大一各科課件老師上課用的char5ii

第5章矩陣的相合與相似

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第5章§5.1歐氏空間§5.2正交化§5.3二次型§5.4實對稱方陣相合標(biāo)準(zhǔn)形§5.5特征向量與相似矩陣第5章矩陣的相合與相似

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第5章§5.6正交相似§5.7更多例子§5.8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型§5.5特征向量與相似矩陣機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第5章線性映射1.線性映射的定義定義：則映射A稱為線性空間U到V的線性映射.例1.對數(shù)域上任意線性空間和給定的數(shù)定義則是的線性變換，稱為由λ決定的標(biāo)量變換.當(dāng)λ=1時的標(biāo)量變換稱為V中的恒等變換或單位變換，記作I也記作1V2.線性映射的簡單性質(zhì)設(shè)A:U→V是線性映射.則

(1)A將零向量0UU變到零向量0VV，將

a的負向量-a變到A(a)的負向量：

(2)

A

保持線性組合關(guān)系式不變：

A(1a1+…+kak)=1A(a1)+…+kA(ak)

(3)

如果a1,…,ak線性相關(guān)，則A(a1),…,A(ak)線性相關(guān).

(4)

如果

A(a1),…,A(ak)線性無關(guān)，則

a1,…,ak線性無關(guān).A(0U)=0V,A(-a)=-A(a)3.線性映射的矩陣定義

設(shè)U,V是數(shù)域F上有限維線性空間，分別取U的基M1={α1,…,αn}

和V的基M2={β1,…,βn}.對每個1≤j≤n，設(shè)U的基向量αj在A下的像A(αj

)在基M2下的坐標(biāo)為Aj=A是依次以A1,A2,…,An為各列組成的矩陣,即

A(α1,…,αn)=(β1,…,βm)A則A稱為A在基M1和M2下的矩陣.當(dāng)U=V時取M1=M2={α1,…,αn},此時稱滿足條件

A(α1,…,αn)=(α1,…,αn)A的矩陣A為線性變換A在基M1下的矩陣.注：將U中的每個向量α用它在M1下的坐標(biāo)σ1(α)=X代表,將V中每個向量β由它在基M2下的坐標(biāo)σ2

(β)=Y代表,這樣就將U用Fnx1代表、將V用Fmx1代表，則A被表示為

A:Fnx1→Fmx1

，X→AXA的作用通過它的矩陣A的左乘來實現(xiàn).我們將X→AX稱為A在基M1,M2下的坐標(biāo)表示.定理:設(shè)

A:UV是數(shù)域F上有限維線性空間的映射.取U的基M1將U的向量用坐標(biāo)表示取V的基M2將V的向量用坐標(biāo)表示.如果A所引起的坐標(biāo)之間的映射可以通過某個矩陣A的左乘來實現(xiàn)：A:X→AX則A是線性映射,A是A在基M1，M2下的矩陣.例2

設(shè)定義A在V中的左乘變換AL：V→V，X→AX.取V的基M={E11,E12,E21,E22},其中求AL在基M下的矩陣.解：在M下的坐標(biāo)為(a,0,c,0)T.類似地有：坐標(biāo)分別為(0,a,0,c)T因此AL在基M下的矩陣為:定理設(shè)M={α1,…,αn}是F上n維線性空間U的一組基,β1,…,βn是F上線性空間V的任意n個向量,則存在唯一的線性映射A:U→V將α1,…,αn分別映到β1,…,βn.證明思路：存在性：對αU,x1,…,xnF使

α=x1α1+…+xnαn定義

A:U→V,α→x1β1+…+xnβn則A是線性映射，且將αi→βi，1≤i≤n.唯一性：若B:U→V滿足B(i)=βi,則αUB(α)=B(x1α1+…+xnαn)=x1B(α1)+…+xnB(αn)=x1β1+…+xnβn=A(α)即推論

設(shè)S={1,…,k}是F上n維線性空間的任意一組線性無關(guān)的向量,1,…,k是V中任意k個向量.則存在線性映射A:U→V將1,…,k分別映到1,…,k，但當(dāng)k<n時,A不唯一.

證明思路:將S擴充為U的基M={1,…k,…,n}.不失一般性,令k+1=…=n=0,由以上定理可得存在所求的線性映射.當(dāng)n>k時,選取不同的k+1,…,n就可得到不同的線性變換.注:

對于線性相關(guān)的1,…n不能仿照定理的證明定義線性映射因為當(dāng)它們線性無關(guān)時,同一向量寫成它們的線性組合時的系數(shù)不唯一.

4.L(U,V)與Fmxn的對應(yīng)設(shè)U,V是數(shù)域F上的n維和m維線性空間.將U到V的全體線性映射組成的集合記作L(U,V).取定U的一組基M1={α1,…,αn}，V的一組基M2={β1,…,βm},則每個A∈L(U,V)有唯一的矩陣A∈Fmxn滿足條件:

A(α1,…,αn)=(β1,…,βm)A反過來,任給一個矩陣A∈Fmxn,定義則A是線性映射,并且在基M1,M2下的矩陣是A.這樣就在線性映射L(U,V)與矩陣集合Fmxn之間建立了1-1對應(yīng)θ:A→A,將每個A∈L(U,V)對應(yīng)到A在基M1,M2下的矩陣A.注：Fmxn不僅是一個集合，還是F上的一個線性空間，定義了任意兩個矩陣的加法以及其中任意矩陣與F中任意數(shù)的乘法，并且加法和數(shù)乘運算線性空間的8條公理。5.線性函數(shù)定義

設(shè)V是F上有限維線性空間.則線性映射f:V→F稱為V上的線性函數(shù),它滿足:

LM(1)對任意1,2V,f(1+2)=f(1)+f(2);LM(2)對任意V,F,f()=f().數(shù)域F可以看作F上以{1}為基的一維線性空間.任取V的一組基M={1,…,n}.則f作為線性映射在V的基M和F的基{1}下的矩陣A=(a1,…,an)F1xn

稱為線性函數(shù)f在V的基M下的矩陣,它可以由以下等式確定：

(1)f(1,…n,)=A=(a1,…,an)(2)設(shè)V在基M={1,…,n}下的坐標(biāo)為X=(x1,…,xn),則特別,V到F的線性映射就是V的線性函數(shù).將以上關(guān)于L(U,V)的結(jié)論用到L(V,F)上,就得到：定義

V上全體線性函數(shù)組成的集合,也就是L(V,F),是F上的n維線性空間.L(V,F)稱為V的對偶空間,記作V*.設(shè)M={1,…,n}是V的任意一組基,將每個f∈V*在基M下的矩陣

AF1xn記作σ(f),則V*→F1xn是V*到n維行向量空間F1xn的同構(gòu)映射.對每個1≤i≤n定義線性函數(shù)：從而則={1*,…,n*}是V*的一組基,稱為V的基{1,…,n}的對偶基.例(方陣的跡)對任意方陣A=(aij)nxn∈Fnxn,定義

trA=a11+a22+…+ann

為A的全體對角元之和,稱為A的跡.容易驗證映射滿足條件因此,tr

是Fnxn的線性函數(shù).例5

求證:對任意的A,B∈Fnxn,有tr(AB)=tr(BA).證明:設(shè)A=(aij)nxn

,B=(bij)nxn.則因此,tr(AB)=tr(BA).坐標(biāo)變換公式

設(shè)V是數(shù)域F上有限維線性空間,它的兩組基是M1={1,…,n},M2={1,…,n}.設(shè)第二組基M2中的每個向量j(1≤j≤n)在第一組基M1下的坐標(biāo)為依次以這些坐標(biāo)為列向量組成矩陣:則P稱為基M1到M2的過渡矩陣.它可以由等式(1,…,n)=(1,…,n)P定義,稱為基變換公式.稱為坐標(biāo)變換公式,也就是一個向量在兩組不同基下的坐標(biāo)X,Y之間的關(guān)系.

設(shè)M1={1,…,n},M2={1,…,n}是V的基,P是M1到M2的過渡方陣.設(shè)V在基M1,M2下的坐標(biāo)分別是X=(x1,…,xn),Y=(y1,…,yn).從而=y11+…+ynn,將等式兩端用坐標(biāo)代替，得到坐標(biāo)等式：像與核定義:設(shè)A:U→V是F上線性空間之間的線性映射.集合A(U)={A()|∈U}稱為映射A的像,也稱為A的值域,記作ImA.集合A-1(U)={∈U|A()=0}稱為映射的核,也記作KerA.命題:設(shè)任意線性映射A:U→V的像ImA是V的子空間,核KerA是U的子空間.定義:線性映射A:U→V的像ImA的維數(shù)稱為A的秩,記作rankA.引理

設(shè)A:U→V是數(shù)域F上有限維線性空間之間的線性映射,M0={1,…,s}是KerA的一組基,S={u1,…,ut}是U的一個向量組.記M={1,…,s,u1,…,ut}為M0添加S所得到的向量組,A(S)={A(u1),…,A(ut)是S的像.則

(1)M線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)A(S)線性無關(guān);

(2)

M是U的基當(dāng)且僅當(dāng)A(S)是ImA=A(U)的基.定理

設(shè)A:U→V是有限維線性空間之間的線性映射,rankA=r,n=dimU,m=dimV.則dimU=rankA+dim(KerA),且存在U的基M1={1,…,n}和V的基M2={1,…,t}使A在基M1,M2下的矩陣為證明:設(shè)k=n-dim(KerA).任取KerA的基{k+1,…,n}擴充為U的基={1,…,k,

k+1,…,n}.由引理{A(1),…,A(k)}是ImA的基,這證明了

k=dim(ImA)=r進而n-dim(KerA)=rankA,從而有

dimU=dim(KerA)+rankA

ImA的上述基可以擴充為V的一組基由知A在基M1,M2下的矩陣為證畢.

命題設(shè)A:U→V是有限維線性空間之間的線性映射,A∈Fmxn是A在任意一對基下的矩陣,VA={X∈Fnx1|AX=0}是以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間.則rankA=rankA,dimVA=dim(KerA).命題

線性映射A:U→V是單射的充分必要條件是KerA=0.推論

線性映射A:U→V是可逆映射的充分必要條件是ImA=V且KerA=0.

命題

設(shè)A:U→V是有限維空間之間的線性映射.則A是可逆映射的充分必要條件是,以下3個條件中的任意兩個條件同時成立:dimU=dimV=n.KerA=0.ImA=V.例2

設(shè)A∈Fnxn.如果rankAk=rankAk+1對某個正整數(shù)k成立,求證：rankAk=rankAk+s對所有正整數(shù)s成立.證明:取V∈Fnx1,定義線性映射A:V→V,X→AX.則對任意正整數(shù)m,有Am:V→V,X→AmX

.從而rankAk=rankAk=rankAk+1=rankAk+1,即dimAk(V)=dimAk+1(V)又因為,所以Ak(V)=Ak+1(V).對任意正整數(shù)m,將上式兩邊同時用Am作用得Ak+m(V)=Ak+m+1(V).從而rankAk+m=dimAk+m(V)=dimAk+m+1(V)=rankAk+m+1.故

rankAk=rankAk+1=rankAk+2=…=rankAk+s對所有s成立.例3

設(shè)A∈Fnxn,k為任意整數(shù).求證：rankAk-rankAk+1≥rankAk+1-rankAk+2.證明:取V∈Fnx1,定義線性映射A:V→V,X→AX..則對任意正整數(shù)m,有Am(V)=ImAm是V的子空間.取V的子空間U=Ak(V)以及子空間W=Ak+1(V)定義線性映射A1:U→V,X→AX,A2:W→V,X→AX則ImA1=AAk(V)=Ak+1(V),ImA2=AAk+1(V)=Ak+2(V),從而 dimU=rankAk=rankAk, dimW=dimImA1=rankAk+1=rankAk+1, dimA2=rankAk+2=rankAk+2.

我們有:KerA1={X∈U|AX=0},KerA2={X∈W|AX=0},由于因此dim(KerA1)≥dim(KerA2)將(1),(2)代入即得rankAk-rankAk+1≥rankAk+1-rankAk+2.dim(KerA1)=dimU-dim(ImA1)=rankAk-rankAk+1(1)dim(KerA2)=dimW-dim(ImA2)=rankAk+1-rankAk+2(2)定義

設(shè)V是數(shù)域F上的有限維向量空間,維數(shù)為n.則V到自身的線性映射A:V→V稱為V的線性變換.線性變換定義5.5.3

設(shè)A,B是數(shù)域F上的兩個n階方陣.如果存在F上的n階可逆方陣P使B=P-1AP,就稱A,B在F上相似.定理設(shè)A,B∈Fnxn相似當(dāng)且僅當(dāng)它們是F上的同一n維空間V的同一線性變換在兩組基下的矩陣.引理5.5.4

方陣之間的相似關(guān)系滿足下列性質(zhì):

(1)自反性任意A,B∈Fnxn與自身相似;(2)對稱性如果Fnxn中A與B相似,則B與A相似;(3)傳遞性設(shè)A,B,C∈Fnxn

,且A與B相似,B與C相似,則A與C相似.證明:(1)(2)(3)例

下面方陣是否相抵?是否相似?試說明理由.(1)(2)解:

(1)顯然rankA=rankB=1,因此相抵.假如A,B相似,存在可逆方陣P使B=P-1AP然而,則應(yīng)有也就是A2與B2相似.非零方陣A2顯然不能與零方陣B2相似.因此A與B也不能相似.(2)顯然,rankA=rankB=5,A,B相抵.如果A,B相似,存在可逆方陣P使B=P-1AP,則也就是說(B-I)2與(A-I)2應(yīng)當(dāng)相似.然而rank(B-I)2=1與rank(A-I)2=2,(B-I)2與(A-I)2不相似.因此,A與B也不能相似.引理5.5.6設(shè)方陣A,B相似,B=P-1AP對F上可逆方陣P成立.f(x)∈F[x]是系數(shù)在F中的任一多項式,則

f(B)=P-1f(A)P.證明思路:采用數(shù)學(xué)歸納法(1)(PAP-1)(PBP-1)=P(AB)P-1(2)(PAP-1)n=PAnP-1特征向量定義:如果可以在線性空間V中選一組基{1,…,n}使線性變換A在這組基下矩陣B是對角矩陣,就稱A可對角化.如果方陣A相似于某個對角矩陣B就稱A可對角化.定義5.5.1設(shè)A:V→V是的線性變換,如果非零向量∈V被A映到它的某個倍向量,即A()=λ對某個λ∈F成立,就稱λ是的特征值,是A的屬于特征值λ的特征向量.

設(shè)A∈Fnxn,則V=Fnx1上的線性變換A:X→AX的特征值λ和特征向量X稱為A的特征值和特征向量.即如果λ∈F,0≠X∈Fnx1滿足AX=X,就稱λ是A的特征值,X是屬于特征值λ的特征向量.定理5.5.1線性變換A:V→V可對角化的必要且充分條件是:存在A的一組特征向量β1,…,βn

組成V的一組基.

n階復(fù)方陣A相似于對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A有n個線性無關(guān)的特征向量X1,…,Xn。

例1

求如下矩陣A的特征值和特征向量.是否存在可逆方陣P使B=P-1AP為對角陣?如果存在,求出一個這樣的P和B.解:設(shè)λ是任意一個特征值,X=(x1,x2,x3)T是A的屬于特征值λ的任一個特征向量則,即組,經(jīng)過移項,合并同類項化為標(biāo)準(zhǔn)形式:(*)可以看作以為未知數(shù)的線性方程這是以為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零:(*)(**)求(※)左邊的行列式得:=0(※)因此,條件(※)即(※)可以看作以λ為未知數(shù)的三次方程,根為4,1.將λ=4代入(**)并解所得的方程組得到:取c1≠0就得到屬于特征值4的特征向量(I)在(I)中取c1=1得到特征向量取c2,c3不全為零就得到屬于特征值1的特征向量(II)中取c2,c3=(1,0),(0,1)得到特征向量.組成F3x1的一組基將λ=1代入(**)并解所得的方程組得到:(II)將以它們?yōu)榱邢蛄拷M成可逆矩陣:由知即因此,存在可逆方陣P使B=P-1AP為對角陣,所求出的P和B如上.算法5.5.1求方陣A∈Fnxn的的特征值和特征向量:(1)求出,它是λ的n次多項式,稱為A的特征多項式.(2)解一元n次方程,求出它在F中的所有的不同的根λ1,…,λt,就是A的特征值,(也稱為A的特征根).(3)對A的每個特征值λi,齊次線性方程組(A-λiI)X=0必然有非零解.(A-λiI)X=0的非零解就是A的屬于特征值λi的特征向量.引理5.5.5:

如果A,B相似,則A,B的特征多項式相同,從而A,B的特征值完全相同.換句話說:特征多項式和特征值是相似不變量.證明:A,B相似,存在可逆方陣P,使B=P-1AP.于是定義:

設(shè)A是數(shù)域F上n維向量空間V上的線性變換,A是A在V任意一組基下的矩陣.則A的特征多項式|λI-A|稱為A的特征多項式,記作盡管A在不同基下可能有不同的矩陣,但這些矩陣相似,因而由定理知道,它們的特征多項式相同.因此,這樣得到的特征多項式與所選的基無關(guān),而由A唯一決定.引理5.5.3:設(shè)A的特征多項式則其中trA=a11+…+ann是A的對角線元素之和,稱為A的跡;detA是A的行列式.由引理5.5.5知,如果A與B相似,則它們的特征多項式相同,因而對應(yīng)項的系數(shù)相同.特別地,比較它們的n-1次項的系數(shù)以及常數(shù)項,就可得到trA=trB,|A|=|B|.

這就是說:相似的方陣的跡相同,行列式也相同.即對任意可逆方陣P,有trA=tr(P-1AP),|A|=|P-1AP|.這兩個等式也可以直接驗證:對于方陣的跡,我們證明了tr(AB)=tr(BA)對任意同階方陣A,B成立.于是tr(P-1AP)=tr(APP-1)=trA.對行列式,則有|P-1AP|=|P|-1|A||P|=|A|.引理5.5.2

設(shè)方陣A是準(zhǔn)上三角陣(或準(zhǔn)下三角陣),則A的特征多項式等于它的對角塊的特征多項式的乘積.特別的,如果A是上三角陣(或下三角陣),則它的對角元就是它的全部特征值.證明:設(shè)則例8

設(shè)實方陣解:A的特征多項式其中θ∈(0,2π)在實數(shù)范圍內(nèi)是否可以對角化?在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)呢?因而A沒有實特征值,在實空間R2

中沒有實特征向量.事實上,A:X→AX將平面上所有的向量沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ.當(dāng)θ不是π時,沒有任何一個向量被旋轉(zhuǎn)到與原來方向相同或相反,因而沒有特征向量.分別得到復(fù)特征向量由得其中(X1,X2)是以特征向量X1,X2為兩列組成的可逆方陣,記為P,則從而是對角陣.特征子空間方陣A的任意一個特征值c0,齊次線性方程組(A-c0I)X=0的解空間Vc0=Ker(A-c0I)不為零,其維數(shù)m≥1.Vc0中的所有非零向量就是屬于特征值c0的全部特征向量.定義5.5.2

設(shè)c0∈F是矩陣A∈Fnxn的特征值,則是Fnx1的子空間,稱為A的屬于特征值c0的特征子空間.設(shè)c0∈F線性變換A:V→V的特征值,則是V的子空間,稱為A的屬于特征值c0的特征子空間.定理

設(shè)ci(1≤i≤t)是線性變換A:V→V的所有的不同的特征值,vi∈Vci.則v1+…+vt=0當(dāng)且僅當(dāng)v1=…=vt=0.證法1

對每個1≤i≤t,由于vi∈Vci,A(vi)=civi,即(A-ciI)(vi)=0.對每個1≤i≤t,取線性變換

Bi=Π1≤j≤t,j≠i(A-cjI),即Bi是除了A-ciI之外所有的A-cjI的乘積.對于每個1≤j≤t,j≠i,由于Bi含有因子A-cjI將vj作用為0,因而Bi(vj)=0.而由于A(vi)=civi,B(vi)=divi,其中因此,將Bi作用于等式v1+…+vt=0兩邊得divi=0,由di≠0立即得vi=0.證法2

A作用在等式v1+…+vt=0兩邊t-1次,在利用Vandermonde行列式.特別地,線性變換A:V→V的屬于不同的特征值ci(1≤i≤t)的特征子空間Vci的和是直和.推論

對每個1≤i≤t

設(shè)dimVci=mi,Mi={ai1,…,aimi}是Vci的一組基.則各特征子空間的基Mi所含向量共同組成線性無關(guān)集合S={aij|1≤i≤t,1≤j≤mi}包含m1+…+mt個特征向量,S是的特征向量集合的一個極大線性無關(guān)量組.V的線性變換A:V→V可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A的各特征子空間Vci的維數(shù)之和m1+…+mt=dimV.定義設(shè)λ1,…,λt是線性變換A的全部不同的特征值,A的特征多項式則每個一次因子λ-λi的指數(shù)ni稱為特征值λi

的代數(shù)重數(shù).特征子空間Vλi的維數(shù)mi

稱為λi的幾何重數(shù).定理5.5.2

設(shè)λi是線性變換A的特征值,它的代數(shù)重數(shù)為ni,幾何重數(shù)為mi

,則(1)1≤mi≤ni;(2)A可對角化的充分必要條件是:每個特征值的幾何重數(shù)都等于代數(shù)重數(shù).證明:(1)特征值λi的特征子空間Vλi的維數(shù)等于mi.取Vλi的一組基{b1,…,bmi}擴充為V的一組基,則A在這組基下的矩陣為上三角形它的特征多項式與A的特征多項式比較即有1)1≤mi≤ni.(2)設(shè)λ1,…,λt是A的全部不同的特征值,由推論知A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)m1+…+mt=dimV=n1+…+nt

(*)由(1)知(*)城里當(dāng)且僅當(dāng)ni=mi

為(1≤i≤t).推論5.5.3如果A的所有的特征值都是單根(即代數(shù)重數(shù)都為1),則A可對角化.如果n階方陣A有n個不同的特征值,則A相似于對角矩陣.例2設(shè)A是n維線性空間V上的線性變換,滿足條件A2=I.求證:A可對角化.證明:

如果ker(A+I)=0,則ker(A-I)=V,A-I=O,A=I任何基下的矩陣都是單位陣I;如果ker(A-I)=0,則ker(A+I)=V,A+I=O,A=-I在任何基下的矩陣都是–I.都可對角化.

其余情形下ker(A-I),ker(A+I)都不為0,分別是A的屬于特征值1,-1的特征子空間V1,V-1,它們的基M1={α1,…,αm1}與M2={β1,…,βm2}的并集M1∪M2線性無關(guān)且包含m1+m2=n個向量,是V的一組基.A在這組基下的矩陣為對角陣?yán)?設(shè)A是任意復(fù)方陣,λ1,…,λt是它的全部不同的特征值,代數(shù)重數(shù)分別是n1,…,nt.設(shè)A相似于對角陣.試求滿足條件f(A)=O的所有的復(fù)系數(shù)多項式f(λ)∈C[λ].解A的特征多項式設(shè)A相似于對角陣D,即存在可逆復(fù)方陣P使P-1AP=D,則D的特征多項式也等于φA(λ).因此最小多項式其中q(λ)是任意復(fù)系數(shù)的多項式因此,滿足條件f(A)=O的多項式為(λ-λ1)…(λ-λt)的所有的倍式.定義設(shè)A∈Fnxn.如果系數(shù)在F中的非零多項式f(λ)∈F[λ]滿足條件f(A)=O,就稱f(λ)是A的化零多項式.A的所有化零多項式中次數(shù)最低并且最高項次數(shù)為1的多項式稱為A的最小多項式,記作dA(λ).例

求證:任意方陣A都有化零多項式.證明

設(shè)A∈Fnxn.由于Fnxn是F上n2維空間,其中n2+1個矩陣I,A,A2,…,An2

必然線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)ai∈F(0≤i≤n2)使a0I+a1A+a2A2+…+an2An2=O這就是說f(A)=O對f(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+an2λn2∈F[λ]成立.由于系數(shù)ai不全為0,多項式f(λ)不為零,是A的一個化零多項式.例求證:如果f(λ)是A的化零多項式,則A的所有的特征值都是f(λ)的根.證明:設(shè)X是屬于特征值λi的任一特征向量.則AX=λiX.由此推出A2X=A(AX)=A(λiX)=λi

AX=λi(λiX)=λi2X.一般地,AmX=λimX對所有的正整數(shù)m成立.設(shè)f(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+amλm,則f(A)=a0+a1A+a2A2+…+amAm;

f(A)X=a0X+a1AX+…+amAmX=a0X+a1λiX+…+amλimX=f(λi)X.由f(A)=O知f(A)X=0從而f(λi)X=0.但X≠0,因此f(λi)=0.定理:

設(shè)f(λ)是方陣A的化零多項式,dA(λ)是A的最小多項式,則f(λ)是dA(λ)的倍式.dA(λ)由A唯一決定.證明:

用dA(λ)除f(λ)得到商q(λ)和余式r(λ).則r(λ)=f(λ)-q(λ)dA(λ),將A代入得到r(A)=f(A)-q(A)dA(A)=O-q(A)O=O.如果r(λ)≠0,則r(λ)也是A的化零多項式并且次數(shù)低于dA(λ),與dA(λ)的最小性矛盾.因此r(λ)=0,f(λ)是dA(λ)的倍式.如果g(λ)也是A的最小多項式,則g(λ)的次數(shù)與dA(λ)相同,最高次項系數(shù)為1.但g(λ)應(yīng)是dA(λ)的倍式,這迫使g(λ)=dA(λ).這就證明了A的最小多項式的唯一性.定理復(fù)方陣A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A的最小多項式?jīng)]有重根.證明思路:本節(jié)例子中已經(jīng)證明了:A可對角化則A的最小多項式?jīng)]有重根.設(shè)A的最小多項式dA(λ)=(λ-λ1)…(λ-λt),λ1,…,λt是A的不同的特征值.對每個特征值λi

,記為dA(λ)中去掉因式(λ-λi)得到的多項式,則

由于多項