公開課教案橢圓

公開課教案

課型新課

授課章節(jié)

橢圓及其標準方程（一）

名稱

課時1

課題授課授課教師

序號時間班級姓名

（一）知識目標：

1、理解橢圓的定義、焦點、焦距的概念；

2、橢圓標準方程的推導；

（二）水平目標：

1、使學生理解并掌握橢圓的定義、焦距。

2、使學生掌握橢圓的標準方程及其推導方法。

教學目標（三）情感目標：

1、通過小組合作，培養(yǎng)學生的協(xié)作、友愛精神。使學生理解到

世間的一切事物的運動都是有規(guī)律的。

2、培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求規(guī)律，理解規(guī)律，并用其來解決實

際問題水平。

3、使學生通過運動規(guī)律，認清事物運動的本質(zhì)。

1．橢圓的定義；

教學重點

2．橢圓的標準方程及其求法。

1．橢圓定義的理解；

教學難點2．橢圓標準方程的推導，比較復雜的根式的化簡。

教材中等職業(yè)教育教材出版高等教育作

選用教材李廣全

名稱《數(shù)學》拓展模塊社出版社者

課外作業(yè)

教學體會

教學教學手段

教學內(nèi)容

程序與方法

一、情景設置：

2005年10月12日是中國人感到自豪和驕傲的日子。請問

這個天在中國發(fā)生了什么震驚世人的事件？中國人終于實現(xiàn)

什么夢想？

2005年10月12日，中國“神州6號”飛船試驗成功，中

國人實現(xiàn)了千年飛天夢想。

請問“神州6號”飛船饒著什么飛行？它的運行軌道是什

么？

“神州6號”飛船繞著地球飛行，它的運行軌道是橢圓。

在我們實際生活中，還有橢圓形狀的物品，請舉出一些例

子。

（地球繞著太陽旋轉(zhuǎn)的軌跡是橢圓；很多星體的運行軌

道是橢圓形；油罐車的橫截面是橢圓形）多媒體演示九大行星

的運行軌跡，給學生以形象地理解橢圓的形狀。

這節(jié)課我們就來學習橢圓

二、新課：

1、橢圓定義的形成：

我們知道圓是平面內(nèi)到定點的距離等于常數(shù)的點的軌跡，

它能夠用圓規(guī)等畫出來，那么橢圓是怎么得到的呢？

用幾何畫板來演示下圖橢圓的形成過程：同時顯示當M運

動時，|MF|、|MF|、|MF|+|MF|的數(shù)值的變化。（當M在

1212

運動時|MF|、|MF|在改變，而|MF|+|MF|的值始終不變）

1212

培養(yǎng)學生的觀察問題的水平。M

FF

12

思考：由上面的演示過程，嘗試給出它的定義：

小組討論后得出：橢圓是到兩個定點的距離之和為常

數(shù)的點的軌跡。

下面由大家自己動手畫橢圓，思考剛才給出的定義還有沒

有別的限制條件？

讓學生拿出課前準備好的一塊紙板、一段繩、兩枚圖釘，

四人一組按課本上的要求畫橢圓。

（取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫板上的，

F1

兩定點上，當繩長大于距離時，用鉛筆尖把細繩的

F2F1F2

兩端拉緊，使鉛筆頭在畫板上慢慢移動，可得一條曲線

---------橢圓。）

思考：（）在畫圖的過程中哪些量是不變的？（，

1F1F2

和繩子的長）

（）在繩長不變的條件下，改變，兩點間的

2F1F2

距離，畫出的橢圓有何變化？

（3）繩長等于FF時是什么圖形？（線段）

12

（4）繩長小于FF時是什么圖形？（不存有）

12

（5）若FF=0時，則軌跡是什么圖形？（圓）

12

學生：獨立思考小組討論互為補充共

同交流

教師：啟發(fā)誘導點撥釋疑激勵完善

課件演示2a>2c,2a=2c,2a<2c三種不同情形軌跡。

完善橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩定點，的距離的和等于常數(shù)（大

F1F2

于和的距離）的點的軌跡。

F1F2

F，F(xiàn)叫做橢圓的焦點；FF叫做橢圓的焦距

1212

設FF=2c|MF|+|MF|=2a

1212

2、橢圓標準方程的推導：

（1）回顧求曲線方程的一般方法、步驟：建系、設點、列式、

化簡、說明。

（2）由學生思考建系方案，經(jīng)對比、歸納后可得下列兩種方

案：(思考：為什么要這樣建立？由學生思考討論得出這樣建立

使所得的方程最簡單。)

y

B

2M

FF

A1O2Ax

12

B

1

（3）選定方案一，推導方程：

①建系：以F和F所在直線為x軸，線段FF的中點為原點建

1212

立直角坐標系；

②設點：設M(x,y)是橢圓上任意一點，設|FF|2c，則

12

F(c,0)，F(xiàn)(c,0)；

12

③列式：由|MF||MF|2a得

12

(xc)2y2(xc)2y22a；

④化簡：移項平方后得

(xc)2y2(xc)2y24a24a(xc)2y2，

整理得a2cxa(xc)2y2，

兩邊平方后整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

問題：能否美化結(jié)論的形象？

回顧：過點Aa,0,B0,b的直線AB的方程的推導過程，可

否得到啟發(fā)？

由橢圓的定義知，2a2c，即ac，∴a2c2，

令a2c2b2，其中b0，代入上式，得b2x2a2y2a2b2，

x2y2

兩邊除以a2b2，得：1

a2b2

（ab0）．（☆）

說明：（1）思考：以上方程中a,b的大小關系如何？（ab0）；

x2y2

（2）方程1（ab0）（☆）叫做橢圓的標準方程。

a2b2

它表示焦點在x軸上，焦點坐標為F(c,0)，F(xiàn)(c,0)，其

12

中c2a2b2．

（3）若選擇方案二建立坐標系，方程的形式又如何？（將☆式

y2x2

中的y用y代替可得1（ab0），它也是橢

a2b2

圓的標準方程。此時，橢圓的焦點在y軸上，焦點坐標為

F(0,c)，F(xiàn)(0,c)，其中c2a2b2）．

12

x2y2y2x2

（4）在1和1兩個方程中都有ab0的

a2b2a2b2

條件，那么如何分清焦點的位置？

x2y2

（只要看x2和y2的分母的大小。）例如橢圓1

mn

（m0，n0，mn）當mn時表示焦點在x軸上

的橢圓；當mn時表示焦點在y軸上的橢圓。

x2y2

(i)1的焦點位置：x軸焦點坐標：

169

7,0

x2y2

（ii）1的焦點位置：y軸焦點

916

坐標：0,7

x2y2

(iii)1的焦點位置：焦點坐

9m

標：

（當m>9時，焦點在y軸上，焦點坐標為

0,m29；當0<m<9時，焦點

在x軸上，焦點坐標為9m2）。

3．練習1：

（1）寫出適合條件的橢圓的標準方程：

①焦點F(4,0)，F(xiàn)(4,0)，2a10；

12

②焦點F(0,4)，F(xiàn)(0,4)，2a10；

12

x2y2y2x2

（答案①1；②1）

259259

x2y2

（2）已知方程1表示焦點在x軸上的

k410k

橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為7k10．

4、例題分析：

例：（1）已知F（－3,0），F(xiàn)(3,0)且MFMF6，

1212

則點M的軌跡是

——————————。（線段）

F1F2

（2）已知F（－3,0），F(xiàn)(3,0