電動力學典型試題分析

典型試題分析1、試由畢奧－沙伐爾定律證明條?B=0由2、試由電磁場方程證明一般情況下電場的表示式=-條p-?A.?t荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場是有旋的。因此在一般情況下，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標勢來描述。在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場的表示式必然包含矢勢A在?t(?t)?t?t(?t)?t22答：用洛倫茲變換式求運動物體長度與該物體靜止長度的關系。如圖所示，設P1(第一事件)與前端經(jīng)過P點(第二事件)相對于寫同時，則PP定義為寫上212121x，P點的坐標為x，兩端分別經(jīng)過P和P的時刻為t=t。對這兩事件分別1221212應用洛倫茲變換式得x'x1vt1,x'x2vt2，兩式相減，計及tt，有1xx'x2x1*.式中xx為上測得的物體長度l(因為坐標x和x是在v122xl210止，所以對測量時刻t'和t'沒有任何限制。由*式得ll1v2。0c24、試由麥克斯韋方程組證明靜電場與電勢的關系E.P121212即C1因C2此CC22122E?dl,這功定義為P點和P點的電12P121由這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的電勢的絕對數(shù)值是沒有相距為dl的兩點的電勢差為dE?dl.由于ddxdydz?dl，因此，電場強度E等于電勢的負梯度5、試由恒定磁場方程證明矢勢A的微分方程2Aj。06、試由電場的邊值關系證明勢的邊值關系e?Q2一e?Q1=一裝.2?Q1?n12?Q1?n1于是得到靜電勢滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場波動方程。l000?tl000?t電場，而變化的電場又可以激發(fā)磁場，因此，自然可以推論電磁場可以互相激發(fā)，形成電磁波。這個推論可以直接從麥克斯韋方程得到，在真空的無源區(qū)域，電荷密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對麥克斯韋方程的第二個立，因此(立，因此(一)人=0，此式表示電場在分界面切線方向分量是連續(xù)的。1?t00?t2?(V人B(x))，得到V2E(x)一e山?2E(x)=0。這就是標準的波動方程。對應的?t00?t2009、試由麥克斯韋方程組證明電磁場的邊界條件212121SV21fnn21作跨過介質分界面的無限小狹長的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面2t1t21110、試由麥克斯韋方程組推導出亥姆霍茲方程V2E+k2E=0答：從時諧情形下的麥氏方程組推導亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有|V根H=-iwcE消去共同因子e-iwt后得〈,在此注意一點。在w士0的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨立的，其他兩式可由以上兩式導取第一式旋度并用第二式得V根(V根E)=w2山cE由導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流的情況下，導體內的電場線總是平行于導體表面。證明：(1)導體在靜電條件下達到靜電平衡，所以導體內E=0，而：12120 通過恒定的電流時，導體表面我=0.：導體外E=0,即：D=0。f2221f1011方向和法線垂直，即平行于導體表面。Q'=-0Q'=-0Q.(4)(3)和(4)式確?v00面上任一點P。邊界條件要求Q+Q'=0.式中r為Q到P的距離，rr'rQP距離。因此對球面上任一點，應有r'=-Q'=常數(shù)。(1)由圖可看rQrab=R0,或b(3)由(1)和(2)式求出Raa0a2、兩金屬小球分別帶電荷9和－9，它們之間的距離為l，求小球的電荷(數(shù)值和符號)同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場：0(取球坐標原點在解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場：0(取球坐標原點在0電荷分布區(qū)內，并以P方向為極軸，則可知B沿緯線上振蕩，E沿徑線上振蕩。)。赫茲振子輻射的平均能流密度為：000因子sin29表示赫茲振子輻射的角分布，即輻射的方向性。在9=900的平面上r126＝=aar0r02222=2222234、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內，求各點的電場強度，并由此直接計解：作半徑為r的球(與電荷球體同心)。由對稱性，在球面上各點的電場強0E=Qr403333由此得E=Qr4r3r0000R的均勻帶電球體，電荷體密度為p，球內有一不帶電的球形空腔，其半徑為R，偏心距離為a，(a+R想R)求腔內的電場。11解：這個帶電系統(tǒng)可視為帶正電(+p)的R球與帶負電的(一p)的R球的迭加而1E=r+r'E=r+r'000pp=06、無窮大的平行板電容器內有兩層介質，極板上面電荷密度為士(求電場和f解：由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把〈|a裝,,(*)應用于下n.()=0.板與介質1界面上，因導體內場強為零，故得D=裝.同樣把(*)式應用到上板1f裝=裝=f.束縛電荷分布于介2f1c2c與介質2界面上得D=2f1c2c在介質1與下板分界f02n1nfp02n1nfpppp(1)求每端的束縛電荷面密度裝；(2)求棒內的束縛電荷體密度p。(3)nn22n1nB1nBBA8、兩塊接地的導體板間的夾角為a，當板間放一點電荷q時，試用鏡像法就在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉矢量R表示，設q及其各個象電0101020425a2123232322331246 (3)3651(3)(3)2yy=-Rsin9,1(3)(3)2x3(3)(3)x4(3)(3)y3(3)(3)y4(3)(3)x5(3)(3)0 (1)、兩板間的位移電流j；D(2)、電容器內離軸r處的磁場強度；(3)、電容器內的能流密度。DEjEUUv0wSinwt解：(1)Dtt,Dtddtdjv0wSinwtDDzdzID2rHjr2DHDrHDr0rSinwt22d (2)2da2d daadlvS運行，車廂的后壁以速度為0U向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。000c20c222c222c01l0vl210lvu0c2lvu0c221v2u0c20u02c211、求無限長理想的螺線管的矢勢A(設螺線管的半徑為a，線圈匝數(shù)為4rV0ls2y02ry (1)求k。(2)寫出E的瞬時值表達式0 (40)為a和b的球形電容器，加上v=vcoswt的電壓，且o不0大，故電場分布和靜態(tài)情形相同，計算介質中位移電流密度j及穿過半徑DD解：位移電流密度為：：=一evw0sinwt2球面的總位移電流JD為：14、證明均勻介質內部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度的p (e) (e)即證明了均勻介質內部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度。p15、一根長為l的細金屬棒，鉛直地豎立在桌上，設所在地點地磁場強度為H，方向為南北，若金屬棒自靜止狀態(tài)向東自由倒下，試求兩端同時接觸桌面解：金屬棒倒下接觸桌面時的角速度w由下式給出2233l0000l0220電介質，介質常數(shù)為c，求介質中的電勢、電場和導體面上的感生面電荷密q此式對任何y、z都成立，故等式兩邊y、z的對應項系數(shù)應相等，cc (c)(2)求E(3)求裝qxnn1nxxxx2"R3xxxx2"R317、設有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度為l，它們以相同0速率v相對于某一參考系運動，但運動方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測量另一根尺的長度。cl=l01-+22)=運動尺的收縮，只與相對運動的速度的絕對c2c()值有關，：S''測得S'的尺子長度也是。(1)實驗室中觀察者觀察到的兩束電子之間的相對速度；(2)相對于一束電子靜止的觀察者觀察的另一束電子的速度。解：(1)實驗室系統(tǒng)中，電子束相對速度為0.9c+0.9c=1.8c,(2)相對于一束電子靜止的系統(tǒng)中，相對速度u=c2c19、設有一隨時間變化的電場E=Ecoswt，試求它在電導率為住，介電常數(shù)0為c的導體中，引起的傳導電流和位移電流振幅之比，從而討論在什么情況下，傳導電流起主要作用，什么情況下位移電流其主要作用。解：可知傳導電流為：j=住i，位移電流為：D?t?t00jcwD?t?t00jcwD20、已知矢勢A=5(x2+y2+z2)i，求B，