2022年高考真題-數(shù)學（全國甲卷）（理科）

第14頁,共14頁2022年高考真題——數(shù)學（全國甲卷）（理科）本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若z=-1+3i，則zA.-1+3i B.-1-2.某社區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：?則（

）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3.設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,2}，B=x∣A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方系的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A.8 B.12 C.16 D.205.函數(shù)y=3x-3A.??B.?C.

?D.?6.當x=1時，函數(shù)f(x)=aln?A.-1 B.-12 C.7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1DA.ABB.AB與平面AB1C.ACD.B1D與平面B8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB?是以為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB?上，CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出AB?的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CA.11-332 B.11-4329.甲，乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲

和S乙

，體積分別為V甲和V乙A.5 B.22 C.10 D.10.橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點PA.32 B.22 C.111.設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+πA.[53,136)?12.已知a=3132A.

c>b>a B.b二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13.設(shè)向量a→,b→的夾角的余弦值為13，且14.若雙曲線y2-x2m215.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一平面上的概率為

?16.已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．三、解答題共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。I.必考題共60分17.記Sn為數(shù)列an的前n項和.已知(1)證明：an(2)若a4,a718.在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，(1)證明：BD⊥(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.20.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A,B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α,β，當α21.已知函數(shù)f((1)若f(x)(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，II.選考題共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t，（t(1)寫出C1(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cos?θ-sin?θ=0，求23.已知正實數(shù)a,b,c(1)a+(2)若b=2c，則1

參考答案1.【答案】:C【解析】:由zzz2.【答案】:B【解析】:對A選項，講座前問卷大題的正確率中位數(shù)70%+75%對B選項，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為89.5%>85%對C選項，講座前問卷答題的正確率數(shù)據(jù)波動要大于講座后問卷答題的正確率，故標準差也應(yīng)大于講座后的標準差，所以C錯誤；對D選項，講座前正確率的極差為35%，講座后正確率極差為20%，所以D3.【答案】:D【解析】:由B=x∣x2-4.【答案】:B【解析】:由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V故選B.5.【答案】:A【解析】:設(shè)f(x)=3x-3-xcos?x，f6.【答案】:B【解析】:f'(x)=ax-bx2，由條件，得f(1)=b=-2f'(1)=a-b=0，所以7.【答案】:D【解析】:如圖所示：不妨設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B對于A，AB=a，AD=b，對于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面對于C，AC=a2+b2=對于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠D故選D．8.【答案】:B【解析】:由條件得，△OAB為等邊三角形，有OC=3s=2+(2-39.【答案】:C【解析】:如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲，乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則2πr1=4π，2πr2=210.【答案】:A【解析】:橢圓C的右頂點為B，由于點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱，所以直線BP，AQ也關(guān)于y軸對稱，即kAP?kBP=-kAP11.【答案】:C【解析】:設(shè)ωx+π3=t，則t∈π3,πω+π3，有兩個零點可得12.【答案】:A【解析】:構(gòu)造函數(shù)h(x)=1-12x2-cos?x，x∈0,π2，則g(x)=h'(x)=-x+sin13.【答案】:11【解析】:(214.【答案】:3【解析】:由圓心為（0,2），半徑為1的圓與直線x=±m(xù)y15.【答案】:6【解析】:由古典概型計算公式可知，12C16.【答案】:3【解析】:設(shè)CD=2則在△ABD中，A在△ACD中，A所以A?4-當且僅當m+1=3m所以當ACAB取最小值時，m故答案為3-17(1)【答案】由于2Snn又2S①—②可得(2即an-a【解析】:依題意可得2Sn+n2(2)【答案】由題意可知a72=a4an=-12+(n-則Sn的最小值為S【解析】:??????由（1）及等比中項的性質(zhì)求出a1，即可得到an的通項公式與前18(1)【答案】∵PD⊥底面ABCD∴PD⊥取AB中點E，連接DE，可知DE=∵CD//∴CD=∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE=∵DE=∴△ABD為直角三角形，AB∴BD⊥∵PD∩∴BD⊥平面PAD∴BD⊥(2)【答案】由（1）知，PD，AD，BD兩兩垂直，BD=建立空間直角坐標系如圖所示，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,∴PD→=(0,0,-3)，設(shè)平面PAB的法向量為n→PA→?n不妨設(shè)y=z=1設(shè)PD與平面PAB的所成角為θ，則sinθ∴PD與平面PAB的所成的角的正弦值為5519(1)【答案】記甲學校獲得冠軍為事件A，則P答：甲學校獲得冠軍的概率是0.6.(2)【答案】X的可能取值為0,10,20,30，則P(P(P(P(X的期望值為E20(1)【答案】由題可知，當x=p時，y則可知|MD|=則在Rt△MFD中，

得p22

則C的方程C(2)【答案】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)M在x軸上方，設(shè)Mx1,y則tan又N,D,B三點共線，則k得y2y同理由M,D則tan由題可知，直線MN斜率不為0，不妨設(shè)l由y則tanα=則tan要使α-β最大，β∈0,π2，αtan?當且僅當m=22時，tanAB的直線方程為y-y又yy則AB的直線方程為4x-21(1)【答案】f(x)定義域為(0,+令f'(x)=0?x=1，所以x>1時f'(x)>0，f即滿足：f((2)【答案】由（1）知要使得有f(x)假設(shè)0<x1<1<x2.要證明x1x2<1下面構(gòu)造函數(shù)F(F由于ex+x<e∴xe1∴0<x<1時F'(x∴F(x22(1)【答案