2022屆高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習第十一章11.4用樣本估計總體學案文含解析新人教版

高考復習資料PAGE1-/NUMPAGES1第四節(jié)用樣本估計總體【回顧知識點】一、必記3個知識點1．頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計總體的分布．另一種是用樣本的②________估計總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的④________表示．各小長方形的面積總和⑤________.(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時所分的⑦________增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為⑧________________，它能夠更加精細地反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的⑨________.(4)當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．2．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?________.(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?________.3．樣本方差，標準差標準差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，eq\x\to(x)是?________.標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量?________總體容量時，樣本方差越接近總體方差．二、必明1個易誤點不要把直方圖錯認為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機變量，縱坐標刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機變量在某一點上是沒有頻率的．【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．()(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.()(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．()(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．()二、教材改編2．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是()A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4D．中位數(shù)為3，方差為2.83．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．三、易錯易混4．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05B．0.25C．0.5D．0.75．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________．四、走進高考6．[2019·全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差eq\x(考點一)樣本的數(shù)字特征[自主練透型]1．[2018·江蘇卷]已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．2．[2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考]從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀?100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]頻數(shù)535302010由此表估計這100名小學生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()A．119.3B．119.7C．123.3D．126.73．[2021·惠州市調(diào)研考試試題]某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機抽取了100個產(chǎn)品為樣本．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為()A．8B．15C．16D．32悟·技法眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計算公式(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢，方差和標準差描述波動的大?。?2)平均數(shù)、方差的公式推廣．①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.(ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；(ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.(3)方差的簡化計算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.考點二莖葉圖[自主練透型]4．[2021·廣東廣雅中學、江西南昌二中聯(lián)考]某市重點中學奧數(shù)培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成績的平均數(shù)是88，乙組學生成績的中位數(shù)是89，則m＋n的值是()A．10B．11C．12D．135．[2021·陜西商洛質(zhì)檢]在一次53.5千米的自行車個人賽中，25名參賽選手成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù)為()A．95B．96C．97D．98悟·技法莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個位上的數(shù)字(若沒有則表示該數(shù)據(jù)不存在)；(2)解題時，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個體數(shù)字再求解.考點三頻率分布直方圖[互動講練型][例1][2020·天津卷]從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A．10B．18C．20D．36悟·技法1.繪制頻率分布直方圖時的2個注意點(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確．(2)頻率分布直方圖的縱坐標是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．2．由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握的2個關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·長沙市統(tǒng)一模擬考試]某學校對本校高三500名學生的視力進行了一次調(diào)查，隨機抽取了100名學生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計本校高三這500名學生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)為()A．185B．180C．195D．200eq\x(考點四)扇形圖與折線圖[互動講練型][例2](1)[2018·全國卷Ⅰ]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半(2)[2021·山東濟寧模擬]如圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認購量與成交量的折線圖，小明同學根據(jù)折線圖對這7天的認購量(單位：套)與成交量(單位：套)作出如下判斷，其中判斷正確的是()A．日成交量的中位數(shù)是26B．日成交量超過日平均成交量的有2天C．認購量與日期正相關(guān)D．10月7日認購量的增幅大于10月7日成交量的增幅悟·技法(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢.[變式練]——(著眼于舉一反三)2．[2021·開封市第一次模擬考試]某省普通高中學業(yè)水平考試成績由高分到低分按人數(shù)所占比例依次分為A，B，C，D，E五個等級，A等級15%，B等級30%，C等級30%，D，E等級共25%.其中E等級為不合格，原則上比例不超過5%.該省某校高二年級學生都參加學業(yè)水平考試，先從中隨機抽取了部分學生的考試成績進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．若該校高二年級共有1000名學生，則估計該年級拿到C等級及以上級別的學生人數(shù)為()A．45B．660C．880D．9003．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位：℃)數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：那么，下列敘述不正確的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢第四節(jié)用樣本估計總體【回顧知識點】①頻率分布②數(shù)字特征③eq\f(頻率,組距)④面積⑤等于1⑥樣本容量⑦組數(shù)⑧總體密度曲線⑨百分比⑩最多?最中間?中位數(shù)?eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)?相等?平均數(shù)?接近【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．參考答案：C3．題目解析：5個數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.參考答案：0.14．題目解析：由題意知，在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.參考答案：D5．題目解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.參考答案：16,186．題目解析：記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.參考答案：A課堂考點突破考點一1．題目解析：這5位裁判打出的分數(shù)分別是89,89,90,91,91，因此這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90.參考答案：902．題目解析：本題考查中位數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．由題意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的頻率依次為0.05,0.35,0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.參考答案：C3．題目解析：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為22×8＝32，故選D.參考答案：D考點二4．題目解析：∵甲組學生成績的平均數(shù)是88，∴由莖葉圖可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙組學生成績的中位數(shù)是89，∴n＝9，∴m＋n＝12.故選C.參考答案：C5．題目解析：由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績分別是88,94,99,107，故平均數(shù)為eq\f(88＋94＋99＋107,4)＝97，故選C.參考答案：C考點三例1題目解析：由題知[5.43,5.45)與[5.45,5.47)所對應(yīng)的小矩形的高分別為6.25,5.00，所以[5.43,5.47)的頻率為(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為80×0.225＝18，故選B.參考答案：B變式練1．題目解析：由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為0.03,0.07,0.27，所以前三組的頻數(shù)依次為3,7,27，則后四組的頻數(shù)和為90，又后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18，所以視力在4.8以上(含4.8)的頻率為39%，故本校高三這500名學生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)約為500×39%＝195.選C.參考答案：C考點四例2題目解析：(1)設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后，各項收入的對比如下表：新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后新農(nóng)村建設(shè)后變化情況結(jié)論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%