線性多步法詳解演示文稿

線性多步法詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有20頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性多步法現(xiàn)在是2頁\一共有20頁\編輯于星期三.

一、Adams外插法線性多步法的實(shí)質(zhì)是用若干節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值的線性組合來逼近y(xi+1)的值．由于在計(jì)算yi+1時(shí)需要用到其前k+1個(gè)值：yi,yi?1,yi?2,,yi?k，故多步法又稱為k+1步法當(dāng)?1=0時(shí)，此k+1步法是顯式的當(dāng)?10時(shí)，此k+1步法是隱式的原則上，一切多步法都可用Taylor級(jí)數(shù)展開的方法來導(dǎo)出(即確定其中的系數(shù)j,j)，但有些多步法也可用數(shù)值積分法來構(gòu)造．下面討論實(shí)際中較為常用的幾種線性多步法現(xiàn)在是3頁\一共有20頁\編輯于星期三(1)公式的推導(dǎo)對(duì)方程y’=f(x,y)的兩邊從xi到xi+1積分，得為了近似計(jì)算式中的積分，以xi?k,xi?k+1,,xi?1,xi

為插值節(jié)點(diǎn)，作函數(shù)f(x,y(x))的k

次插值多項(xiàng)式pk(x)，從而有f(x,y(x))=pk(x)+R(x),其中，R(x)為插值余項(xiàng)一、Adams外插法現(xiàn)在是4頁\一共有20頁\編輯于星期三外插公式略去積分余項(xiàng)R(x)dx，并用yi代替y(xi

)，可得到計(jì)算公式注意，這里的與pk(x)不同，它是將插值多項(xiàng)式pk(x)中用到的函數(shù)值f(xi,y(xi))均以近似值f

i=f(xi,yi)代替后所得到的表達(dá)式.由于積分是在區(qū)間[xi,xi+1]上進(jìn)行的，而的插值區(qū)間卻為[xi?k,xi]，即插值點(diǎn)x

[xi,xi+1]，位于插值區(qū)間之外，故稱(53)式為外插公式現(xiàn)在是5頁\一共有20頁\編輯于星期三考慮到插值點(diǎn)x靠近區(qū)間[xi?k,xi]的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)xi，采用Newton向后插值公式，于是有其中，而▽為向后差分算子,即所以稱為Adams外插公式(亦有稱Adams-Bashforth公式)．不難看出，這是一類k+1步顯式方法.現(xiàn)在是6頁\一共有20頁\編輯于星期三容易計(jì)算出bjj012345bj11/25/123/825/72095/288(2)Adams外插公式的局部截?cái)嗾`差注意到，若假定yi?j=y(xi?j),j=0,1,,k精確成立，則有．因此，Adams外插公式的局部截?cái)嗾`差為其中現(xiàn)在是7頁\一共有20頁\編輯于星期三Adams外插公式是一類k+1步k+1階的顯式方法.幾個(gè)常用的Adams外插公式如下①單步法(k=0)②二步法(k=1)現(xiàn)在是8頁\一共有20頁\編輯于星期三③三步法(k=2)④四步法(k=3)現(xiàn)在是9頁\一共有20頁\編輯于星期三現(xiàn)在以k+2個(gè)節(jié)點(diǎn)x?k,xi?k+1,,xi,xi+1作為插值節(jié)點(diǎn),作函數(shù)f(x,y(x))的k+1次插值多項(xiàng)式pk+1(x)，從而有其中R(x)為插值余項(xiàng)去掉上式中的積分余項(xiàng)，得二、Adams內(nèi)插法(1)公式的推導(dǎo)現(xiàn)在是10頁\一共有20頁\編輯于星期三同樣，采用Newton向后插值公式，并重復(fù)Adams外插公式的推導(dǎo)過程，可得其中dj的前幾個(gè)值j012345dj1-1/2-1/12-1/24-19/720-3/160由于插值點(diǎn)x

現(xiàn)在是落在積分區(qū)間[xi

,xi+1]之內(nèi)，所以稱為Adams內(nèi)插公式(Adams-Moutton公式)．這是一類k+1步隱式方法現(xiàn)在是11頁\一共有20頁\編輯于星期三(2)局部截?cái)嗾`差其中而i是介于xi?k與xi+1之間的某個(gè)值.所以,Adams內(nèi)插公式是一類k+1步k+2階的隱式方法.現(xiàn)在是12頁\一共有20頁\編輯于星期三幾個(gè)常用的Adams內(nèi)插值公式①單步法(k=0)②二步法(k=1)③三步法(k=2)現(xiàn)在是13頁\一共有20頁\編輯于星期三優(yōu)點(diǎn)步數(shù)相同的Adams內(nèi)插公式比外插公式在精度上要高一階，而階數(shù)相同的內(nèi)插公式的截?cái)嗾`差也比外插值公式的截?cái)嗾`差小許多缺點(diǎn)內(nèi)插法是隱式的，求解用迭代法，因而計(jì)算量較大對(duì)初值問題分別用四步四階Adams外插法和三步四階Adams內(nèi)插法求解取步長h=0.1，即N=10例1解現(xiàn)在是14頁\一共有20頁\編輯于星期三將f(x,y)=2x+y,h=0.1,xi

=0.1i

代入，得四步四階Adams外插法的公式為現(xiàn)在是15頁\一共有20頁\編輯于星期三三步四階Adams內(nèi)插法的公式為將f(x,y)=2x+y,h=0.1,xi

=0.1i

代入，得本例可以解出yi+1

使其成為顯式現(xiàn)在是16頁\一共有20頁\編輯于星期三本例的精確解為y(x)=3ex?2x?2.利用此精確解求出y1=y(x1),y2=y(x2),y3=y(x3)，并用y0,y1,y2,y3

作為上