2022-2023學(xué)年河北省中原名校高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知集合,,則=()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中既關(guān)于直線對(duì)稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.7.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.8.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[329.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-310.給出下列四個(gè)命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.12.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足,且,,,存在,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,且,若,則________.15.如圖,在體積為V的圓柱中,以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn),上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為,,則的值是______.16.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).為橢圓的右焦點(diǎn),為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),連接分別交橢圓于兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若,求的值;⑶設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在實(shí)數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、,直線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、,連接,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.19.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線Γ上一點(diǎn),且在第一象限,滿足(2,2)(1)求拋物線Γ的方程;(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過定點(diǎn)B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過定點(diǎn),如果過定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說明理由.20.(12分)在銳角中,,,分別是角,,所對(duì)的邊,的面積,且滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的面積.22.(10分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】

討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.3、C【解析】

計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、D【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.6、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn),利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當(dāng)時(shí),,所以不關(guān)于直線對(duì)稱,則錯(cuò)誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯(cuò)誤;D中,,而,則,所以不關(guān)于直線對(duì)稱,則錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx9、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.10、B【解析】

①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個(gè)是假命題,故①錯(cuò)誤;當(dāng)內(nèi)角為時(shí),不是象限角,故②錯(cuò)誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因?yàn)?,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,

設(shè)=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點(diǎn),到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點(diǎn)均在直線上,由于為任意實(shí)數(shù),可得時(shí),的最小值即為點(diǎn)到直線的距離,可得,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用,考查直線方程的運(yùn)用,以及點(diǎn)到直線的距離,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,所以,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)圓柱的體積為,以及圓錐的體積公式,計(jì)算即得.【詳解】由題得,,得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體的體積,是基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),能求出雙曲線方程.【詳解】解:設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)【解析】試題分析:(1);(2)由橢圓對(duì)稱性,知,所以,此時(shí)直線方程為,故.(3)設(shè),則,通過直線和橢圓方程,解得,,所以,即存在.試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意知:解之得:,所以橢圓方程為:(2)若,由橢圓對(duì)稱性,知,所以,此時(shí)直線方程為,由,得,解得(舍去),故.(3)設(shè),則,直線的方程為,代入橢圓方程,得,因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo),又在直線上,所以,同理,點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以,即存在,使得.18、(1)見解析;(2).【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計(jì)算出,即可得出關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達(dá)定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達(dá)定理得,,,得,設(shè)點(diǎn)到直線的高為,則,,,,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.19、(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過定點(diǎn)(﹣3,0),理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點(diǎn)F(,0),利用(2,2),表示點(diǎn)P的坐標(biāo),再代入拋物線方程求解.(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因?yàn)锳(3,﹣2),B(3,﹣6)在這兩條直線上,分別代入兩直線的方程可得y1y2=12,然后表示直線NL的方程為:y﹣y1(x),代入化簡求解.【詳解】(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(,0),滿足(2,2)的P的坐標(biāo)為(2,2),P在拋物線上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,直線MN的斜率kMN,則直線MN的方程為:y﹣y0(x),即y①,同理可得直線ML的方程整理可得y②,將A(3,﹣2),B(3,﹣6)分別代入①,②的方程可得,消y0可得y1y2=12,易知直線kNL,則直線NL的方程為:y﹣y1(x),即yx,故yx,所以y(x+3),因此直線NL恒過定點(diǎn)(﹣3,0).【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系,直線過定點(diǎn)問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、A【解析】

由正弦定理化簡得,解得,進(jìn)而得到,利用正切的倍角公式求得,根據(jù)三角形的面積公式,求得,進(jìn)而化簡,即可求解.【詳解】由題意,在銳角中,滿足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,則,所以,可得,又由的面積,所以,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.21、(1)的值為或.(2)【解析】

(1)分類討論,當(dāng)時(shí),線段與拋物線沒有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),能取得最小值,利用拋物線的焦半徑公式即可求解;當(dāng)時(shí),線段與拋物線有公共點(diǎn),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.(2)由題意可得軸且設(shè),則,代入拋物線方程求出,再利用三角形的面積公式即可求

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