第六章結構力學第五演示文稿

第六章結構力學第五版演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有104頁\編輯于星期四（優(yōu)選）第六章結構力學第五版.現(xiàn)在是2頁\一共有104頁\編輯于星期四一、結構的位移(DisplacementofStructures)1.

結構的位移是指結構上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動到另一位置，這個移動的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。

思考：變形與位移的差別？變形：結構在外部因素作用下發(fā)生的形狀的變化。兩者之間的關系：有形變必有位移；有位移不一定有形變。§6-1概述現(xiàn)在是3頁\一共有104頁\編輯于星期四A位移轉角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角P2.位移的分類§6-1概述現(xiàn)在是4頁\一共有104頁\編輯于星期四截面C、D的相對豎向線位移為:截面C、D的相對角位移為:

§6-1概述現(xiàn)在是5頁\一共有104頁\編輯于星期四AP引起結構位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動還有什么原因會使結構產(chǎn)生位移?3.位移產(chǎn)生的原因§6-1概述現(xiàn)在是6頁\一共有104頁\編輯于星期四鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:

二、計算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高?！?-1概述現(xiàn)在是7頁\一共有104頁\編輯于星期四(2)超靜定結構、動力和穩(wěn)定計算的基礎(3）施工要求超靜定結構的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時必須考慮變形條件，因而需要計算結構的位移。在結構的施工過程中，常需預先知道結構變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結構物符合設計圖紙的要求。§6-1概述現(xiàn)在是8頁\一共有104頁\編輯于星期四（3）理想聯(lián)結(IdealConstraint)。三、本章位移計算的假定疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),§6-1概述現(xiàn)在是9頁\一共有104頁\編輯于星期四本章只討論應用虛功原理求解結構位移。2.功能法虛功原理應變能(卡氏定理)

〈研究變形和位移的幾何關系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學用過，但對復雜的桿系不適用）。1.幾何法

四、計算方法§6-1概述現(xiàn)在是10頁\一共有104頁\編輯于星期四一、基本概念實功：

力在其本身引起的位移上所作的功。位移Δ是由外力F引起的，F(xiàn)做的功可表示為:1.外力的實功§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是11頁\一共有104頁\編輯于星期四實功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。實功是外力的非線形函數(shù)，計算外力實功不能應用疊加原理。所以

設線彈性材料的彈性系數(shù)為k，則§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是12頁\一共有104頁\編輯于星期四2.外力的虛功虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應的位移是彼此獨立無關的。

虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。虛功中的力與位移兩者相互獨立，計算外力虛功可應用疊加原理?！?-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是13頁\一共有104頁\編輯于星期四力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功為虛功為例F1力在其引起的位移Δ11上作的功為實功為

§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是14頁\一共有104頁\編輯于星期四——結構產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。3.廣義位移和廣義力廣義位移

——與廣義位移對應的就是廣義力，可以是一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。

注意：廣義位移與廣義力的對應關系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對應的廣義力。

廣義力§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是15頁\一共有104頁\編輯于星期四4.內(nèi)力功

定義：從桿上截取一微段,作用在該微段上的內(nèi)力在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段上相應的變形為軸向變形剪力變形彎曲變形§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是16頁\一共有104頁\編輯于星期四

如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)力功應為實功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：因為由胡克定律有：

故實功數(shù)值上就等于微段的應變能。

所以內(nèi)力實功§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是17頁\一共有104頁\編輯于星期四若變形與內(nèi)力彼此無關，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為對于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對整根桿積分求得：原因而定。,和的具體表達式要視引起這個變形的具體內(nèi)力虛功§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是18頁\一共有104頁\編輯于星期四回顧（1）質點系的虛功原理具有理想約束的質點系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：Σfiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質點系的主動力所做虛功之和為零。也即§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是19頁\一共有104頁\編輯于星期四（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是20頁\一共有104頁\編輯于星期四二、虛功原理

1.變形體的虛功原理

設一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時，則外力系在位移上做的虛功的總和δWe，等于變形體的內(nèi)力在變形上做的虛功的總和δWi，即，——這就是虛功方程。

（證明略）需注意：⑴外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是21頁\一共有104頁\編輯于星期四⑵位移必須滿足虛位移的條件——滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移；⑶外力與位移兩者之間是相互獨立沒有關聯(lián)的。平衡的外力系與相應的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上做功之和(外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上做功之和(內(nèi)力虛功)。⑷對于兩個相互無關的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設其中一個狀態(tài)，讓另一實際狀態(tài)在此虛設狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問題。

§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是22頁\一共有104頁\編輯于星期四解釋：兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調條件,力狀態(tài)應滿足平衡條件。（1）屬同一體系；§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是23頁\一共有104頁\編輯于星期四2.桿系結構虛功方程以上結論與材料物理性質及具體結構無關，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結構，也適用于一切非線性結構。

希望能很好理解，盡可能達到掌握！§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是24頁\一共有104頁\編輯于星期四虛位移原理令實際的力狀態(tài)在虛設的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達的是力的平衡條件。從中可以求出實際力系中的未知力。這就是虛位移原理。虛力原理

令虛設的平衡力系在實際的位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達的是位移協(xié)調條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理(也稱為余虛功原理)。一個力系平衡的充分必要條件是：對任意協(xié)調位移，虛功方程成立。一個位移是協(xié)調的充分必要條件是：對任意平衡力系，虛功方程成立。3.虛功原理的兩種應用§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是25頁\一共有104頁\編輯于星期四注意:虛位移原理寫出的虛功方程是一個平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例如：應用虛位移原理求支座C的反力FC。即故撤除與FC相應的約束,將FC變成主動力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程：§6-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是26頁\一共有104頁\編輯于星期四

注意：虛力原理寫出的虛功方程是一個幾何方程，可用于求解幾何問題。例：當A支座向上移動一個已知位移c1，求點B產(chǎn)生的豎向位移⊿。在擬求線位移的方向加單位力由平衡條件令虛設的平衡力系在實際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程求得與單位力方向相同?！?-2變形體系的虛功原理現(xiàn)在是27頁\一共有104頁\編輯于星期四單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod。圖示結構，要求

=?實際狀態(tài)位移狀態(tài)虛擬狀態(tài)力狀態(tài)§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是28頁\一共有104頁\編輯于星期四用虛功原理，位移狀態(tài)即實際狀態(tài)，另虛設一個力狀態(tài)（稱力虛設狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移，可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。外力虛功:

內(nèi)力虛功:由虛功方程：此式即為平面結構位移計算一般公式。若結果為正，說明在上做正功，這表明的實際方向與方向相同。若結果為負，說明在上做負功，這表明的實際方向與方向相反。§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是29頁\一共有104頁\編輯于星期四幾點說明：(1)所建立的虛功方程，實質上是幾何方程。(2)虛設的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關，故可設單位廣義力P=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。特點:是用靜力平衡法來解幾何問題。單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程總的來講：§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是30頁\一共有104頁\編輯于星期四2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。一般公式的普遍性表現(xiàn)在：§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是31頁\一共有104頁\編輯于星期四BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力A(a)F=1F=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是32頁\一共有104頁\編輯于星期四F=1(c)A(d)ABF=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是33頁\一共有104頁\編輯于星期四ABCd(e)ABC(f)§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是34頁\一共有104頁\編輯于星期四AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法現(xiàn)在是35頁\一共有104頁\編輯于星期四由虛功原理有：W=Wi外力虛功變形虛功荷載作用引起的位移計算等號左側是虛設的單位外力在實際的位移上所做的外力虛力，右側是虛設單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實際位移狀態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和?！?-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是36頁\一共有104頁\編輯于星期四對于直桿，則可用dx代替ds。計算位移的公式為——單位力狀態(tài)下結構的軸力、剪力和矩方程式?！?/p>

實際荷載引起結構的軸力、剪力和彎矩方程式。E、G

——材料的彈性模量和剪力彈性模量.

A、I

——桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩.

——剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對于矩形截面μ=1.2。

μ

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是37頁\一共有104頁\編輯于星期四（1）梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。

（2）桁架：只有軸力。

桁架各桿均為等截面直桿則§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算公式簡化：現(xiàn)在是38頁\一共有104頁\編輯于星期四

拱壩一類的厚度較大的拱形結構，其剪力也是不能忽略的。所以計算拱壩時，軸力、剪力和彎矩三項因素都須要考慮進去。(4)

跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當，剪力的影響不計，位移計算公式為§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算（3）組合結構現(xiàn)在是39頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-1圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點的豎向位移△BV，水平位移△BU,和位移△B。解:(1)作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁BC

豎柱CA

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是40頁\一共有104頁\編輯于星期四(2)求B點的豎向位移△BV寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC

豎柱CA

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是41頁\一共有104頁\編輯于星期四(3)求B點的水平位移△BU在B點加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程橫梁BC

豎柱CA

注意：負號表示位移的方向與假設的單位力的方向相反。§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算（4）求B點的線位移ΔB

現(xiàn)在是42頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-2一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設曲梁矩形截面的彎曲剛度為EI，半徑為r，圓弧AB的圓心角φ0

及荷載q均為已知，試求截面B的豎向及水平向位移△BV和△BU。解:當曲梁的半徑較大截面比較薄時，可忽略軸力和剪力的影響。(1)列出曲梁在荷載作用下的彎矩方程。假定曲梁內(nèi)側纖維受拉為正彎矩。取B點為座標原點，任意截面C的橫座標為x，該截面的彎矩：§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是43頁\一共有104頁\編輯于星期四(2)求△BV，在B點加一豎向單位力，單位豎向力引起的彎方程為采用極坐標表示由于所以§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是44頁\一共有104頁\編輯于星期四(3)求△BU，在B點作用一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是45頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-3

平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.4×10-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點和D點的豎向位移。解:(1)求出實際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。(2)求△BV§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是46頁\一共有104頁\編輯于星期四––在B點加一向下的單位力,求此單位力引起的各桿軸力FN

?！?-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是47頁\一共有104頁\編輯于星期四(3)求ΔDV在D點加一向下單位力，求出此虛設狀態(tài)

––

各桿的軸力FN?！?-4靜定結構在荷載作用下的位移計算現(xiàn)在是48頁\一共有104頁\編輯于星期四在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計算位移的圖乘法?！?-5圖乘法(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)1.靜定結構的內(nèi)力計算；2.利用位移計算公式求靜定結構的位移；3.剛架與梁在荷載作用下的位移計算公式,即:已有基礎：現(xiàn)在是49頁\一共有104頁\編輯于星期四(對于等截面桿)(對于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生?！?-5圖乘法現(xiàn)在是50頁\一共有104頁\編輯于星期四例.試求圖示梁B端轉角。解:MPMi為什么彎矩圖在桿件同側圖乘結果為正?§6-5圖乘法現(xiàn)在是51頁\一共有104頁\編輯于星期四頂點：指曲線切線與桿軸重合或平行§6-5圖乘法幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法現(xiàn)在是52頁\一共有104頁\編輯于星期四圖乘法小結：1.圖乘法的應用條件（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復雜，可分解為簡單圖形?！?-5圖乘法現(xiàn)在是53頁\一共有104頁\編輯于星期四(1)曲-折組合圖形分解§6-5圖乘法現(xiàn)在是54頁\一共有104頁\編輯于星期四(2)梯-梯同側組合§6-5圖乘法現(xiàn)在是55頁\一共有104頁\編輯于星期四(3)梯-梯異側組合ABCDabcd圖圖bc取負值§6-5圖乘法現(xiàn)在是56頁\一共有104頁\編輯于星期四復雜圖形的處理：+=×××+=××ק6-5圖乘法現(xiàn)在是57頁\一共有104頁\編輯于星期四求MPMi§6-5圖乘法現(xiàn)在是58頁\一共有104頁\編輯于星期四(4)階梯形截面桿§6-5圖乘法現(xiàn)在是59頁\一共有104頁\編輯于星期四例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移。應用舉例lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖§6-5圖乘法現(xiàn)在是60頁\一共有104頁\編輯于星期四例2.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP§6-5圖乘法現(xiàn)在是61頁\一共有104頁\編輯于星期四l/2ql/2MP§6-5圖乘法現(xiàn)在是62頁\一共有104頁\編輯于星期四l/2ql/2MP§6-5圖乘法現(xiàn)在是63頁\一共有104頁\編輯于星期四例3.試求圖示結構B點豎向位移。解:MPMi§6-5圖乘法現(xiàn)在是64頁\一共有104頁\編輯于星期四例4.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側截面相對轉角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP§6-5圖乘法現(xiàn)在是65頁\一共有104頁\編輯于星期四例5.已知EI為常數(shù)，求A點豎向位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qlllqMP§6-5圖乘法現(xiàn)在是66頁\一共有104頁\編輯于星期四6.求B點水平位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MPll注意:各桿剛度可能不同§6-5圖乘法現(xiàn)在是67頁\一共有104頁\編輯于星期四7.已知EI為常數(shù)，求B截面轉角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Mi§6-5圖乘法現(xiàn)在是68頁\一共有104頁\編輯于星期四解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖8.求B點水平位移,EI=常數(shù)。lPllMP1MP§6-5圖乘法現(xiàn)在是69頁\一共有104頁\編輯于星期四解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖9.求C、D兩點相對水平位移。lllMP§6-5圖乘法現(xiàn)在是70頁\一共有104頁\編輯于星期四解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖10.求A點豎向位移,EI=常數(shù)。MPlllAkk§6-5圖乘法現(xiàn)在是71頁\一共有104頁\編輯于星期四lPlPl11.圖示結構EI為常數(shù)，求AB兩點(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,(3)相對轉角。MP1111對稱彎矩圖反對稱彎矩圖

對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結果為零.11§6-5圖乘法現(xiàn)在是72頁\一共有104頁\編輯于星期四PP11繪制變形圖時，應根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：§6-5圖乘法現(xiàn)在是73頁\一共有104頁\編輯于星期四由溫度變化引起的位移計算

(1)每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。(2)桿件的兩側的溫度可以是不同的，但從高溫一側到低溫一側溫度是按直線變化的。(3)由于假定溫度沿桿長均勻分布,不可能出現(xiàn)剪切變形,只有軸向變形dut和截面轉角dθ。假定：

§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是74頁\一共有104頁\編輯于星期四溫度引起的纖維軸向變形為：其中α——材料的線膨脹系數(shù)，即溫度升高1℃時桿的應變。設微段ds的溫度變化為：§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是75頁\一共有104頁\編輯于星期四梁段上側、下側和中心軸處纖維伸長分別為由于截面內(nèi)的溫度呈直線變化，有得：其中Δt=t2–

t1，為桿兩側的溫度變化之差?！?-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是76頁\一共有104頁\編輯于星期四令虛設的力狀態(tài)在結構的實際位移狀態(tài)下做功。在擬求位移的截面虛設一單位力，則外力在位移上做的功應等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和，即式中∑——對結構中各桿求和?！獑挝涣澗貓D中該桿彎矩圖的面積?！獑挝涣S力圖中該桿軸力圖的面積。所以§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是77頁\一共有104頁\編輯于星期四

正負符號取決于虛功是正功還是負功。若桿的軸心處的溫度t0是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項取正號，反之取負號。

若溫度變化Δt使桿彎曲而某側受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號，反之為負號?！?-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是78頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-5圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設剛架內(nèi)部溫度上升10℃外部下降20℃。線膨脹系數(shù)α=1×10-5，試求D點的豎向位移。解(1)在D點作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖和軸力圖§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是79頁\一共有104頁\編輯于星期四(2)計算D點的豎向位移。兩側的溫度差為

有桿軸線處的溫升值為§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是80頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-6圖示桁架，受日照均勻溫升30℃。求C點豎向位移。解：在C點作單位力并求出各桿軸力。己知各桿t0=30℃,Δt=0故

§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是81頁\一共有104頁\編輯于星期四制造誤差引起的位移計算：每個上弦桿加長8mm,求由此引起的A點豎向位移?！?-6靜定結構溫度變化時的位移計算現(xiàn)在是82頁\一共有104頁\編輯于星期四由支座移動引起的位移計算求由支座移動引起的結點某點的位移只是一個單純的幾何問題?？梢杂昧W方法——剛體的虛力原理來求解。

式中是由單位力F所引起的支座反力；c

是與反力

相應的已知的支座位移。當二者方向一致時，其乘積取正值，相反時取負值。在要求位移的點上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用下的支座反力R。所有外力虛功之和應為零有：§6-7靜定結構支座移動時的位移計算現(xiàn)在是83頁\一共有104頁\編輯于星期四由平面桿件結構位移計算的一般公式：

對于靜定結構，支座移動不引起內(nèi)力，材料不變形，因此du、dφ和γds為零，上式簡化為:

負號系原來移項所得，不可漏掉！§6-7靜定結構支座移動時的位移計算現(xiàn)在是84頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-7三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉C，求BD柱的轉角。解：(1)在BD柱上作用單位力矩M=1，求支座反力。(2)代入公式計算得：

結果得正值表示柱的轉角方向與所假定的單位力矩的方向相同?！?-7靜定結構支座移動時的位移計算現(xiàn)在是85頁\一共有104頁\編輯于星期四例6-8圖示剛架右邊支座的豎向位移ΔBy=0.06m(向下)，水平位移ΔBx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉角φA§6-7靜定結構支座移動時的位移計算現(xiàn)在是86頁\一共有104頁\編輯于星期四1.功的互等定理

F1作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第一狀態(tài)，F(xiàn)2作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第二狀態(tài)。先加F1然后加F2的情況，整個加載過中系統(tǒng)做的總功為表示由編號為j的力引起i點的位移。先加F2后加F1，整個過程中系統(tǒng)做的總功為§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是87頁\一共有104頁\編輯于星期四因為線彈性體系做功與加荷的次序無關，有故得

虛功互等定理：狀態(tài)Ⅰ的力在狀態(tài)Ⅱ的位移上做功等于狀態(tài)Ⅱ的力在狀態(tài)Ⅰ的位移上做功?！?-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是88頁\一共有104頁\編輯于星期四由功的互等定理可推出位移互等定理2.位移互等定理令功的互等定理中的力F1=F2=1,則有位移互等定理：由單位荷載F1

引起的與荷載F2相應的位移δ21，在數(shù)值上等于由單位荷載F2引起的與荷載F1相應的位移δ12。這里用小寫的字母δ表示單位力引起的位移。在一般情況下位移互等定理可寫成：§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是89頁\一共有104頁\編輯于星期四注意：位移互等定理適用于廣義力及其對應的廣義位移。

上圖表示了兩個狀態(tài)的線位移δ12與δ21互等。

上圖表示了線位移δ12數(shù)值上等于角位移θ21?！?-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是90頁\一共有104頁\編輯于星期四

3.反力互等定理

第Ⅰ狀態(tài)，支座1產(chǎn)生單位位移Δ1V=1而引起支座反力k11和k21。第Ⅱ狀態(tài)，支座2產(chǎn)生單位位移Δ2V=1而引起支座反力k12和k22

§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是91頁\一共有104頁\編輯于星期四由功的互等定理，第Ⅰ狀態(tài)的力在第Ⅱ狀態(tài)的位移上做虛功，等于第Ⅱ狀態(tài)的力在第Ⅰ狀態(tài)的位移上做虛功。故有即一般情況下可寫成§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是92頁\一共有104頁\編輯于星期四支座i由于支座j發(fā)生單位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支座i發(fā)生單位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。

例：

k12

是反力矩，

k21是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。

§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是93頁\一共有104頁\編輯于星期四4.反力位移互等定理單位廣義力引起的結構中某支座的反力等于該支座發(fā)生單位廣義位移所引起的單位廣義力作用點沿其方向的位移，但符號相反。-----反力位移互等定理§6-8線彈性結構的互等定理

現(xiàn)在是94頁\一共有104頁\編輯于星期四

小結

本章討論了虛功原理以及應用虛功原理來求解結構的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應用虛功原理時要涉及兩個量：力系和位移。這兩者是彼此無關的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無關，因此可以虛設一組力系(虛力原理)，讓它在實際的結構位移上做功,列出虛功方程，從中求出未知位移。這就是虛力原理表達的虛功方程。也就是位移計算的一般公式最基本的形式。小結現(xiàn)在是95頁\一共有104頁\編輯于星期四位移和變形()是結構在給定條件下所具有的.是實際的位移狀態(tài)。力系()則是虛設的。虛擬力系的設置應當根據(jù)所求位移來相應的設置，并根據(jù)需要求出其相應的反力和內(nèi)力。變形(ε,γ,κ)是泛指的，若是荷載引起的則代入公式(6.3.3)即導出公式(6.5.2）。若是溫度引起的，則代入公式(6.3.1a)、(6.7.1a)和(6.7.2b)即導出溫度變化引起的位移計算公式(6.7.3a)。若計算支座移動引起的位移，則因靜定結構因支座位移不會引起結構變形，只會引起結構的剛體位移,這時ε=γ=κ=0。公式等號右邊前一項為零，只剩后一項.這就是公式(4.7.4)。小結現(xiàn)在是96頁\一共有104頁\編輯于星期四

虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推導位移計算公式時引入了彈性規(guī)律，故公式()只適用于線彈性體系。圖乘法是具體的運算方法。只有滿足一定的條件下才能用圖乘法。象曲桿、變截面桿等均不能用圖乘法?；サ榷ɡ硎蔷€彈性體系的基本