復(fù)數(shù)的三角表示 同步練習(xí)-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁第七章7.3復(fù)數(shù)的三角表示同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列結(jié)論中正確的是（

）．A．復(fù)數(shù)z的任意兩個(gè)輻角之間都差的整數(shù)倍；B．任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)個(gè)，但輻角主值有且只有一個(gè)；C．實(shí)數(shù)0不能寫成三角形式；D．復(fù)數(shù)0的輻角主值是0．2．歐拉公式建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，現(xiàn)有以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．下列說法正確的是（

）A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤 C．①對②錯(cuò) D．①錯(cuò)②對3．已知復(fù)數(shù)，則（

）．A． B． C． D．4．設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)化成三角形式，正確的是（

）A． B．C． D．6．復(fù)數(shù)的輻角主值是（

）A． B． C． D．7．若，則的三角形式為（

）A． B．C． D．8．向量，，分別對應(yīng)非零復(fù)數(shù)z1，z2，若⊥，則是（

）A．負(fù)實(shí)數(shù) B．純虛數(shù)C．正實(shí)數(shù) D．虛數(shù)a＋bi(a，b∈R，a≠0)9．已知的三角形式為，則的三角形式是（

）A． B．C． D．10．設(shè)z∈C，且|z|＝1，當(dāng)|（z﹣1）（z﹣i）|最大時(shí)，z＝（

）A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D．+i11．復(fù)數(shù)的輻角主值是（

）A．－40° B．310° C．50° D．130°12．若（為虛數(shù)單位），則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．已知：棣莫弗公式（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．任何一個(gè)復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)A．1 B．2 C．3 D．415．已知i為虛數(shù)單位，若i，i，，i，則i.特別地，如果i，那么ii，這就是法國數(shù)學(xué)家棣莫佛(1667~1754年)創(chuàng)立的棣莫佛定理.根據(jù)上述公式，可判斷下列命題正確的是（

）A．若i，則iB．若i，則iC．若i，i，則iD．若i，i，則i二、填空題16．將復(fù)數(shù)－2表示成三角形式是______．（用輻角主值）17．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的輻角主值為______．18．計(jì)算，并用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示計(jì)算結(jié)果：______．19．若（i為虛數(shù)單位），則使的的一個(gè)可能值是______．20．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）可知，當(dāng)時(shí)，______實(shí)數(shù)．（填寫是或否）三、解答題21．設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足關(guān)系，且的實(shí)部為，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求復(fù)數(shù)，使在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸的下方；(2)是否存在正整數(shù)，使得對于任意實(shí)數(shù)，只有最小值而無最大值？若存在這樣的的值，請求出此時(shí)使取得最小值的的值；若不存在這樣的的值，請說明理由．22．設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，．(1)觀察，，，…猜測：（直接寫出結(jié)果）；(2)若復(fù)數(shù)，利用（1）的結(jié)論計(jì)算．23．如果復(fù)數(shù)，，（其中，，i為虛數(shù)單位）．求證：．24．已知復(fù)數(shù)z滿足，z2的虛部為2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A?B?C，求△ABC的面積.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)輻角、輻角主值定義及復(fù)數(shù)0輻角判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：復(fù)數(shù)0的輻角為任意值，其兩個(gè)輻角之差不一定為整數(shù)倍，錯(cuò)誤；B：任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)個(gè)，但輻角主值有且只有一個(gè)，正確；C：其中，故實(shí)數(shù)0能寫成三角形式，錯(cuò)誤；D：復(fù)數(shù)0的輻角主值不唯一，錯(cuò)誤.故選：B2．A【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②【詳解】①②則①②均正確故選：A3．A【分析】由已知，可根據(jù)題意直接表示出，化簡即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，復(fù)數(shù)，故選：A．4．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式下的乘除運(yùn)算及輻角的定義即可求解．【詳解】解：，因?yàn)?，所以，所以，所以該?fù)數(shù)的輻角主值為．故選：B.5．A【分析】求出復(fù)數(shù)的模與輻角主值，從而即可求解.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)的模為，則，，所以復(fù)數(shù)的三角形式為．故選：A.6．D【分析】將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，即可求出輻角的主值．【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的輻角主值是．故選：D7．C【分析】由對應(yīng)的輻角主值可得其三角形式.【詳解】，輻角主值為，則其三角形式為.故選：C.8．B【分析】設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由可得，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由，得或，.所以為純虛數(shù)．故選：B.9．B【分析】根據(jù)三角形式的表達(dá)式知，的三角形式是，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)符合的即可.【詳解】由題知，的三角形式是，結(jié)合誘導(dǎo)公式知，，故選：B10．C【分析】可設(shè)出復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式，再結(jié)合的三角函數(shù)知識進(jìn)行求解．特別注意：令sinθ+cosθ＝t，則sinθcosθ＝【詳解】解：|z|＝1，設(shè)z＝cosθ+isinθ，則|（z﹣1）（z﹣i）|＝2令sinθ+cosθ＝t，則sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝∴當(dāng)t＝即θ＝時(shí)，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此時(shí)，z＝﹣﹣i．故選：C11．B【分析】將復(fù)數(shù)寫成（）即可求出所求復(fù)數(shù)的輻角.【詳解】復(fù)數(shù)，所以該復(fù)數(shù)的輻角主值是.故選：B12．A【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可以取，此時(shí)，所以是的充分不必要條件.故選：A13．B【分析】由已知求得復(fù)數(shù)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的象限符號得答案．【詳解】解：由，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：．14．B【分析】直接利用棣莫弗定理結(jié)合三角函數(shù)值的求法逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解：對于（1），因?yàn)椋?，所以，所以，所以?）正確，對于（2），當(dāng)時(shí)，，則，所以（2）錯(cuò)誤，對于（3），當(dāng)時(shí)，，則，所以（3）正確，對于（4），當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以（4）錯(cuò)誤，所以正確的有2個(gè)，故選：B15．A【分析】A.ii，所以該選項(xiàng)正確；B.i，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.i，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.ii.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A.若i，則ii，所以該選項(xiàng)正確；B.若i，則i，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若i，i，則i，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.i，i，則ii.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A16．【分析】直接寫出復(fù)數(shù)－2的三角形式即可.【詳解】故答案為：17．##【分析】將復(fù)數(shù)寫成三角表達(dá)形式即可.【詳解】，故答案為：18．【分析】運(yùn)用三角形式下復(fù)數(shù)的乘除法則計(jì)算即可.【詳解】故答案為：19．（答案不唯一）【分析】即，可得，，求得．【詳解】解：為虛數(shù)單位），即，，，，，.所以的一個(gè)可能值是（滿足，）.故答案為：（滿足，）.20．是【分析】直接利用歐拉公式求解后即可判斷.【詳解】由歐拉公式，當(dāng)時(shí)，，是實(shí)數(shù).故答案為：是21．(1)，其中(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸的下方得，即可解得結(jié)果.（2）根據(jù)，可設(shè)，，，，要滿足題意需對任意實(shí)數(shù)均不成立，可推斷，進(jìn)而解得取得最小值的的值.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，進(jìn)而得．設(shè)．由，得．又在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸的下方，因此．由此得，其中，所以，其中．（2）由，可設(shè)，則，得當(dāng)，即，時(shí)，．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，整理得．欲使此等式對任意實(shí)數(shù)均不成立，則，即，又為正整數(shù)，因此只能．當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)，都使無最大值，只有最小值，此時(shí)．所以，存在，使得只有最小值，而無最大值，且當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．22．(1)(2)【分析】（1）觀察規(guī)律即可得；（2）由特殊角三角函數(shù)得，結(jié)合（1）的結(jié)論及誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】（1）由觀察得；（2），由（1）