概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)必考大題解題索引

-.z概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)必考大題解題索引王健題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用?！鞠嚓P(guān)公式】全概率公式：貝葉斯公式：【相關(guān)例題】1.三家工廠生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40%、25%、35%，其產(chǎn)品的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，求：〔1〕恰好取到不合格品的概率；〔2〕假設(shè)取到的是不合格品，它是第二家工廠生產(chǎn)的概率。解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是不合格品〞；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的〞〔〕。則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得〔1〕〔2〕由貝葉斯公式得=2.有朋友遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人來遲的概率；(2)假設(shè)來遲了，此人乘火車來的概率。解：設(shè)事件表示：“此人來遲了〞；事件分別表示：“此人乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來〞〔，4〕。則，且，兩兩互不相容〔1〕由全概率公式得〔2〕由貝葉斯公式得=題型二：1、求概率密度、分布函數(shù)；2、正態(tài)分布求概率密度【相關(guān)公式】分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點(diǎn)求導(dǎo)；概率密度f(*)求分布函數(shù)抓住公式：，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有：?！鞠嚓P(guān)例題】〔1〕設(shè)隨機(jī)變量*的分布函數(shù)為：F*〔*〕=〔2〕，是確定常數(shù)A?！?〕設(shè)隨機(jī)變量*具有概率密度f(*)=，求*的分布函數(shù)。0,其他解：0，*<0正態(tài)分布【相關(guān)公式】〔1〕公式其中：假設(shè)相關(guān)概率運(yùn)算公式：【相關(guān)例題】*地區(qū)18歲女青年的血壓〔收縮壓：以mmHg計(jì)〕服從N~〔110,122〕，在該地任選一名18歲女青年，測量她的血壓*，求：〔1〕〔2〕確定最小的由*機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長度〔cm〕服從參數(shù)的正態(tài)分布，規(guī)定長度在*圍內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。【題型三】二維隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度事件的獨(dú)立性1.設(shè)為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布，試求：〔1〕的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；〔2〕判定隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立。解：如下列圖，的面積為因此均勻分布定義得的聯(lián)合概率密度為1而所以關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布密度分別為〔2〕由于，故隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立。2.設(shè)二維隨機(jī)變量〔，〕的概率分布為求：〔1〕隨機(jī)變量*的密度函數(shù)；〔2〕概率。解：〔1〕時(shí)，=0；時(shí)，=故隨機(jī)變量的密度函數(shù)=〔2〕3.設(shè)隨機(jī)向量的概率密度為試求:〔1〕常數(shù)；〔2〕關(guān)于的邊緣概率密度。解：〔1〕由歸一性所以。的聯(lián)合概率密度為〔2〕關(guān)于的邊緣概率密度為即同理可求得關(guān)于的邊緣分布密度為4.設(shè)隨機(jī)變量〔，〕具有概率密度，求〔1〕常數(shù)C；〔2〕邊緣分布密度。解：〔1〕由于，故1=所以=1，即〔2〕，即，即【題型四】最大似然估計(jì)的求解【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】設(shè)概率密度為：的總體的樣本，θ未知，求θ的最大似然估計(jì)?！绢}型五】正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】*批礦砂的5個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測定〔%〕3.253.273.243.263.24設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知，問在α=0.01下能否承受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量的均值為3.25.2、*種導(dǎo)線，要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005Ω，盡在一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得s=0.007Ω，設(shè)總體為正態(tài)分布，參數(shù)值均未知，問在顯著水平α=0.05下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大.【證明題局部】1.設(shè)事件相互獨(dú)立，試證明：〔1〕事件相互獨(dú)立；〔2〕事件相互獨(dú)立；〔3〕事件相互獨(dú)立。證明：〔1〕欲證明相互獨(dú)立，只需證即可。而所以事件相互獨(dú)立。同理〔2〕由于所以事件相互獨(dú)立?！?〕