結(jié)構(gòu)動力學(xué)第四章結(jié)構(gòu)動力學(xué)的求解

結(jié)構(gòu)動力學(xué)第四章結(jié)構(gòu)動力學(xué)的求解第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二4．1無阻尼自由振動特性：質(zhì)量矩陣1）反映系統(tǒng)的動能

2）正定但也有例外：存在純靜態(tài)模態(tài)，使（針對兩種情況：當(dāng)采用集中質(zhì)量矩陣時和當(dāng)離散系統(tǒng)中設(shè)有無質(zhì)量點的自由度時）3）對稱剛度矩陣1）反映系統(tǒng)的勢能2）半正定存在剛體模態(tài)，此時彈性勢能為零3）對稱第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二齊次方程的解：令得到討論特征值和特征向量的性質(zhì)：

滿足則（前乘特征向量的共軛轉(zhuǎn)置）可知都是實數(shù)，取化為（廣義特征值問題）第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二（1）當(dāng)質(zhì)量矩陣式正定、剛度矩陣半正定時，可以找到非零的，滿足：

于是有：

（2）當(dāng)質(zhì)量矩陣半正定時，則可以改寫為由解出得到純靜態(tài)模態(tài),有：

（３）加權(quán)正交性質(zhì)：設(shè)和都是特征解對得到（模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度）歸一化是對角元為固有頻率組成的對角矩陣第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二固有振動：單模態(tài)振動多模態(tài)時：自由振動時：模態(tài)坐標(biāo)變換得到：解為：其中

第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二

對于給定的初始條件和，可得到

解出參數(shù)向量

系統(tǒng)的自由振動可以寫為

其中代表各自由度分別具有單位初始位移和單位初始速度引起的系統(tǒng)自由振動。第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二4．2無阻尼系統(tǒng)的受迫振動頻域分析（1）動剛度矩陣和頻響函數(shù)矩陣考察受正弦激勵的系統(tǒng) 取特解

得到

式中

稱作系統(tǒng)的動剛度矩陣其中正是系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)矩陣，它的元素反映了在系統(tǒng)第j個自由度上施加單位正弦激勵后第i個自由度的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值。具有柔度系數(shù)的量綱，從而第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二（2）頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式 利用固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性，對式動剛度矩陣左乘和右乘得

從而有

求逆，得到頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式

頻響函數(shù)矩陣的元素為

模態(tài)展開式直觀地揭示了系統(tǒng)頻率特性與模態(tài)參數(shù)間的下述關(guān)系：第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二

系統(tǒng)在該頻帶內(nèi)呈現(xiàn)單自由度系統(tǒng)的振動性態(tài)。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二時域分析

根據(jù)前面的分析，線性系統(tǒng)的響應(yīng)可分為零初始狀態(tài)下激勵引起的響應(yīng)及零激勵條件下初始條件引起的響應(yīng)，即零狀態(tài)響應(yīng)及零輸入響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)可以是其中某一種或兩種之線性組合。研究下述微分方程的求解問題（1）單位脈沖響應(yīng)矩陣 應(yīng)用模態(tài)坐標(biāo)變換

可轉(zhuǎn)換為N個單自由度系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)問題

系統(tǒng)第j個自由度受單位脈沖后第r階模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng)為

第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二解出

得系統(tǒng)響應(yīng)為

注意這是單位脈沖響應(yīng)矩陣的第j列，故單位脈沖響應(yīng)矩陣為

這正是單位脈沖響應(yīng)矩陣的模態(tài)展開式。此外也可推出其中依次作用單位脈沖引起的初速度列向量排成的矩陣恰好就是．是各自由度有單位初速度引起的自由振動。這里可以在各自由度上第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二（2）任意激勵下的響應(yīng) 有了單位脈沖響應(yīng)矩陣，系統(tǒng)受任意激勵后的零狀態(tài)響應(yīng)為

當(dāng)考慮進系統(tǒng)初始狀態(tài)對響應(yīng)的貢獻時，系統(tǒng)的響應(yīng)為

上述過程中對無阻尼系統(tǒng)用模態(tài)坐標(biāo)解耦、分析、再線性組合的方法來分析了系統(tǒng)的振動問題。該方法一般稱作振型疊加法（或模態(tài)疊加法），是處理線性振動問題的通用工具。第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二無阻尼振動系統(tǒng)

實質(zhì)：線性常微分方程組的求解通解=齊次解+特解再根據(jù)初始條件確定待定系數(shù)。1）實模態(tài)：頻率和模態(tài)向量全是實的；（剛體模態(tài)、純靜態(tài)模態(tài)）2）模態(tài)的加權(quán)正交性質(zhì)；3）模態(tài)疊加法，實在對系統(tǒng)的解耦；4）頻響函數(shù)：第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二圓板的第７階模態(tài)第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二圓頂?shù)牡冢惦A模態(tài)第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二方盒的第１８階模態(tài)第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二4．3比例阻尼系統(tǒng)的振動引入坐標(biāo)變換

得到其中

阻尼矩陣可以對角化時，稱為比例阻尼矩陣．第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二Rayleigh阻尼Cauchy阻尼阻尼模型可使阻尼陣對角化的充分條件是正定矩陣和滿足下述三式之一第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二

解耦后得到：

自由振動得到N個獨立模態(tài)坐標(biāo)下的運動

其中第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二寫作矩陣形式

得到物理坐標(biāo)下系統(tǒng)的自由振動

其中

如果比例阻尼系統(tǒng)的初始條件滿足

其自由振動將是衰減振動

稱為第r

階純模態(tài)自由振動。第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二受迫振動 （1）頻響函數(shù)矩陣采用復(fù)數(shù)記法表激勵及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，為

代入阻尼系統(tǒng)的振動方程，有

阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為其中元素是復(fù)數(shù)，其幅值施加單位幅值正弦激勵后系統(tǒng)第i個自由度上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值；而輻角的物理意義是上述響應(yīng)超前激勵的相位角。的物理意義是：在系統(tǒng)的第j個自由度上第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二將固有振型矩陣和分別左乘、右乘動剛度矩陣得到單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)矩陣的模態(tài)展開式

重新寫為：

其中是比例阻尼系統(tǒng)由單位初速度引起的自由振動矩陣。任意激勵下的響應(yīng)系統(tǒng)在任意初始條件和激勵下的響應(yīng)表達(dá)式為

第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二比例阻尼振動系統(tǒng)

1）實模態(tài)：復(fù)頻率和實模態(tài)向量；

2）模態(tài)的加權(quán)正交性質(zhì)；

3）模態(tài)疊加法，在實模態(tài)空間實現(xiàn)對系統(tǒng)的解耦；

4）頻響函數(shù)：５）衰減振動第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二4．4一般粘性阻尼系統(tǒng)的振動其中、和均為N階的對稱矩陣。

自由振動時，設(shè)解的形式為a.特征值可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。實特征值對應(yīng)臨界阻尼或過阻尼系統(tǒng)。b.與共軛復(fù)特征值相對應(yīng)，特征向量是共軛成對的復(fù)特征向量，它們各自只能確定到相差一個復(fù)常數(shù)因子的程度。系統(tǒng)的運動：把特征值改寫為：則系統(tǒng)可能發(fā)生的運動為第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二可改寫為

特征：各點的振動有相位差。無阻尼或比例阻尼時，系統(tǒng)各點同時到達(dá)幅值最大點；一般阻尼時，不是同時到達(dá)。第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二直觀上觀察，可以從固有振動的實驗看到，形成的節(jié)線的粗細(xì)，其實和阻尼的大小有關(guān)。例如一儀器架的共振實驗：

阻尼很小時阻尼略大時第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二求解時的問題：由于不滿足阻尼矩陣的對角化條件，所以無法利用無阻尼狀態(tài)時的特征解對方程進行解耦。引入狀態(tài)空間，狀態(tài)空間向量為：原方程化為：其中特征方程為：特征向量記為：第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二特征向量之間具有下述加權(quán)正交關(guān)系：

和特征值之間的關(guān)系為：回到物理空間中，則加權(quán)正交關(guān)系為引入線性變換得到2N個解耦的一階微分方程組初始條件則為第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二系統(tǒng)的自由振動

由物理坐標(biāo)描述的自由振動 系統(tǒng)的單位初位移響應(yīng)和單位初速度響應(yīng)矩陣應(yīng)定義為

受迫振動第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二（1）脈沖響應(yīng)矩陣 先考慮初始靜止系統(tǒng)，若其第j個自由度在時刻受到單位沖量，則后系統(tǒng)的初始條件為其中系統(tǒng)的自由振動為這是單位脈沖響應(yīng)矩陣的第j列，于是單位脈沖響應(yīng)矩陣的模態(tài)展開式為 第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二（2）頻響函數(shù)矩陣一般阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣仍為

頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式

（3）任意激勵下的響應(yīng)第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二注意到：

于是第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二一般粘性阻尼振動系統(tǒng)

1）復(fù)模態(tài)：頻率和模態(tài)向量都是復(fù)的；

2）復(fù)模態(tài)的加權(quán)正交性質(zhì)；

3）復(fù)模態(tài)疊加法，在狀態(tài)空間通過復(fù)模態(tài)變換實現(xiàn)對系統(tǒng)的解耦；4）頻響函數(shù)：５）衰減振動。第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二4.5數(shù)值計算方法固有振動的分析（歸結(jié)為特征問題的求解）動響應(yīng)的求解（常微分方程組的求解，可歸結(jié)為卷積的求解）一、固有振動的數(shù)值方法Rayleigh法a）Rayleigh商Rayleigh變分原理：第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二b）如果、是特征解對，則：c）任意的，可展開：第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二加上二階小量。d）如果，則：為e）從可知第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二2.Rayleigh-Rith法取任意的L個向量，組成于是

根據(jù)變分原理，可知等價于求解：其中求解得到，就可得到：第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二３．逆迭代法如果、是特征解對，則或構(gòu)造迭代格式取初始迭代向量，考察迭代一步后：第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二于是n次迭代后，得到假設(shè)：于是：

所以：第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二ａ．如果所取的初始向量中，，（即：），則ｂ．重頻時：ｃ．如果則這樣就可以求解到所有的特征向量，但真正實現(xiàn)時仍有困難，因為是數(shù)值運算，無法得到嚴(yán)格的加權(quán)正交的初始向量。一般只能求少數(shù)的前幾階。第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)想：如果在求得第一階頻率和振型后，改變系統(tǒng)的頻率構(gòu)成，把已經(jīng)求解得到的低階頻率移走，或者變?yōu)楦唠A，這樣再進行類似的迭代，就可以求出其它階次的頻率和振型。設(shè)已知，改變原系統(tǒng)，構(gòu)造：

于是：其它的不變：這樣就可以比較精確地得到全部的特征向量，已經(jīng)求解得到特征向量的誤差不影響以后的求解，而且可以方便求解重頻問題。第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二４．子空間迭代法綜合了Rayleigh-Ritz法和逆迭代法：ａ．初始向量：ｂ．逆迭代一次：ｃ．ｄ．求解得到ｅ．構(gòu)造新的進入循環(huán)．收斂準(zhǔn)則：考察特征值或特征向量或特征方程的誤差。（全部特征向量）第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二二、動響應(yīng)的數(shù)值求解

基本思路：一是將本應(yīng)為求每一瞬時都應(yīng)該滿足方程的位移向量函數(shù)，改為僅要求在離散的時間點上滿足；二是在每個時間步內(nèi)的位移、速度和加速度被假設(shè)為某種變化規(guī)律，三是將時間離散化并使間隔足夠小，把微分方程近似為代數(shù)方程，從時刻已求出（或時已知）的響應(yīng)求解下一時刻

時的響應(yīng)，依次遞推。1）線性加速度法研究運動微分方程的初值問題

系統(tǒng)在下一時刻的運動滿足第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二Taylor級數(shù)展開加速度在間隔內(nèi)隨時間線性變化，這隱含著外激勵線性變化的假設(shè)。

未知向量為和解出

可得

其中

第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二于是得到

由此解出這類方法的一個突出問題是計算精度與計算時間的矛盾。為保證精度，時間步長應(yīng)取得足夠小，但小了會增加遞推步數(shù)，計算時間就要長。此外，遞推步數(shù)增加還會增加累積誤差。因此，評價直接積分法的重要標(biāo)準(zhǔn)之一是它允許使用的最大積分步長。一種算法若在任意步長時解都不會發(fā)散，則稱該算法是無條件穩(wěn)定的；如果僅在一定步長范圍內(nèi)解才不發(fā)散，就稱作條件穩(wěn)定的。一個算法首先應(yīng)是穩(wěn)定的。其次，隨著遞推次數(shù)增加，算法的累積誤差應(yīng)被限制在允許范圍內(nèi)，或階段性地消除。線性加速度法思路簡單，容易理解，但只是條件穩(wěn)定的。

第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二2）Wilson-法

該方法基于對作另一種形式的展開。如圖所示，把加速度線性變化公式的范圍擴展到。引入

則有

第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二積分，然后取得：可得

解出，得到在時刻的運動微分方程

第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二得到時刻系統(tǒng)位移應(yīng)滿足的線性代數(shù)方程

其中

若已知和而不知道，可采用線性外插

解出，然