濟(jì)寧市魚臺縣第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精山東省濟(jì)寧市魚臺縣第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題含解析魚臺一中高三數(shù)學(xué)試題一。選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，集合，則等于（）A.(1，2) B。（1，2］ C。［1,2) D。[1，2]【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得、，再由交集的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?,所以。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式的求解及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了集合交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)化簡，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可求得正確答案?！驹斀狻?，所以共軛復(fù)數(shù)為，故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題。3。已知,則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，即可求得的值,再利用二倍角公式即可求得的值?！驹斀狻恳?yàn)?，且，所以，?或（舍）所以,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦的二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.已知等比數(shù)列中，，,則（）A.12 B.10 C。 D.【答案】A【解析】由已知，∴，∴，故選A.5。在中，,．若點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，故選A．6.已知函數(shù)滿足：①對任意、且，都有；②對定義域內(nèi)任意，都有,則符合上述條件的函數(shù)是（)A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得:是偶函數(shù)，在單調(diào)遞增。對于,是偶函數(shù)，在遞增，符合題意；對于，函數(shù)是奇函數(shù)，不合題意；對于，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；對于，函數(shù)在無單調(diào)性，不合題意.【詳解】由題意得：是偶函數(shù)，在單調(diào)遞增,對于，，是偶函數(shù),且時(shí)，,對稱軸為，故在遞增，符合題意；對于，函數(shù)是奇函數(shù),不合題意；對于，由,解得:，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意;對于,函數(shù)在無單調(diào)性，不合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．7。已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和,若，則()A.49 B.91 C。98 D.182【答案】B【解析】∵,∴，即,∴，故選B．8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理"．1852年,英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題:將1到2019這2019個(gè)數(shù)中，能被3除余2且被5整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列所有項(xiàng)中,中間項(xiàng)的值為(）A.992 B。1022 C.1007 D。1037【答案】C【解析】【分析】首先將題目轉(zhuǎn)化為即是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，也即是15的倍數(shù).再寫出的通項(xiàng)公式,算其中間項(xiàng)即可.【詳解】將題目轉(zhuǎn)化為即是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù),也即是15的倍數(shù)。即,當(dāng),，當(dāng)，，故……，數(shù)列共有項(xiàng)．因此數(shù)列中間項(xiàng)為第項(xiàng)，.故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（)A. B. C. D。、均為的最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用結(jié)論：時(shí)，，結(jié)合題意易推出，然后逐一分析各選項(xiàng)?！驹斀狻拷猓河傻?，即，

又∵，

，

，故B正確；

同理由，得，

，故A正確；

對C，，即，可得，由結(jié)論,顯然C是錯(cuò)誤的；

與均為的最大值，故D正確;

故選:ABD.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和的最值問題，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.10.把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖像,若的圖像關(guān)于軸對稱，則的值可能為（）A。 B。 C。 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換,求得函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解，得到答案?！驹斀狻坑深}意，把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以，所以,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),,故選A,D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11。給出下面四個(gè)推斷，其中正確的為（）。A。若，則;B。若則；C。若，,則;D。若，，則?！敬鸢浮緼D【解析】【分析】由均值不等式滿足的條件為“一正、二定、三相等”，可得選項(xiàng)A,D正確，選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤。【詳解】解：對于選項(xiàng)A,因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí)，顯然不成立，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號，即選項(xiàng)D正確,即四個(gè)推段中正確的為AD，故答案為AD?！军c(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，重點(diǎn)考查了“一正、二定、三相等”，屬基礎(chǔ)題.12。對于函數(shù),下列正確的是（）A。是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)B.的單調(diào)增區(qū)間是，C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)，求出的單調(diào)性,極值點(diǎn),極值，進(jìn)而可進(jìn)行判斷.【詳解】解：由題得，令，可得,則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，故AC正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，又，根?jù)在上單調(diào)遞減得得,所以直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),故D正確。故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，極值的綜合應(yīng)用，是中檔題.三。填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分）13.已知：,:．若是的必要不充分條件,則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由必要不充分條件可得，結(jié)合一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,所以，所以，，所以.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查了由條件間的關(guān)系求參數(shù),考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題。14.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】3【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,再由函數(shù)的周期性和奇偶性可得,由對數(shù)的運(yùn)算即可得解?！驹斀狻恳?yàn)槠婧瘮?shù)滿足，所以,即函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),所以。故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用,考查了對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0。618,這一數(shù)值也可以表示為。若，則_________.【答案】【解析】【分析】利用同角的基本關(guān)系式，可得，代入所求，結(jié)合輔助角公式,即可求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,輔助角公式,考查計(jì)算化簡的能力,屬基礎(chǔ)題16。在中，,，。若，，且，則的值為______________.【答案】【解析】則。【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】根據(jù)平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點(diǎn)公式表示向量,計(jì)算數(shù)量積,選取基地很重要，本題的已知模和夾角,選作基地易于計(jì)算數(shù)量積.四.解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).(1）求的最小正周期;（2）在中，角所對的邊分別為，若,，且的面積為,求的值.【答案】（1）(2)【解析】【分析】(1）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù),找出的值，即可確定出的最小正周期；

(2）由確定出的度數(shù)，利用正弦定理化簡得到，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出的值，聯(lián)立求出與的值，利用余弦定理求出的值即可。【詳解】解：（1），的最小正周期為；（2）,∴,,則,∴,∵，∴，又的面積為，∴，∴,則,，由余弦定理得.【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及三角函數(shù)的周期性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.18.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；(2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1）；（2）?！窘馕觥俊痉治觥?1)由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng),，;(2）設(shè)的前項(xiàng)和為,，，①,②①②得,，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì),以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19。已知向量＝（，）,＝(,－）,且．（1）用cosx表示·及｜＋｜；（2)求函數(shù)f(x）＝·＋2｜＋|的最小值．【答案】（1）·＝2cos2x－1,|＋｜＝2||；（2）－1．【解析】分析】(1）先根據(jù)向量數(shù)量積化解，再根據(jù)余弦的和角公式和二倍角公式化解即可得到·，模長可由模長的坐標(biāo)公式先表示為三角函數(shù)的形式再由余弦二倍角公式化解即可.（2)由(1）可得到函數(shù)的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，通過配方后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】（1）·＝－＝＝2cos2x－1，｜＋|＝＝＝2｜｜，∵，∴≥0，∴｜＋｜＝2．（2）f（x）＝·＋2｜＋|＝2cos2x－1＋4＝2（＋1)2－3，∵,∴0≤≤1,∴當(dāng)＝0時(shí)，f（x）取得最小值－1．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積、余弦的二倍角公式以及復(fù)合函數(shù)最值的求解,屬于中檔題目，解題中需要準(zhǔn)確應(yīng)用三角函數(shù)的各類公式和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，同時(shí)對運(yùn)算能力也有較高的要求.20.給出以下三個(gè)條件：①，，成等差數(shù)列；②對于,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，其中為常數(shù)；③．請從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．設(shè)是一個(gè)公比為等比數(shù)列,且它的首項(xiàng),．(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，證明數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），具體選擇見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）若選第一個(gè)則可以將，，轉(zhuǎn)化為與進(jìn)行求解;若選第二個(gè)則可以利用首項(xiàng)求出的值;若選第三個(gè)條件則可以利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式作答；(2）構(gòu)造新的數(shù)列并利用裂項(xiàng)相消法證明即可．【詳解】（1）選①進(jìn)行作答因?yàn)?，成等差數(shù)列，所以解得（舍或所以選②進(jìn)行作答由題意得因?yàn)?，所以所以，，?dāng)時(shí)，，符合上式，所以；若選③作答由，解得或又因?yàn)?，所以所?2），，所以因?yàn)?，所以，所?得證．【點(diǎn)睛】本題屬于開放型題目，由我們加一條件進(jìn)行補(bǔ)充后作答加大了學(xué)生的思維量，第二問結(jié)合對數(shù)函數(shù)構(gòu)造新的數(shù)列,并利用裂項(xiàng)相消法證明不等式，考查知識面較為廣．21。某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本,已知購買臺機(jī)器人的總成本萬元．（1）若使每臺機(jī)器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？（2）現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機(jī)器人,需要安排人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實(shí)驗(yàn)知,每臺機(jī)器人的日平均分揀量（單位:件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少多少？【答案】（1）300臺（2）90【解析】【分析】（1)由總成本萬元，可得每臺機(jī)器人的平均成本,然后利用基本不等式求最值；（2)引進(jìn)機(jī)器人后,每臺機(jī)器人的日平均分揀量，分段求出300臺機(jī)器人的日平均分揀量的最大值及所用人數(shù)，再由最大值除以1200，可得分揀量達(dá)最大值時(shí)所需傳統(tǒng)分揀需要人數(shù),則答案可求．【詳解】解：(1）由總成本，可得每臺機(jī)器人的平均成本，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號成立,∴若使每臺機(jī)器人的平均成本最低,則應(yīng)買300臺；（2)引進(jìn)機(jī)器人后,每臺機(jī)器人的日平均分揀量，當(dāng)時(shí),300臺機(jī)器人日平均分揀量為，∴當(dāng)時(shí),日平均分揀量有最大值144000;當(dāng)時(shí)，日平均分揀量為，∴300臺機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件．若傳統(tǒng)人工分揀144000件,則需要人數(shù)為(人）．∴日平均分揀量達(dá)最大值時(shí),用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少．【點(diǎn)睛】本題考查函利用均值定理求最值，考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法。22。已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）令，是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是3？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由；(3)當(dāng)時(shí),證明?！敬鸢浮浚?）（2）存在，（3)見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)可得,則可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立,設(shè)，求得，即可求解;（2）先對求導(dǎo),再分別討論，，時(shí)的情況，由最小值為3,進(jìn)而求解;（3）令，結(jié)合（2）中知的最小值為3。再令并求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)在大于等于0可判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可求得最大值也為3,即有成，，即成立,即可得證?！驹斀狻浚?)解：在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立,設(shè),則在上單調(diào)遞減，所以所以（2）解：存在,假