基礎(chǔ)公共課復(fù)習(xí)資料-高數(shù)上冊重要知識點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)一、函數(shù)與極限（一）函數(shù)1、2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；（重點(diǎn)）函數(shù)f(x)在0連續(xù)lim()()fxfx0xx0第一類：左右極限均存在.間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)第二類：左右極限、至少有一個不存在.無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理介值定理及其推論.（二）極限1、定義1）數(shù)列極限nxnaN,nN,xan2）函數(shù)極限xx0f(x)A,當(dāng)0xx時，f(x)A0右極限：()()fx左極限：f(0)f(x)0fxxxxx00xx0f(x)Afxfx存在()()Afxfx002、極限存在準(zhǔn)則1）夾逼準(zhǔn)則：1）yxz(nn)nnn0xa2）yznannnnn2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3、無窮?。ù螅┝?）定義：若0則稱為無窮小量；若則稱為無窮大量.2）無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小Th1~o);,~,~存在，則（無窮小代換）Th24、求極限的方法1）單調(diào)有界準(zhǔn)則；2）夾逼準(zhǔn)則；3）極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個重要極限：（重點(diǎn)）xa)1x0x11x)xb)xe)xx0x5）x0（重點(diǎn)）a)x~x~x~x~xb)11xx~22c)ex1~x（ax1~xa）d)x)~x（e)x1~xx）x)~aa二、導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)1、定義：f(x)0f(x)f(x)0xx0xx0左導(dǎo)數(shù)：f(x0)f(x)f(x)0xx0xx0右導(dǎo)數(shù)：f(x)0f(x)f(x)0xx0xx0函數(shù)f(x)在0點(diǎn)可導(dǎo)f()()x0fx0f為曲線yf(x)在點(diǎn),()2、幾何意義：(x)0fx處的切線的斜率.003、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；（重點(diǎn)）2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）（重點(diǎn)）5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；（重點(diǎn)）6）參數(shù)方程求導(dǎo)；（重點(diǎn)）7）對數(shù)求導(dǎo)法.（重點(diǎn)）5、高階導(dǎo)數(shù)dyd21）定義：2n2）Leibniz公式：(n)Cuvk(k)(nk)nk0（二）微分y，其中A與x無關(guān).fx1）定義：(0x)f(x)Axo(x)02）可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且f(0)xf(x)0三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）中值定理1、Rolle定理：（重點(diǎn)）若函數(shù)f(x)滿足：1）f(x)[,b]；2）f(x)D(a,)；3）f(a)fb)；則(a,bf)0.2、Lagrange中值定理：若函數(shù)f(x)滿足：1）f(x)[,b]；2）f(x)D(a,)；則(,f)f(a)fba).3、Cauchy中值定理：若函數(shù)f(xF(x)滿足：1）f(xF(x)[,b]；2）f(xF(x)D(,b)3F(x)x(a,)fb)f(a)f()使(a,b則()

Fb)F(a)F（二）洛必達(dá)法則（重點(diǎn)）（三）Taylor公式（不考）（四）單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：（重點(diǎn)）f(x)[,b]，f(x)D(a,)若f(x)0，則f(x)單調(diào)增加；則若f(x)0，則f(x)單調(diào)減少.2、極值及其判定定理：a)必要條件：f(x)在0可導(dǎo)，若0為f(x)的極值點(diǎn)，則()00f.b)第一充分條件：（重點(diǎn)）f(x)在x的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且(0)0f，0c)則①若當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)x時，f(x)0，則x0x為極大值0點(diǎn)；②若當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)x時，f(x)0，則x0x為極小0值點(diǎn)；③若在0的兩側(cè)f(x)不變號，則x不是極值點(diǎn).0d)第二充分條件（重點(diǎn)）f(x)在x0f()0，x處二階可導(dǎo)，且(x)00f，0fx，則0為極大值點(diǎn)；②若f(0)0，則0e)則①若()0x為極小值0點(diǎn).3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)xxf(x)f(x),1212稱f(x)在1）f(x)在區(qū)間IxxI,f()1222xxf(x)f(x),xI,f(12)12f(x)在x

區(qū)間I1222區(qū)間I上的圖形是凸的.2）判定定理（重點(diǎn)）：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a)若x(a,bf(x)0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；b)若x(a,bf(x)0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.3yf(x)在區(qū)間I上連續(xù)，0是f(x)的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線yf(x)經(jīng)過點(diǎn)(0,f(x))(0,f(x))為曲線的拐點(diǎn).00（五）不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；（重點(diǎn)）3、利用極值（最值）.（六）方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.（七）漸近線1、鉛直漸近線：f(x)xa，則xa為一條鉛直漸近線；2、水平漸近線：f(x)b，則yb為一條水平漸近線；xf(x)3、斜漸近線：kfx)kx]b存在，則ykxb為一條斜[(xxx漸近線.（八）圖形描繪四、不定積分（一）概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F(x)f(x)，則F(x)稱為f(x)的一個原函數(shù).（重點(diǎn)）2、不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.3、基本積分表（P188，13（重點(diǎn)）4、性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法（重點(diǎn)）1、f[(x)](x)dxf(u)duux()2、1f(x)dxf[(t)]t)dtt(x)（三）分部積分法：vdu（重點(diǎn)）（四）有理函數(shù)積分12、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.五、定積分（一）概念與性質(zhì)：n1、定義：bfx)f((ia0i1)xi2、7條）性質(zhì)7（積分中值定理）函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則[a,b]，使baf(x)dxf()(ba)()bfxdxf()）a（平均值：ba（二）微積分基本公式（N—L公式）（重點(diǎn)）x1、變上限積分：設(shè)(，則(x)f(x)x)ft)dtadx()ftdtfxxfxx

dx推廣：()[()]()[()]()(x)b2、N—LF(x)為f(x)f(x)dxFb)F(a)a（三）換元法和分部積分（重點(diǎn)）b1、換元法：f(x)dxf[()]()dttta2、分部積分法：bbbaudvuvaavdu（四）反常積分1、無窮積分：tf(x)dxf(x)dxatabbf(x)dxf(x)dxttf0(x)dxf(x)dxf(x)dx02、瑕積分：babf()()（a為瑕點(diǎn)）xdxfxdxtatbatf(x)dx()（b為瑕點(diǎn)）fxdxtba兩個重要的反常積分：,dxa1paxp1)p1,pp11qba)dxdxbb1qa(xaq)abx)q2),,qq11六、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)：bA[f(x)f(x)]dx2（重點(diǎn)）1a122、極坐標(biāo)：A[()()]d2212（二）體積1、旋轉(zhuǎn)體體積：（重點(diǎn)）a)曲邊梯形yf(x),xa,xb,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：bV2()xfxdxab)曲邊梯形yf(x),xa,xb,xy軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：bVy2(x)dx（柱殼法）a2、平行截面面積已知的立體：bVA(x)dxa（三）弧長1、直角坐標(biāo)：bs1()2fxadx2、參數(shù)方程：sttdt2()2()3、極坐標(biāo)：sd2()2()七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二）變量可分離的方程（重點(diǎn)）g()()，兩邊積分g(y)f(x)yfx（三）齊次型方程(yx)yu，則，設(shè)xux；x或()yxv，則，設(shè)yvy（四）一階線性微分方程（重點(diǎn)）

P(x)yQ(x)yedxxdxP()Q(x)e()CxP用常數(shù)變易法或用公式：

（五）可降階的高階微分方程1、y(n)f(x)，兩邊積分n次；2、yf(x,y)（不顯含有yyp，則yp；3、yf(y,y)（不顯含有xyp，則yp（六）線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、1,y2是齊次線性方程的解，則11C2y2也是；2、1,y2是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則11C2y2是方程的通解；3、y為非齊次方程的通解，其中1yCyy*122y為對應(yīng)齊次方程的1,y2線性無關(guān)的解，y非齊次方程的特解.*（七）常系數(shù)齊次線性微分方程（重點(diǎn)）二階常系數(shù)齊次線性方程：ypy0特征方程：r2q0，特征根：1,r2特征根通解實(shí)根r1r2y1rrCex2Ce12xrr1py(C