第一節(jié)向量組的線性相關與線性無關演示文稿

第一節(jié)向量組的線性相關與線性無關演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有132頁\編輯于星期四（優(yōu)選）第一節(jié)向量組的線性相關與線性無關現(xiàn)在是2頁\一共有132頁\編輯于星期四

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如現(xiàn)在是3頁\一共有132頁\編輯于星期四向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．現(xiàn)在是4頁\一共有132頁\編輯于星期四

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣.現(xiàn)在是5頁\一共有132頁\編輯于星期四線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應．現(xiàn)在是6頁\一共有132頁\編輯于星期四定義１線性組合現(xiàn)在是7頁\一共有132頁\編輯于星期四向量能由向量組線性表示．現(xiàn)在是8頁\一共有132頁\編輯于星期四定理1現(xiàn)在是9頁\一共有132頁\編輯于星期四向量組能由向量組線性表示向量組等價．定義２現(xiàn)在是10頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是11頁\一共有132頁\編輯于星期四從而現(xiàn)在是12頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是13頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是14頁\一共有132頁\編輯于星期四﹋﹋﹋﹏現(xiàn)在是15頁\一共有132頁\編輯于星期四注意:定義３二、線性相關性的概念則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關．現(xiàn)在是16頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是17頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是18頁\一共有132頁\編輯于星期四三、線性相關性的判定現(xiàn)在是19頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是20頁\一共有132頁\編輯于星期四解例１或r(I)=n，得線性無關?，F(xiàn)在是21頁\一共有132頁\編輯于星期四解例２分析現(xiàn)在是22頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是23頁\一共有132頁\編輯于星期四解：因為現(xiàn)在是24頁\一共有132頁\編輯于星期四證法1現(xiàn)在是25頁\一共有132頁\編輯于星期四證法2現(xiàn)在是26頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是27頁\一共有132頁\編輯于星期四性質1：四、向量組的線性相關性質證明現(xiàn)在是28頁\一共有132頁\編輯于星期四說明：現(xiàn)在是29頁\一共有132頁\編輯于星期四性質2：現(xiàn)在是30頁\一共有132頁\編輯于星期四說明：證明：現(xiàn)在是31頁\一共有132頁\編輯于星期四性質3：證明現(xiàn)在是32頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是33頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是34頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是35頁\一共有132頁\編輯于星期四定理3

向量組（當時）線性相關的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證明充分性設中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示.即有五、線性表示、線性相關、線性

無關三者的關系而不是“每一個”現(xiàn)在是36頁\一共有132頁\編輯于星期四故因這個數(shù)不全為0，故線性相關.必要性設線性相關，則有不全為0的數(shù)使現(xiàn)在是37頁\一共有132頁\編輯于星期四因中至少有一個不為0，不妨設則有即能由其余向量線性表示.證畢.現(xiàn)在是38頁\一共有132頁\編輯于星期四定理4：現(xiàn)在是39頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是40頁\一共有132頁\編輯于星期四（定理）?，F(xiàn)在是41頁\一共有132頁\編輯于星期四１.向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；

２.線性相關與線性無關的概念；線性相關性在線性方程組中的應用；（重點）

３.線性相關與線性無關的判定方法：定義，兩個定理．（難點）六、小結現(xiàn)在是42頁\一共有132頁\編輯于星期四思考題現(xiàn)在是43頁\一共有132頁\編輯于星期四思考題解答現(xiàn)在是44頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是45頁\一共有132頁\編輯于星期四向量空間第二節(jié)向量組的秩現(xiàn)在是46頁\一共有132頁\編輯于星期四定義１最大線性無關向量組最大無關組一、最大線性無關向量組秩現(xiàn)在是47頁\一共有132頁\編輯于星期四定理１二、矩陣與向量組秩的關系現(xiàn)在是48頁\一共有132頁\編輯于星期四結論說明現(xiàn)在是49頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是50頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是51頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是52頁\一共有132頁\編輯于星期四事實上現(xiàn)在是53頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是54頁\一共有132頁\編輯于星期四定理２三、向量組秩的重要結論推論1推論2現(xiàn)在是55頁\一共有132頁\編輯于星期四性質現(xiàn)在是56頁\一共有132頁\編輯于星期四證一現(xiàn)在是57頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是58頁\一共有132頁\編輯于星期四證二現(xiàn)在是59頁\一共有132頁\編輯于星期四注意現(xiàn)在是60頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是61頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是62頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是63頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是64頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是65頁\一共有132頁\編輯于星期四１．最大線性無關向量組的概念：

最大性、線性無關性．２．矩陣的秩與向量組的秩的關系：

矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩３．關于向量組秩的一些結論：

一個定理、兩個推論．４．求向量組的秩以及最大無關組的方法：將向量組中的向量作為列向量構成一個矩陣，然后進行初等行變換．四、小結現(xiàn)在是66頁\一共有132頁\編輯于星期四

思考題現(xiàn)在是67頁\一共有132頁\編輯于星期四思考題解答問題轉化為因為所以現(xiàn)在是68頁\一共有132頁\編輯于星期四向量空間第三節(jié)向量空間現(xiàn)在是69頁\一共有132頁\編輯于星期四說明2．維向量的集合是一個向量空間,記作.一、向量空間的概念定義1設為維向量的集合，如果集合非空,且集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．1．集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指現(xiàn)在是70頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是71頁\一共有132頁\編輯于星期四例2

判別下列集合是否為向量空間.解現(xiàn)在是72頁\一共有132頁\編輯于星期四例3

判別下列集合是否為向量空間.解現(xiàn)在是73頁\一共有132頁\編輯于星期四試判斷集合是否為向量空間.現(xiàn)在是74頁\一共有132頁\編輯于星期四一般地，為現(xiàn)在是75頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是76頁\一共有132頁\編輯于星期四定義2設有向量空間及，若向量集合，就說是的子空間．實例二、子空間設是由維向量所組成的向量空間，現(xiàn)在是77頁\一共有132頁\編輯于星期四那末向量組就稱為向量空間的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義3設是向量空間，如果個向量，且滿足dimV=r現(xiàn)在是78頁\一共有132頁\編輯于星期四１．向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；

由向量組生成的向量空間．２．子空間的概念．四、小結現(xiàn)在是79頁\一共有132頁\編輯于星期四向量空間第四節(jié)線性方程組解的結構現(xiàn)在是80頁\一共有132頁\編輯于星期四１．解向量的概念為齊次線性方程組一、齊次線性方程組解的性質的解

稱為方程組的解向量。現(xiàn)在是81頁\一共有132頁\編輯于星期四２．齊次線性方程組解的性質（1）若為的解，則

也是的解.證明現(xiàn)在是82頁\一共有132頁\編輯于星期四（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解．證明由以上兩個性質可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．一般記作注：齊次解的線性組合仍為齊次解現(xiàn)在是83頁\一共有132頁\編輯于星期四１．基礎解系的定義二、基礎解系及其求法現(xiàn)在是84頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是85頁\一共有132頁\編輯于星期四２．線性方程組基礎解系的求法設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨設的前個列向量線性無關．于是可化為現(xiàn)在是86頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是87頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)對取下列組數(shù)：現(xiàn)在是88頁\一共有132頁\編輯于星期四依次得從而求得原方程組的個解：現(xiàn)在是89頁\一共有132頁\編輯于星期四說明１．解空間的基不是唯一的．２．解空間的基又稱為方程組的基礎解系．３．若是的基礎解系，則其通解為現(xiàn)在是90頁\一共有132頁\編輯于星期四定理1現(xiàn)在是91頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是92頁\一共有132頁\編輯于星期四例1

求齊次線性方程組的基礎解系與通解.解對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃嚕鞋F(xiàn)在是93頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是94頁\一共有132頁\編輯于星期四證明１．非齊次線性方程組解的性質三、非齊次線性方程組解的性質現(xiàn)在是95頁\一共有132頁\編輯于星期四證明證畢．現(xiàn)在是96頁\一共有132頁\編輯于星期四其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.２．非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為現(xiàn)在是97頁\一共有132頁\編輯于星期四３．與方程組有解等價的命題線性方程組有解現(xiàn)在是98頁\一共有132頁\編輯于星期四４．線性方程組的解法（1）應用克萊姆法則（2）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題．特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法．現(xiàn)在是99頁\一共有132頁\編輯于星期四例4

求解方程組解現(xiàn)在是100頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是101頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是102頁\一共有132頁\編輯于星期四非齊次方程的通解=齊次方程的通解+非齊次方程的特解現(xiàn)在是103頁\一共有132頁\編輯于星期四１．齊次線性方程組基礎解系的求法四、小結對系數(shù)矩陣進行初等變換，將其化為行最簡形討論２．線性方程組解的情況()()nrAr<=()()nrAr==現(xiàn)在是104頁\一共有132頁\編輯于星期四思考題現(xiàn)在是105頁\一共有132頁\編輯于星期四思考題解答現(xiàn)在是106頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是107頁\一共有132頁\編輯于星期四第五節(jié)向量的內積向量空間現(xiàn)在是108頁\一共有132頁\編輯于星期四定義1一、內積的定義及性質說明現(xiàn)在是109頁\一共有132頁\編輯于星期四內積的運算性質現(xiàn)在是110頁\一共有132頁\編輯于星期四定義2

令長度范數(shù)向量的長度具有下述性質：二、向量的長度及性質現(xiàn)在是111頁\一共有132頁\編輯于星期四解單位向量夾角現(xiàn)在是112頁\一共有132頁\編輯于星期四１正交的概念２正交向量組的概念正交（或垂直）.若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法現(xiàn)在是113頁\一共有132頁\編輯于星期四證明３正交向量組的性質定理1現(xiàn)在是114頁\一共有132頁\編輯于星期四例1

已知三維向量空間中兩個向量正交，試求使構成三維空間的一個正交基.４向量空間的正交基現(xiàn)在是115頁\一共有132頁\編輯于星期四即解之得由上可知構成三維空間的一個正交基.則有解現(xiàn)在是116頁\一共有132頁\編輯于星期四５規(guī)范正交基例如，4維向量組現(xiàn)在是117頁\一共有132頁\編輯于星期四現(xiàn)在是118頁\一共有132頁\編輯于星期四同理可知自然基.現(xiàn)在是119頁\一共有132頁\編輯于星期四（1）施密特正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法我們來介紹其步驟：現(xiàn)在是120頁\一共有132頁