橋梁設(shè)計(jì)理論第七講

第七講薄壁桿件的組合扭轉(zhuǎn)上二講分別討論了薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)，建立了相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角微分方程。而實(shí)際工程中的桿件受扭時(shí)，扭轉(zhuǎn)角應(yīng)該是自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)的綜合變形。即作用在截面上的扭矩（圖7-1）為自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力（）形成的扭矩及約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力（）形成的扭矩（或）的組合，亦即（或）以及開(kāi)口截面（7-1-1）閉口截面（7-1-2）a)自由扭轉(zhuǎn)a)自由扭轉(zhuǎn)b)約束扭轉(zhuǎn)c)組合扭轉(zhuǎn)圖7-1第一節(jié)開(kāi)口薄壁桿件組合扭轉(zhuǎn)的微分方程對(duì)于開(kāi)口薄壁截面桿件自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)，分別取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有（7-2）上式對(duì)求導(dǎo)（見(jiàn)圖7-2a）），兩邊同時(shí)除以，得：（7-3）此式即為開(kāi)口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)角微分方程。式中：（7-4）稱為薄壁截面的彎扭特征。即截面自由扭轉(zhuǎn)剛度和約束扭轉(zhuǎn)剛度之比。而（7-5）為扭矩沿桿長(zhǎng)的分布集度。第二節(jié)閉口薄壁桿件組合扭轉(zhuǎn)的微分方程對(duì)于閉口薄壁桿件，仍從式（7-1）出發(fā)，此時(shí)約束扭轉(zhuǎn)力矩以待定函數(shù)表示，即用式（6-44）代入，于是組合扭轉(zhuǎn)微分方程可表達(dá)為：（7-6）（7-1）焰方程中包括兩租個(gè)未知函數(shù)仇及演?，F(xiàn)根據(jù)靜力善學(xué)條件建立未奔知量出及幫間的關(guān)系，以潮便與式（駛7驅(qū)-沙6贈(zèng)）聯(lián)立求解。哪設(shè)自由扭轉(zhuǎn)與速約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生低的總剪力流為危，它對(duì)扭轉(zhuǎn)中痰心的扭矩應(yīng)等蛙于作用于截面窮的荷載扭矩糧。斑即肝努培柜竊薦察蒼摟（盲7亞-拐7笨）噸根據(jù)虎克定律雀并引用式（姜6約-忍2腳），剪力流可嚴(yán)寫成：填岸會(huì)搭潤(rùn)夜或往炎愁請(qǐng)載阻贏捏牲刺舉股野（礎(chǔ)7丹-巧8胞）份而近誤塔年蔬羨刺繪煩基香（盞7袍-9科）（姜6鼻-15距）委上式對(duì)言求導(dǎo)后代入式謝（傍7想-席8工），再將式（望7悄-落8熟）代入式（曲7聰-愧7蓬），積分化簡(jiǎn)腥得：三辯粘也處炭鬧（義7披-1奏0咸）廚其中六：矩普千籠驕棒嬸壘疤蝕銜凈無(wú)（恰7滋-1射1案）險(xiǎn)稱為侮截面翹曲系數(shù)淋。蘋對(duì)于單室截萍面蓮維對(duì)于多室截嗚面均舟而遠(yuǎn)為截面的極慣艇矩騎，下同河。砍式（慎7貝-1矛0熟）推導(dǎo)如下：堂由式（筑7隨-其8?。┯锌常悍e膝而由式（鉛7潤(rùn)-飾9即）有提：流仍則式（司7鬼-醫(yī)8瞞）的第一項(xiàng)秘費(fèi)旋頸訓(xùn)稼吊鑄（形a劣）撓有式（支6鼻-1醒3曬）有：斃晶將其代入式爺（烤a擁）得：饅利攤網(wǎng)慣稈醋（茶7桑-1翼3趁）坑將式（夸7規(guī)-1智3秀）代入式（頸7鷹-小8砌）有：框猜詳輛危什肉（軋b嚷）英又截面內(nèi)剪應(yīng)唇力腦與內(nèi)力養(yǎng)有如下關(guān)系：原導(dǎo)腎灑年言青教將式評(píng)（錦b鉗）代入后積分明得：揪殺糖（逐c厭）跑又有式（蕉5狠-4小6皺）有：萄西臥航直鹽無(wú)蔬吧應(yīng)座（慨d萄）觸而等給撓必什昌藍(lán)那狐酬冠吉柄彩（錢e敏）茅將旁及式撒（石d數(shù)）、青（校e亮）代入式乳（帥c艙）可得：干奔談退水故毀沖介駱位濱或殲冷澡修油兄懂其中：。壓若名為惜的二次或二次你以下的函數(shù)，干即有赴，則由式（嬸7厘-1胖0劣）可得：籠超蠢慶麥長(zhǎng)么宇（粉7果-1潔4濱）（沖7受-1道0宏）灣將其代入式（笑7林-生6永），便得出閉靈口薄壁桿件的司扭轉(zhuǎn)變形微分蓋方程撲唱暑走肚西臉（財(cái)7電-1冤5禮）（況7睬-而6喉）趨其中僑：退壩蝴反末薦肉你臉覆砌（茂7熄-1如6谷）（敞7填-文4嬌）圍比較式（霸7奉-1嘆5宰）與式（黑7饅-沾3金）和式（汽7沿-1鑄6碎）與式（高7轉(zhuǎn)-突4豆）可以看出，心對(duì)于閉口截面混，可利僅用開(kāi)口截面的車扭轉(zhuǎn)微分方程嗽的表達(dá)式，而院以豬代替兇即可。這一比咽擬關(guān)系，對(duì)以廈后直裹接根據(jù)開(kāi)口截姿面的變形公式恢寫出閉口截面占的變形公式，悅頗為有用。寶務(wù)必注意，對(duì)鵝于閉口截面，山盡管可以用野代替訊，從而直接套杜用開(kāi)口截面中鎖關(guān)于扭轉(zhuǎn)角項(xiàng)的微分方程，鹿但因閉口截面判約束扭轉(zhuǎn)雙力枯矩性及扭轉(zhuǎn)力矩構(gòu)均與狂的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，環(huán)故由式（籃7塑-1尿0茅）有：稿儲(chǔ)戴于皮乓悲吹（德7勉-1慕7零）緞第三渠節(jié)救難扭轉(zhuǎn)角微分方娃程的初參數(shù)解定法猴扭轉(zhuǎn)角微分方苗程式（壓7漠-況3潤(rùn)）及式（外7舒-1多5換）為四階常系嫂數(shù)（等截面）陪非齊次線性方疤程，其解由齊沸次解和特解兩抖部分組成，齊勺次解將有四個(gè)腸積分常數(shù)，由蜻問(wèn)題的邊界條叮件確定。乒一、開(kāi)口薄壁燈桿件扭轉(zhuǎn)角微粉分方程的初參松數(shù)解法圖先討論開(kāi)口薄濟(jì)壁桿件扭轉(zhuǎn)角過(guò)微分方程式（舅7坦-抱3?。┑慕夥?。微艱分方松程休簡(jiǎn)次寨框縮恐（拴7冬-1菊8藍(lán)）（吐7像-管3鵲）其齊次解為：奴款慈觀淚鄙奇（錄7跡-1掉9仿）離據(jù)此，不難求掙得各階導(dǎo)數(shù)，篇進(jìn)而得到扭轉(zhuǎn)味角的變化率異、約束扭轉(zhuǎn)雙攪力矩賞、總扭矩陷的表達(dá)式。換呈甘廉領(lǐng)唐島謀（兔7獵-2旱0標(biāo)）靠朗惑面喉競(jìng)（映7扁-21乓-1孝）壁抖困幸滔米（互7鞏-21-友2潤(rùn)）潤(rùn)百蝕團(tuán)懸吊款牢經(jīng)（羞7悉-2尾2灰）諒式中積分常數(shù)夢(mèng)、太、消、冤可表達(dá)為桿件夾在坐標(biāo)原點(diǎn)處端（僑=帝0掙）的扭轉(zhuǎn)角（亮）、扭轉(zhuǎn)角的申變化率（攏）、雙力矩（午）及扭矩（叔）什的溜駝函數(shù)。將酸=項(xiàng)0伸代入式（絮7-拳1育9粒）代、得（坐7-盛2根0倆）邀、宵（修7姥-2姨1靈）及（困7-哀2意2宅）有：霧婆膛尺仍扎鹿丑（蒼7-抱2胃3峽）解此方程得：轉(zhuǎn)由籃驚夜汽聯(lián)將其代入式（劉7-醋1例9禾）錄～桐（莖7-垃2未2勻），便得到以欄初參數(shù)蓮表達(dá)的產(chǎn)、亭、纖及體的解析式：臺(tái)伸蹲（拌7妖-24裙）（紀(jì)7較-19僻）矩喜附核（華7并-25糖）（更7壺-20搜）遭憑跟準(zhǔn)要萄（泥7警-26莊）感（煌7阻-21肉）憤肅帆奮道冒勒厘顆閥（置7霉-27敘）蜂-命（確7俯-22必）編式中區(qū)仍為未定常數(shù)猛，可根據(jù)初始打值的物理意義嘗，由起始點(diǎn)（支=歪0喚）邊界條件直棍觀確定。伙微分方程的特晨解，可根據(jù)作壯用在桿件上的奏扭轉(zhuǎn)荷載形式乳，利用微分方臟程的特征方程租式，用待定系堡數(shù)法求得。對(duì)蛛于常見(jiàn)的荷載蛇（圖棋7底-呼2芒）包括集中雙宵力矩府，步集中力矩徐，分布扭矩洽，特解可寫成漿一般的形式，數(shù)即a)a)b)圖7-2柄援斥蜓（氣7突-28擊）貍式中失、劑、緣、廈及藏均表示自計(jì)算朽截面（唐）沿坐標(biāo)軸密的負(fù)方向量取霞的距離，故式睜（答7-2災(zāi)8殼）為診的線性函數(shù)。贏式呆（引7-2燙8緣）對(duì)涉求導(dǎo)，得到扭銜轉(zhuǎn)率、雙力矩嗎和扭矩的特解電如下：吊猾段他尊（接7攔-29姨）幕過(guò)娘壇（介7級(jí)-30艙）葉樹(shù)遙辭擾叨競(jìng)（物7嬸-31劣）屑微分方程的通刻解則為裂：蒼薪美犯儀予培（鉗7-3霜2必）株將式歲（呼7黨-24唐）氣～網(wǎng)（樂(lè)7阿-27惕）劫及式珍（劇7誕-28虧）謎～咱（區(qū)7裕-3肝1獨(dú)）歸代入式斯（悅7犧-32諒）東，即得到開(kāi)口顯薄壁桿件扭轉(zhuǎn)種變形的最后解肉答式。艦對(duì)于薄壁桿件靈扭轉(zhuǎn)的具體問(wèn)丸題，先按實(shí)際歷作用的荷載，見(jiàn)列出式拖（劑7緩-32蝦）淘，失由于通常情況妹下荷載沿桿件陵縱向是不連續(xù)隊(duì)的，故式中必裹須地是蹤分段表達(dá)（見(jiàn)希本卷講遙算例），然后崖根據(jù)邊界條件妨求解初始參數(shù)喉，再由式療（走7達(dá)-32稱）嗎計(jì)算任意截面攻的扭轉(zhuǎn)角洪，扭轉(zhuǎn)率危，雙力矩林和扭矩比。服容易看出，這賄里介紹的初參役數(shù)法與修梁誼彎曲理論的熄初蟻參數(shù)法是相似段的。殊二挑、孟閉口薄壁桿件乓扭轉(zhuǎn)角微分方棟程的初參數(shù)解閑法箱對(duì)于閉口薄壁之桿件，由于其昆扭轉(zhuǎn)角微分方惹程式恒（狼7吸-15槳）夠與開(kāi)口薄壁桿窗件扭轉(zhuǎn)角微分渡方程式（斜7耕-奴3叉）相似，在數(shù)禮學(xué)問(wèn)題上屬于責(zé)同一類問(wèn)題，高故式（施7詢-1寧5透）的齊次解，把與開(kāi)口薄壁桿多件的具有相同燦的形式。由于景閉口薄壁桿件往的縱向位移綢、蠟雙力矩腹、腸扭矩等都與函闖數(shù)印的導(dǎo)數(shù)有關(guān)（擺見(jiàn)式（漠6指-3時(shí)1萌）盟、橋（活6輸-3惱4態(tài)）近、起（宅6亂-4少4拖）敲）薪,魚(yú)因此，對(duì)應(yīng)于劇式（垃7蓬-2柿9緊）殃～沸（抄7排-3俊1希），引入閉口汗薄壁桿件的務(wù)函數(shù)，由式（災(zāi)7宿-1牧0六）及式（姐7噸-1賊7誓），考慮微分們方程的齊次解艱（顯）時(shí)，掀與函數(shù)擱間有如下的關(guān)慘系：麥即皮替穩(wěn)吉仙弟（飽7遣-33免）（盲7什-10雪）（弄7挽-17嘗）屬于是仿照漿（涂7扶-24懲）胖-伸（滲7秘-27沈）華的推導(dǎo)，可得線到閉口薄壁桿輪件扭轉(zhuǎn)角微分版方程的齊次解完，這惑時(shí)式中的系數(shù)孤取式（匠7憑-1還6書(shū)）的形式。黑售漁（掛7創(chuàng)-3兩4情）（唱7迎-2精4青）置肝幕買產(chǎn)（色7翅-3抗5單）（即7振-2中5督）降務(wù)阿情肚臣（免7截-3免6葛）（有7過(guò)-2悄6司）涼故蝦倦曬寫稼劉莫（話7忠-3嶄7罷）（精7扛-2屋7驗(yàn)）旬由式（飄7歸-2萄4疫）繞～我（妥7-允2拿7境）與式（量7忌-3壤4舒）堪-粘（洞7鵝-3啞7賓）可以看出，牛閉口薄壁桿件寫的齊次解，可仙由開(kāi)口薄壁桿曬件的對(duì)應(yīng)齊次底解，以袖代替棟得到。晨對(duì)于圖疼7宏-胳2絹所示各種荷載晴形式的特解，快上述代換也是陶適用的，故有懇：速童易（筋7堵-3痛8粱）（再7島-2田8括）疊蛾討（羽7例-3飼9摸）（患7鑄-2鋪9熟）眠易剃夸（幻7蓋-4瘋0喂）（驟7感-3喬0夕）悶翠惡雹碰進(jìn)顧皂丸（菠7悔-4擴(kuò)1攀）（凝7羊-3抱1潛）蠻同樣，微分方洞程式的通解則仗為私：MACROBUTTONMTEditEquationSection2挪舊爬寶諒SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h膚慌紀(jì)鐵闊捧值（禾7采-42若）判（扮7溝-3挽2裳）情第四節(jié)數(shù)米邊界條件塔組合扭轉(zhuǎn)微分校方程的通解式廟（峰7飲-3暑2崖）或式（續(xù)7塑-4慚2分）中的初始參攪數(shù)饞需由具體問(wèn)題城的邊界條件定罪出。對(duì)于工程落中常見(jiàn)的情況踐，邊界條件可演歸結(jié)為表膏7掃-涌1絕。1、簡(jiǎn)支端領(lǐng)如圖善7木-剖3央所示，表示桿夕端扭轉(zhuǎn)被完全嗓約束（雹=刪0孫），但允許其互自由翹曲，相賓應(yīng)的邊界條件晌為終=0森肥喂愧宋指盲延給灶諒流摟脊雅a)構(gòu)造b)圖示c)圖示圖7-3a)構(gòu)造b)圖示c)圖示圖7-32、固定端獸表示桿件的支始座完全阻止了于截面的扭轉(zhuǎn)（摧=美0添）和翹曲（滔=砌0認(rèn)），如圖喊7仰-俘4獲所示，相應(yīng)的旬邊界條件為：壘=0玩焰廟陡婦傘裳井壓走皇驕時(shí)嚴(yán)奧欣棕a)構(gòu)造a)構(gòu)造b)圖示圖7-43、自由端袍即桿端截面無(wú)類任何約束，可予以自由變形，誓其扭轉(zhuǎn)角、翹象曲位移均不為運(yùn)零。魄趨匙儉桶很鮮4、中間支承絲當(dāng)桿件具有中南間支承時(shí)，相哭應(yīng)的扭轉(zhuǎn)受到第約束揭=局0片，桿件在此截黎面左右的內(nèi)力蜓及變形相等。話現(xiàn)將開(kāi)口和閉欣口薄壁桿件的翠邊界條件，分希別列于表雨7愈-1梯開(kāi)口和閉口薄盯壁桿件的邊界我條件便本尊輛紫桶元問(wèn)悟表更7否-1渴支承情況火開(kāi)口截面蝶閉口截面低簡(jiǎn)支端漫自由端曲固定端斷中間支承鉗截面變化處視第五霜節(jié)貍誤算朽煤攜例揚(yáng)[枕例關(guān)7勁-1]要于圖飼7紙-停5扯所示兩端簡(jiǎn)支鐮桿，皂=婚20m詠，跨中承受集歪中扭矩條=2000蘇k技N但m川作用。分別計(jì)桿算渠（親1裕）歪工返字型截面；獨(dú)（沒(méi)2橋）單室雙箱截量面發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)趕的應(yīng)力寒。截面尺寸參儀見(jiàn)第緒五講源圖謙5啞-膜8葡。b)單位：b)單位：圖7-51010a)(單位：m)c)單位：d)單位：[解]想一雪、漆工字型截面1、邊界條件邀由桿件的對(duì)稱鬧性可黑知鈴,訂桿端約束反力飼均為艱，湊方向如圖遵7境-5a系）作所示。好票盞優(yōu)絮童虧恒爸舌由表鍋7狹-糧1刪可知，簡(jiǎn)支端平的邊界條件為國(guó)：時(shí)復(fù)岸瞎飄廢紗評(píng)倘（妄a悟）時(shí)特新裕房截遭錢漂睡（其b臟）速2蹤．計(jì)算截面的擦抗扭特性州由第降五講凈例殲5徐-抖1左和第疲六講戲例福6尸-愚1精知：割淹債維（誰(shuí)c它）休惕撇蹤陶（靜d躲）3．計(jì)算內(nèi)力雙力矩陪襖聚調(diào)（蟻e帖）居將式船（密b分）中采、珍代入式咐（巨e卻）有：留啦泊則去嚇碗況目悼銷減（產(chǎn)f恨）舌由式穴（榨e?。┲?，當(dāng)堵時(shí)，有：好悉夢(mèng)崇姨轎（凍g斤）當(dāng)時(shí)，臺(tái)臂振彼杠（深h舌）抱則潛取得最大值。信并將牽值代入，則球席逗獵怠降趕佳醬狀姿冊(cè)些（乒k炸）漏雙力矩分布圖顫如圖攜7羨-5拼b患所示。喚將式歷（遣g唱）輛,庭（巴h挨）分別代入糕約束扭轉(zhuǎn)力矩箏得：庸套（初l交）顏感您（倒m校）斤于是，當(dāng)導(dǎo)時(shí)，左右截面己得扭轉(zhuǎn)力矩為東：剝這桑閃圈（煙n黑）而=0時(shí)，同樣，當(dāng)時(shí)餐益癥技約束扭轉(zhuǎn)力矩侮得分布如圖編7唇-5c賀）肢所示。喉自由扭轉(zhuǎn)力矩僚，像則膜幅雜姨俘微自由扭轉(zhuǎn)力矩艘分布圖如圖臉7白-5d雞）竊所示。4、應(yīng)力計(jì)算蜘約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)愿力狼在截面內(nèi)看為梯的影響函數(shù)（走或稱分布函數(shù)嶼），觀察第帥六講浴圖坑6喜-3b瓣）劉可知，壽最大值發(fā)生在抵四個(gè)角上（測(cè)）毅,忠相應(yīng)的桌，又有第互六講曬例鋒6瀉-揉1漆已知倡，故縮據(jù)此作守圖，如圖稈7繞-6b棵）登所示25252525250.430.43a)b)圖7-6厚約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)方力隱或陷。揪由上式可見(jiàn)，程為縱的影響函數(shù)，逃觀察圖擁6紐-敗4c得）螞可知，離最大值發(fā)生在逗翼緣此的中部（紀(jì)、意點(diǎn)懷）相應(yīng)的主扇爐形矩付＝滅0.075?。ㄆ式^尖挖鍬累氣專肝沿截面的分布欺如圖良7宗-泊7b朗）所示。棗二呈、渠單箱雙室截面灘1嬌、個(gè)桿件的邊界條我件同式（雄a聽(tīng)）、式（壓b梢）。掛2碗、認(rèn)閉口截面的翹導(dǎo)曲系數(shù)勸，乖而極慣矩鐮：故逆其中腐系引用第弄六講亡例謎6間-聰1幟的計(jì)算結(jié)果。杠3吹、舍截面彎扭特性王由第允五講側(cè)例脆5薄-老1凝及第運(yùn)六講酬6補(bǔ)-領(lǐng)1踐知襖稈襲獎(jiǎng)謙躺訪回宮鉆4、內(nèi)力計(jì)算芝同開(kāi)口截面一鉆樣，將式（普7擾-元36惱），式（輸7峰-維40匠）代入（嚴(yán)7糠-螺42童）后，利用邊裹界條件磨得到：石史優(yōu)刊還叫鼻將數(shù)據(jù)代入，忌則由有：視茅（椅）容羞計(jì)提午販滲（秀）艙淚韻于是，當(dāng)燥時(shí)，截面左右志的扭轉(zhuǎn)力矩：覺(jué)鐘秒哈論喜（碗q溉）辣、均分布圖如圖溜7脆-5b蔑）際、帝c搜）罪所示，圖中括日號(hào)內(nèi)的數(shù)字即天為單箱雙室截滴面的數(shù)值。5、應(yīng)力計(jì)算翹曲正應(yīng)力翹曲剪應(yīng)力漢其中振、飲、指、尼的數(shù)值均取自啟第供六講聽(tīng)例交6叢-熔1們。吳及叮分布圖如圖踏7刻-壓6繭和龜7糖-顯7桃所示。2.52.52.5b)圖圖7-70.26縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋0.26縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋1.07縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋0.88縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋a)圖縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋0.88縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋1.07縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋0.26縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋0.26縱向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)