電動(dòng)力學(xué)典型試題分析

典型試題分析1、試由畢奧－沙伐爾定律證明條?B=0由2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式=-條p-?A.?t荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A在?t(?t)?t?t(?t)?t22答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)P1(第一事件)與前端經(jīng)過(guò)P點(diǎn)(第二事件)相對(duì)于寫(xiě)同時(shí)，則PP定義為寫(xiě)上212121x，P點(diǎn)的坐標(biāo)為x，兩端分別經(jīng)過(guò)P和P的時(shí)刻為t=t。對(duì)這兩事件分別1221212應(yīng)用洛倫茲變換式得x'x1vt1,x'x2vt2，兩式相減，計(jì)及tt，有1xx'x2x1*.式中xx為上測(cè)得的物體長(zhǎng)度l(因?yàn)樽鴺?biāo)x和x是在v122xl210止，所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻t'和t'沒(méi)有任何限制。由*式得ll1v2。0c24、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E.P121212即C1因C2此CC22122E?dl,這功定義為P點(diǎn)和P點(diǎn)的電12P121由這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為dE?dl.由于ddxdydz?dl，因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)的負(fù)梯度5、試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì)A的微分方程2Aj。06、試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系e?Q2一e?Q1=一裝.2?Q1?n12?Q1?n1于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。l000?tl000?t電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)，形成電磁波。這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到，在真空的無(wú)源區(qū)域，電荷密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)立，因此(立，因此(一)人=0，此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。1?t00?t2?(V人B(x))，得到V2E(x)一e山?2E(x)=0。這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)的?t00?t2009、試由麥克斯韋方程組證明電磁場(chǎng)的邊界條件212121SV21fnn21作跨過(guò)介質(zhì)分界面的無(wú)限小狹長(zhǎng)的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面2t1t21110、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程V2E+k2E=0答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有|V根H=-iwcE消去共同因子e-iwt后得〈,在此注意一點(diǎn)。在w士0的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)取第一式旋度并用第二式得V根(V根E)=w2山cE由導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流的情況下，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：(1)導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi)E=0，而：12120 通過(guò)恒定的電流時(shí)，導(dǎo)體表面我=0.：導(dǎo)體外E=0,即：D=0。f2221f1011方向和法線垂直，即平行于導(dǎo)體表面。Q'=-0Q'=-0Q.(4)(3)和(4)式確?v00面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求Q+Q'=0.式中r為Q到P的距離，rr'rQP距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有r'=-Q'=常數(shù)。(1)由圖可看rQrab=R0,或b(3)由(1)和(2)式求出Raa0a2、兩金屬小球分別帶電荷9和－9，它們之間的距離為l，求小球的電荷(數(shù)值和符號(hào))同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場(chǎng)：0(取球坐標(biāo)原點(diǎn)在解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場(chǎng)：0(取球坐標(biāo)原點(diǎn)在0電荷分布區(qū)內(nèi)，并以P方向?yàn)闃O軸，則可知B沿緯線上振蕩，E沿徑線上振蕩。)。赫茲振子輻射的平均能流密度為：000因子sin29表示赫茲振子輻射的角分布，即輻射的方向性。在9=900的平面上r126＝=aar0r02222=2222234、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)解：作半徑為r的球(與電荷球體同心)。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)0E=Qr403333由此得E=Qr4r3r0000R的均勻帶電球體，電荷體密度為p，球內(nèi)有一不帶電的球形空腔，其半徑為R，偏心距離為a，(a+R想R)求腔內(nèi)的電場(chǎng)。11解：這個(gè)帶電系統(tǒng)可視為帶正電(+p)的R球與帶負(fù)電的(一p)的R球的迭加而1E=r+r'E=r+r'000pp=06、無(wú)窮大的平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密度為士(求電場(chǎng)和f解：由對(duì)稱性可知電場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把〈|a裝,,(*)應(yīng)用于下n.()=0.板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得D=裝.同樣把(*)式應(yīng)用到上板1f裝=裝=f.束縛電荷分布于介2f1c2c與介質(zhì)2界面上得D=2f1c2c在介質(zhì)1與下板分界f02n1nfp02n1nfpppp(1)求每端的束縛電荷面密度裝；(2)求棒內(nèi)的束縛電荷體密度p。(3)nn22n1nB1nBBA8、兩塊接地的導(dǎo)體板間的夾角為a，當(dāng)板間放一點(diǎn)電荷q時(shí)，試用鏡像法就在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉(zhuǎn)矢量R表示，設(shè)q及其各個(gè)象電0101020425a2123232322331246 (3)3651(3)(3)2yy=-Rsin9,1(3)(3)2x3(3)(3)x4(3)(3)y3(3)(3)y4(3)(3)x5(3)(3)0 (1)、兩板間的位移電流j；D(2)、電容器內(nèi)離軸r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度；(3)、電容器內(nèi)的能流密度。DEjEUUv0wSinwt解：(1)Dtt,Dtddtdjv0wSinwtDDzdzID2rHjr2DHDrHDr0rSinwt22d (2)2da2d daadlvS運(yùn)行，車(chē)廂的后壁以速度為0U向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。000c20c222c222c01l0vl210lvu0c2lvu0c221v2u0c20u02c211、求無(wú)限長(zhǎng)理想的螺線管的矢勢(shì)A(設(shè)螺線管的半徑為a，線圈匝數(shù)為4rV0ls2y02ry (1)求k。(2)寫(xiě)出E的瞬時(shí)值表達(dá)式0 (40)為a和b的球形電容器，加上v=vcoswt的電壓，且o不0大，故電場(chǎng)分布和靜態(tài)情形相同，計(jì)算介質(zhì)中位移電流密度j及穿過(guò)半徑DD解：位移電流密度為：：=一evw0sinwt2球面的總位移電流JD為：14、證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度的p (e) (e)即證明了均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度。p15、一根長(zhǎng)為l的細(xì)金屬棒，鉛直地豎立在桌上，設(shè)所在地點(diǎn)地磁場(chǎng)強(qiáng)度為H，方向?yàn)槟媳?，若金屬棒自靜止?fàn)顟B(tài)向東自由倒下，試求兩端同時(shí)接觸桌面解：金屬棒倒下接觸桌面時(shí)的角速度w由下式給出2233l0000l0220電介質(zhì)，介質(zhì)常數(shù)為c，求介質(zhì)中的電勢(shì)、電場(chǎng)和導(dǎo)體面上的感生面電荷密q此式對(duì)任何y、z都成立，故等式兩邊y、z的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等，cc (c)(2)求E(3)求裝qxnn1nxxxx2"R3xxxx2"R317、設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度為l，它們以相同0速率v相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度。cl=l01-+22)=運(yùn)動(dòng)尺的收縮，只與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度的絕對(duì)c2c()值有關(guān)，：S''測(cè)得S'的尺子長(zhǎng)度也是。(1)實(shí)驗(yàn)室中觀察者觀察到的兩束電子之間的相對(duì)速度；(2)相對(duì)于一束電子靜止的觀察者觀察的另一束電子的速度。解：(1)實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中，電子束相對(duì)速度為0.9c+0.9c=1.8c,(2)相對(duì)于一束電子靜止的系統(tǒng)中，相對(duì)速度u=c2c19、設(shè)有一隨時(shí)間變化的電場(chǎng)E=Ecoswt，試求它在電導(dǎo)率為住，介電常數(shù)0為c的導(dǎo)體中，引起的傳導(dǎo)電流和位移電流振幅之比，從而討論在什么情況下，傳導(dǎo)電流起主要作用，什么情況下位移電流其主要作用。解：可知傳導(dǎo)電流為：j=住i，位移電流為：D?t?t00jcwD?t?t00jcwD20、已知矢勢(shì)A=5(x2+y2+z2)i，求B，