信號與系統(tǒng)課后答案

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1.8系統(tǒng)的數(shù)學模型如下，試判斷其線性、時不變性和因果性。其中X（0）為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

2ft（2）y?t??e??（5）y?t??f?t?cos2t（8）y?t??f?2t?2ft（2）y?t??e??解：①線性：設f1?t??y1?t?,-

f2?t??y2?t?，則

y1?t??e2f1?t?,y2?t??e2f2?t?那么

2??a1f1?t??a2f2?t???a1f1?t??a2f2?t??y?t??e?e2a1f1?t?e2a2f2?t?，顯然，

y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以是非線性的。

②時不變性：設f1?t??y1?t?,則y1?t??e設f1?t?t0??y2?t?,則y2?t??e2f1?t?t0?2f1?t?,y1?t?t0??e2f1?t?t0?

?y1?t?t0?，所以是時不變的。

2f?t1?③因果性：由于對任意時刻t1，y?t1??e，即輸出由當前時刻的輸入決定，所以系統(tǒng)

是因果的。（5）y?t??f?t?cos2t解：①線性：設f1?t??y1?t?,則y1?t??f1?t?cos2t,f2?t??y2?t?，

y2?t??f2?t?cos2t；那么

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?t??a2f2?t???cos2t?a1f1?t?cos2t?a2f2?t?cos2t,

顯然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系統(tǒng)是線性的。②時不變性：f1?t??y1?t?,y1?t??f1?t?cos2t,y1?t?t0??f1?t?t0?cos2?t?t0?

設f1?t?t0??y2?t?,則y2?t??f1?t?t0?cos2t?y1?t?t0?，所以是時變的。③因果性：由于對任意時刻t1，y?t1??f?t1?cos2t1，即輸出由當前時刻的輸入決定，所以系統(tǒng)是因果的。（8）y?t??f?2t?解：①線性：設f1?t??y1?t?,則y1?t??f1?2t?,f2?t??y2?t?，

y2?t??f2?2t?那么

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?2t??a2f2?2t????a1f1?2t??a2f2?2t?,

顯然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系統(tǒng)是線性的。②時不變性：設f1?t??y1?t?,則y1?t??f1?2t?,?y1?t?t0??f1??2?t?t0???

設f1?t?t0??y2?t?,則y2?t??f1?2t?t0??y1?t?t0?，所以系統(tǒng)是時變的。

1

③因果性：由于對任意時刻t1，y?t1??f?2t1?，當t1?0時，t1?2t1，即輸出由未來時刻的輸入決定，所以系統(tǒng)是非因果的。

2.16利用沖激信號及其各階導數(shù)的性質(zhì)，計算以下各式：（2）f?t??d?3t?e??t???dt?

（8）f?t??????2?t3?4???1?t?dt（10）f?t????e????t?????t???dt

?t（14）f?t???123e?t???t?n?dt

????2n???解：（2）f?t??ddt??e0??t???????t?；（8）由于??1?t????t?1?，所以f?t?????t3?4???1?t?dt?????2??2?t3?4???t?1?dt?2?t3?4?t?1?10

（10）f?t????e?t????t?????t???dt?e?t???t?0??e?t??2

t?0?（14）沖激串

?n?中只有兩個：δ（t）和δ（t+1）落在積分區(qū)間

n???t???[-3/21/2]之中，因此

1?t??1f?t???2??t?n?dt??2?3e?3e?t????t?1????t???dt?e?1?12n???22.25已知鼓舞為零時刻參與，求以下系統(tǒng)的零輸入響應。

（1）y???t??y?t??f??t?,y?0???2,y??0???0（3）y???t??3y??t??2y?t??f?t?,y?0???1,y??0???0

解：（1）特征方程為：?2?1?0，特征根為?1?i,?2??i，因此，yx（t）為：

y?Cit?C1?C2?2x?t?1e?C2e?itt?0，代入初始條件并求解，有：??iC?C1?C21?iC2?0所以yit?itx?t??e?e?2costt?0；（3）特征方程為：?2?3??2?0，特征根為：

?1??1,??t2??2，因此，yx（t）為：yx?t??C1e?C?2t2et?0；代入初始條件并求

解，有：???C1?C2?1??C0???C1?2，所以?Cy??2e?t?e?2tx?t?0

?1?2C2?2??1t2.26系統(tǒng)框圖如圖2-58所示，試列出系統(tǒng)的微分方程，求單位沖激響應。

，

2

?1f(t)?y???t??-1?y(t)

解：（1）如圖，加法器的輸出方程為：y???t??f?t??y??t?，整理后即得系統(tǒng)的微分方程為：y???t??y??t??f?t?；（2）求因此，h（t）為：h?t???C?t1e代入，得：??C1e?tU?t??C1??t??比較兩邊沖激函數(shù)的系數(shù)，得：2.33已知信號如圖2-61所示，試分別畫出f1(t1-02t

f1(t101t

f1(t2-01t

t）；特征方程為?2???0，特征根為：C2?U?t?，微分方程中令f（t）=δ（C1?C2????t???????C?t1eU?t???C1C1?C2?0?C1C????1，所以h2?1?C?t2?1f1?t?*f2?t?的波形。

f2(t

(1

(1-01t

a）

f2(t10t（b）

1f2(t-01t-1c）

?1??1,?2?0，

t），并將h（t）C2???t??????t??1?e?t?U?t?

3

h（???

???????（（f1(f2(21sint[U(t)-U101t0t（e）

a）f1?t?*f2?t??f1?t?*????t?1????t?1????f1?t?1??f1?t?1?,f(t)f（t）12（1-e-1）--013t0t（a

（b）

f1?t?*f2?t??f1??t?*f??1?2?t????2??t??2??t?1???*??t??0ed??U?t?2?1?e?t?U?t??2?1?e??t?1??U?t?1??t?0

??0?2?1?e?t0?t?1???2?e?1?e?tt?1b）

ff??1?1?t?*f2?t??f1??t?*2?t????2??t?1??2??t?1???*f??1?2?t?

?2f??1?2?t?1??2f??1?2?t?1?，而f??1?2?t?的波形是一個等腰三角形，

f(t)2-02t（c）

4

解：（故波形如下：

（b）

?

波形見（（c）因此卷積的波形為：

(ef1?t?*f2?t??sint??U?t??U?t?????*??1?U?t?1?????1?2?f3???t?1?,其中

??0sin?d??f1??1??t?*??t?1?

t?0?0?f1??1??t???sin??U??U???d??????????1?cost0?t??t????2t???2t?1所以，f?1?t?*f2?t???3?cost1?t???1；卷積的波形見（d??4t???1

f(t420

1πt2.49已知LTI系統(tǒng)的框圖如圖2-72（d所示，三個子系統(tǒng)的沖激響應分別為

）h1?t??U?t??U?t?1?,h2?t??U?t?,h3?t????t?，求總系統(tǒng)的沖激響應h2f(h1y(h3

解：由圖可知，總的沖激響應為

h?t????h2?t??h3?t???*h1?t????U?t????t???*??U?t??U?t?1????td??U?t????t?100d??U?t?1??U?t??U?t?1??tU?t???t?1?U?t?1??U?t??U?t?1??t??U?t??U?t?1????U?t?2.52求以下系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應和全響應。

（1）y???t??3y??t??2y?t??f?t?,f?t???2e?tU?t?,y?0??解：特征方程為：?2?3??2?0，特征根為：?1??1,?2??2

h(t)。

y??0???2

5

）??

?1,，

（1）求零輸入響應由特征根得yx?t?為：yx?t??C1e?t?C2e?2tt?0；代入初始條件并求解，有：??C1?C2?1?C?4???1，所以yx?t??4e?t?3e?2t???C1?2C2?2?C2??3t?0

?t?2tU?t?，（2）求沖激響應h（t）由特征根及微分方程的階數(shù)可知：h?t??A1e?A2e??在原微分方程中令f（t）=δ（t），并將h（t）代入，得：

??A1e?t?4A2e?2t?U?t????A1?2A2???t???A1?A2????t???3???A1e?t?2A2e?2t?U?t???A1?A2???t???????2?A?t1e?A2t2e??U?t????t?比較兩邊沖激函數(shù)的系數(shù)，得：???A1?A2?0?A1?1??2A1??，所以h?A?t???e?t?e?2t?U?t?

1?A2?2??1y?f?t?*h?t???2e?tU?t?*??e?tU?t??e?2tf?t?U?t????（3）求零狀態(tài)響應；

??2??t????t???0eed??U?t??2??te???2?t???0ed??U?t?

??2te?tU?t??2?e?t?e?2t?U?t?因此全響應為：

y?t??ytx?t??yf?t???4e??3e?2t?U?t??2te?tU?t??2?e?t?e?2t?U?t???6e?t?2te?t?5e?2t?U?t?

2.54一LTI系統(tǒng)，初始狀態(tài)不詳。當鼓舞為f（t）時全響應為?2e?3t?sin2t?U?t?，當鼓舞為2f（t）時全響應為?e?3t?2sin2t?U?t?。求（1）初始狀態(tài)不變，當鼓舞為f（t-1）

時其全響應，并指出零輸入響應和零狀態(tài)響應。（2）初始狀態(tài)是原來的兩倍，鼓舞為2f（t）時其全響應。解：設系統(tǒng)的零輸入響應為yx?t?，f（t）產(chǎn)生的零狀態(tài)響應為yf?t?，由于

?yx?t??yf?t???2e?3t?sin2t系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)，由題設可得???U?t???y?3t，

x?t??2yf?t???e?2sin2t?U?t?解此方程，得??yt?3e?3tU?x???t?????e?sin2t?U?t???y?3tf?t（1）由時不變性，此時的零狀態(tài)響應為yf?t?1?，而零輸入響應不變，故全響應為：

y?t??yx?t??yf?t?1??3e?3tU?t????3??e?t?1??sin2?t?1???U?t?1?，其中：零輸入響應為3e?3tU?t?，零狀態(tài)響應為???3t?1?e???sin2?t?1???U?t?1?

6

（2）根據(jù)線性性質(zhì)，此時系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應均為原來的兩倍，故全響應為：

?3ty?t??2yx?t??2yf?t???4e?2sin2t???U?t?，其中：?3t零狀態(tài)響應為6e?3tU?t?，零狀態(tài)響應為?2e?2sin2tU?t?

???3.10已知周期電壓u?t??2?2cost?45?sin2t?45?cos3t?60，試畫出其單???邊、雙邊幅度譜和相位譜。解：u?t??2?2cost?45?sin2t?45?cos3t?60

??????????????????2?2cost?45?cos2t?135?cos3t?60

???????所以令?0?1，即有A0?2,A,?1?135?,A3?1,?3?60?,1?2,?1?45,A2?1因此單邊幅度譜和相位譜如下：

An21

π

π

?n

3π

?0

2?03?0ω?02?0

3?0ω

???111A1e?j?1?e?j45,F?2?A2e?j?2?0.5e?j135,F?3?A3e?j?3?0.5e?j60222根據(jù)單雙邊譜之間的關系得：

F0?A0?2,F?1?由此的雙邊譜如下：

2Fn10.5?3?0?2?0??0

?02?03?0ω

7

?n

3π

?3?0

?2?0ππ

??0

?02?0

3?0

ω

已知連續(xù)周期信號f（t）的波形如圖3-58所示。（1）求指數(shù)型與三角型傅里葉級數(shù)；（2）求級數(shù)S?1?13?15?17?...之和。f(t)1…-12t

1）有圖易知T?2,?2?0?T??。三角型：?2a111111?0?2?0dt?2an??0cosn?tdt?0,bn??0sinn?tdt?n??1?cosn?????n??0f?t??1?2??2sin?2n?1??t?12?2?1?sin3?t?sin5?t?...?；指數(shù)型：n?1?2n?1??F?a11?a1??1n??1,?3,?5,...00?2,Fn?2n?jbn??2n??1?cosn????n?

??0otherwise1?1???f?t??2???2n?1??ej???2n?1??t?2??

n???n為奇數(shù)n為偶數(shù)8

3.12

解：（所以

所以（2）在三角型級數(shù)中令t?1，得23?15??1?12?1?12f?????1?sin?sin?...???252?2?2??3?2?以

?11?，因1???...???35??1?f???1，所?2?2?1111??1，即S=π／4.1???...??1???...????352354???2t?13.30求以下信號的傅里葉變換.（2）U?t/2?1?(4)e?jt??t?2?（6）e????t?1?

（8）U?t??U?t?1?解：（2）由于U?t/2?1??U?t?2?，所以

?1??j2??jt?j2;（4）由于e??t?2??e??t?2?，所以，U?t/2?1?????????e?j????2?t?1?（6）由于e所以，e?jt??t?2???e?j2???1?;??t?1????t?1?，e?2?t?1???t?1??e?j?

（8）由于U?t??U?t?1??g1?t?0.5?，所以U?t??U?t?1??Sa?????j0.5??e2??3.31已知信號f1?t?和f2?t?的帶寬分別為?1和?2，并且?1??2，求以下信號的帶寬。（1）f1?t??f2?t?（2）f1?t??f2?t?（3）f1?t??2f2?t?（4）f1?t?*f2?t?

2

（5）f1?2t??f2?t?1?；解：（1）f1?t??f2?t??F?j???1F1?j??*F2?j??，2?根據(jù)卷積的性質(zhì)可知F?j??帶寬為?1??2；（2）由于

f1?t??f2?t??F?j???F1?j??F2?j??，所以F?j??的帶寬為?2；(3)由于f1?t??2f2?t??F?j???F1?j???2F2?j??，所以F?j??的帶寬為?1；（4）由于

?1?f12?t??f2?t??F?j????F1?j??*F1?j???F2?j??，所以F?j??的帶寬為?2；

?2??（5）由于f1?2t??f2?t?1??F?j???的帶寬為2?1??2。

3.32利用傅里葉變換的對稱性，求以下信號的傅里葉變換（2）f?t??12??1?????j???，所以F?j??Fj*Fj?e??12???2????2???sin2??t?1?1；（4）f?t??

?t??t?1?9

解：（2）f?t??sin2??t?1????，由于gt??Sa?2Sa?2?t?1???????????t?1??2??，令??4?，?g4??t??4?Sa?2???，根據(jù)對稱性，得

4?Sa?2?t??2?g4??????2Sa?2?t??g4????，再由時移性質(zhì)得：f?t??g4????e?j?；（4）由于sgn?t??22，根據(jù)對稱性，有?2?sgn????，j?因此：

1?t??jsgn???3.33已知f?t??F?j??，利用傅里葉變換的性質(zhì)，求以下信號的傅里葉變換（1）f?3t?5?（7）tddtf?t?（8）e?j?0tdt?5dtf?t?（9）???f?（15）f?t?cos2t解：（1）f?3t?5??13F????j5???j33??e

（7）由時域微分性質(zhì)有

ddtf?t??j?F?j??，再由頻域微分性質(zhì)，得?jtddtf?t??dd???j?F?j?????jF?j???j?dd?F?j?

tddtf?t???F?j????dd?F?j??（8）由時域微分性質(zhì)有ddtf?t??j?F?j??，再根據(jù)頻移性質(zhì)即得e?j?0tddtf?t??j???1?F??j???1???；（9）由積分性質(zhì)有?tF?j????f???d??j???F?0?????，再根據(jù)時移性質(zhì)，得?t?5??f???d??F??j???5???j???5???F?0?????5?

（11）由時域微分特性，有

ddtf?t??j?F?j??，由對稱性可得1?t??jsgn???，最終根據(jù)卷積定理，得ddtf?t?*1?t???j?F?j???????jsgn???????F?j??（15）由于cos2t????????2??????2???，根據(jù)頻域卷積定理，得jtd?（11）ddtf?t?*1?t，所以

10

???

（3）欲使系統(tǒng)在單位階躍信號鼓舞下，全響應為uC?t??U?t?，系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

iL?t?12++f(t1F?

--uC?t

解：先畫出電路的復頻域模型如下：

iL?t?s-i+?2L?0?1+s-UC?s?

F(++-uC?0??s-

(1)先求系統(tǒng)函數(shù)。在復頻域模型中令i?0???0,u??LC0??0，此時由分壓公式，得

UC?s??1/ss?2?1/sF?s?，因此H?s??UC?s?F?s??11s2?2s?1??s?1?2所以沖激響應為h?t??te?tU?t?

（2）在復頻域模型中，令F?s??0，此時由分壓公式，得

U1/s?u?0????u0??Cx?s??s?2?1/s??i?0???C?s???1?s2?2s?1??i??C??LL?0??，要使?s??U?Cx?s??H?s?，則應有iL?0??1A,uC?0???0

（3）此時F?s??1s，由復頻域模型可得UC?s??UCx?s??UCf?1?s2?2s?1??i0???uC?0???1L???2F?s??s??s?2s?1

??1?si?L?0??uC?0??1?s??2??s?2s?1??21

要使UC?s??1??，應有iL?0??0,uC?0??1V。s4.36假使LTI因果系統(tǒng)H（s）的零極點分布如圖4-35所示，且H（0）=1，求（1）系統(tǒng)函數(shù)H（s）的表達式（2）系統(tǒng)的單位階躍響應。

jωjω--1σ

1σ

（a）（b）

解：（a）（1）由零極點圖可設系統(tǒng)函數(shù)為H?s??

A?s?2?，由H?0??1?A?3?，

?s?6??s?1?故H?s???3?s?2??3?s?2?1（2）設g?t??G?s?，則G?s??H?s??，做

s?6s?1sss?6s?1?????????3?s?2?12/79/7，所以階躍響應???s?s?6??s?1?ss?6s?1部分分式展開，得

9??2g?t???1?e?6t?et?U?t?

7??7（b）（1）由零極點圖可設系統(tǒng)函數(shù)為H?s??A?s?1?，由

?s?5??s?2??s?1?H?0??1?A??10，故H?s??（2）設g?t??G?s?，則G?s??得

?10?s?1?

?s?5??s?2??s?1??10?s?1?1，做部分分式展開，H?s??ss?s?5??s?2??s?1??10?s?1?1?15?5，所以階躍響應????s?s?5??s?2??s?1?ss?5s?2s?1g?t???1?e?5t?5e?2t?5e?t?U?t?

4.41系統(tǒng)框圖如圖4-40所示，試求：

（1）系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H（s）和單位沖激響應；

22

（2）描述系統(tǒng)輸入輸出關系的微分方程；

（3）當輸入f?t??2e?3tU?t?時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應；（4）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

2Σ?1?1xf(ssΣy－－32

解：（1）如圖設最終一個積分器的輸出為x?t?，寫兩個加法器的輸出方程，得

???x???t??f?t??3x??t??2x?t???y?t??2x??t??x?t?，在零狀態(tài)條件下取倆式的拉氏變換，得F?s???s2?3s?2?X?s?，因此Y?s???2s?1?X?s?H?s??Y?s?2s?1F?s??s2?3s?2做部分分式展開，得H?s???1s?1?3s?2，因此h?t???3e?2t?e?t?U?t?（2）由系統(tǒng)函數(shù)可知微分方程如下：y???t??3y??t??2y?t??2f??t??f?t?（3）F?s??2s?3,Y2?2s?1??16?5f?s??F?s?H?s???s?3??s2?3s?2??s?1?s?2?s?3所以y?t?2t?3tf?t????e?6e?5e?U?t?（4）系統(tǒng)函數(shù)的兩個極點均在復平面的左半平面，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的（此處將系統(tǒng)視作因

果的）。

4.44已知某LTI系統(tǒng)，當（1）f?t??e?tU?t?時全響應y?t???e?t?te?t?U?t?；（2）f?t??e?2tU?t?時全響應y?t???2e?t?e?2t?U?t?求系統(tǒng)的零輸入響應以及當f?t??U?t?時系統(tǒng)的全響應。

解：設y?t??Y?s?，則Y?s??Yx?s??Yf?s??Yx?s??F?s?H?s?……①,在（1）中，

F?s??111ss?1,Y?s??s?1??2?s?1?2??s?1?2，代入①式，得23

s?2?s?1?2?Yx?s??1H?s?……②s?1121s?3，代入到①式中，得,Y?s????s?2s?1s?2?s?1??