十得JS十〃+H-一+3臚廠+3/+網(wǎng))斗屏+『=一r)=uUrfib.■.】-*因為了+丫+若=產(chǎn)*打所以*左j￡[——妒一./+//)+.T(1—『一點’>+(1—了一―+殆寧Tsr)—T—瑚十才-3妒_+丫件事_牛射一"+/疽=砂L邛('+j)—1充《或+c)—yz(y~bz)-+".r>z<jy+yz+u')=jtj??—jy(rvt—t)—*)—yw(xyz—jt)+ryz(jry+y活+方)=jyw+jj?￡+jyz+ljryz=右邊?3.枷=Jiz+\.7z+i/^7t*ya-b/S—.1—(2H-Ty)?V^2-h73=%/4—=1：--右邊，2-].51.2提示：丁i=/iw+tl「」5=L所以*T?枚k=^ty3=2Xl=2.所以T(7a--1^=1]^-JsJi”…-j^>ioF*]X-|_X2X-^-X3X-|iX*t,X9X,^^j^=51.2.E-2.(!>□表旅的數(shù)為&O表示的數(shù)為30.&)△表示的代教式為用+1,★表示的代數(shù)式為1fh*】,_】_.-■一一一|1m士」一四丹矛十由+DhS+口*3+口-皿[距+])一1V-故—-———|—W?!^+｝十機川+】「2-3.設(shè)心4■昭+f"+“E?B=4訥MT&i+&HA+砒網(wǎng))=ui*力+叫aim+始■思仙N=S|+3+思歐)&=用*白+臚上的Eo?.故A4—一乂""…皿碩點是正數(shù).所以M—N＞。,即州＞一耳3L輜-提示|瞼十劭一5=2M一”+2)2lj"他一9=山(Dr-3d4-2=2(3r+u-&)=>3c+^-H=O.③聯(lián)立①(M.解得u-L占-2,r=3.1+4+9-2123_故原式一.§_日_(13+廠82,4-1.設(shè).jt+1=l則Jf=—L故，一鹽2+"—1="-1尸一2"—1戶+3?一1)一1=尸_沁+iw-7=O+1■一隊J?+1)2+)CXt+D-7.42,令2005,zz=L007^-=2009e3=t>0)-Sfli]0C5r=—fZ[>07y=—+200&t=—.TOC\o"1-5"\h\zxyi因吧十『衲/Z眺I■收斗網(wǎng)=：=#k(土+土+土)質(zhì)-又2005=4^2007=A>2009^-y,x5jrW^72^F7^007+72009=—+-+—=^?T5￡所以7200^+2007^+2009^=/2'6o54-/?007+/20C9.df4JT~2JT—3m|.3.今日=一3則以一一i——r.2uv即(g—1)停+客)=。，亦即?+u=0或1.掖^十亨=0成亨，?_1,即5-r-13=O或w(j■—5)=0廊得]=['成工=0或J1=5.經(jīng)檢驗均滿足原方程-]W5L1提華：因為4=j+—=工+*7]J]KW1___1_.3~jr|7J~3十并了1工7TJ~~所以i(^,r—JI)=j-(4x—3>+7x—3,4F—1W+9=El*.i』h71725t1i3從(itj2=y-—=2—5?故x,yE=yXl-X-|-=I.2.由已知甫了+尸后耳一七.故J^+6xy4>2=(x4-5-V4-4x^=<y5)2+4Xy=7.5-3.由已知*有「1"②③④

：&⑤代人①,得「=］產(chǎn)士？⑥椅⑥tU③.堂艾M+土7，即-I)jrr-(2d-i/)x+^+l=0.⑦由④式帛沖+1=口，代入⑦式甫(』一丘…0.由巳知.禰』一皿￥。,故，一打一"若lSA!由隅可褂h=g與巳卸矛盾.故j-2=2tj=±禎P('注：這■樣的ciE.f*』策存衣■的)S-L由M=R得<!=+.I.理i巧_.點：尸一了-班間E十兩=T77頑一頑或+1T+1&1士,=1+斗■羯汀一，=1一琴-品，I司理1*=金，1”備]+r=2cr+?