2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題12 立體幾何小題壓軸練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題12立體幾何小題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知直三棱柱，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過的內(nèi)切圓圓心，且，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B．π C． D．2．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_(tái)中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是（

）．A． B． C． D．3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，是以AC為底邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，又BD與平面ADC所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）點(diǎn)分別是棱長為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長度范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B．C． D．6．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（

）A． B． C． D．8．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成，連接，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）蜜蜂是自然界的建筑大師，在18世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家馬拉爾迪指出，蜂巢是由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房（如圖）構(gòu)成，其中每個(gè)蜂房的底部都是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，每個(gè)菱形鈍角的余弦值是，則（

）A．平面B．C．蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直D．該幾何體的體積與以六邊形為底面，以為高的正六棱柱的體積相等10．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在四面體的四個(gè)面中，有公共棱的兩個(gè)面全等，，，，二面角大小為，下列說法中正確的有（

）A．四面體外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．若，，則D．若，，則11．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（

）A．正四棱臺(tái)的體積為B．平面平面C．AE∥平面D．正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104π12．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過M，N，P的正方體的截面記為，則下列判斷正確的是（

）A．當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形B．當(dāng)時(shí)，截面為五邊形C．當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形D．設(shè)中點(diǎn)為Q，三棱錐的體積為定值13．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）六面體中，底面ABCD、分別是邊長為4和2的正方形，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，且，．若該六面體為臺(tái)體，下列說法正確的是（

）A．六面體的體積為28B．異面直線與的夾角的余弦值為C．二面角的正弦值為D．設(shè)P為上底面上一點(diǎn)，且，則P的軌跡為一個(gè)圓14．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為15．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正四面體中，棱的中點(diǎn)為M，棱的中點(diǎn)為N，過的平面交棱于P，交棱于Q，記多面體的體積為，多面體的體積為，則（

）A．直線與平行 B．C．點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等 D．16．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┮阎惷嬷本€與所成角為，平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，點(diǎn)為平面、外一定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)且與直線、所成角都是的直線有條B．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條C．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條D．過點(diǎn)與平面成角，且與直線成的直線有條17．（2023春·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示，是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，其中四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)是弧上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.下列說法正確的有（

）A．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則平面平面B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為D．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐外接球的半徑18．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖的六面體中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，則（

）A．CD⊥平面ABC B．AC與BE所成角的大小為 C． D．該六面體外接球的表面積為3π19．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)召開期間，某學(xué)校組織了“喜慶二十大，永遠(yuǎn)跟黨走，奮進(jìn)新征程，書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，若球的體積為；如圖②，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為C．異面直線與所成的角的余弦值為D．球離球托底面的最小距離為20．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，平面與平面所成銳二面角，直線與平面所成角為，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．面積的最大值為C．D．三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和3，側(cè)棱長為1，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則（

）A．CP長度的最小值為B．存在點(diǎn)P，使得C．存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得D．所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為22．（2023·江蘇南通·二模）如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)，D分別位于BC兩側(cè)，則（

）A．B．平面BDCC．多面體的外接球的表面積為D．點(diǎn)A，P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長相等23．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于224．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）正方體的棱長為，中心為，以為球心的球與四面體的四個(gè)面相交所圍成的曲線的總長度為，則球的半徑為（

）A． B． C． D．三、填空題25．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知矩形在平面的同一側(cè)，頂點(diǎn)在平面上，，，且，與平面所成的角的大小分別為30°，45°，則矩形與平面所成角的正切值為______．26．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱，M為側(cè)棱的中點(diǎn)，N在側(cè)面矩形內(nèi)(異于點(diǎn))，則三棱錐體積的最大值為____________.27．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┰谌忮F中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為__________.28．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度的最小值為______．29．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中校考階段練習(xí)）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，則該鞠（球）的表面積為__________.30．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，過作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，則的最大值是___________.2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題12立體幾何小題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知直三棱柱，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過的內(nèi)切圓圓心，且，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B．π C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，，過分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為三棱取的外接球球心，計(jì)算，，再利用勾股定理得到，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】如圖，為線段的中點(diǎn)，，平面，平面，故，，平面，故平面，平面，故，故，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)且過的內(nèi)切圓圓心，故，即.所以.取的中點(diǎn)，連接、，分別在、上取、的外接圓圓心、.過分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱取的外接球球心.在中由余弦定理得：，所以.設(shè)、的外接圓半徑分別為、，三棱錐的外接球半徑為.，解得，同理，所以，，所以三?錐的外接球表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面垂直，三棱錐的外接球表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力，其中，確定過圓心的垂線交點(diǎn)是球心再利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵，此方法是?？挤椒?，需要熟練掌握.2．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_(tái)中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作,該四棱臺(tái)的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺(tái)的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，．取,的中點(diǎn)，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，是以AC為底邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，又BD與平面ADC所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角算出點(diǎn)B到平面ADC的距離，從而找到球心的位置，利用幾何關(guān)系算出球的半徑即可.【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則，，可得平面DEB．又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面．在平面DEB中，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則平面ADC，∴是直線BD與平面ADC所成角的平面角．設(shè)，則，易求，，則．由勾股定理可得，即，解得，于是，點(diǎn)H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上，的外心為E，連接OE,則平面ABC，,設(shè)三棱錐外接球的半徑，在中，由射影定理可得，即，解得，∴三棱錐外接球的表面積．故選：B.4．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）點(diǎn)分別是棱長為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長度范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，證明平面平面，從而得到P的軌跡是線段，從而得出長度范圍.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，,∵點(diǎn)M，N分別是棱長為2的正方體中棱BC，的中點(diǎn)，，,，四邊形為平行四邊形，，而在平面中，易證，∵平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面AMN，∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，，，∴，∴當(dāng)P與O重合時(shí)，的長度取最小值，為等腰三角形，∴在點(diǎn)或者點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)最大，最大值為.即的長度范圍為故選：B．5．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在以為球心，半徑的球面上，進(jìn)而依次討論該球與三棱錐的表面的交線即可得答案.【詳解】解：由題設(shè)知點(diǎn)在以為球心，半徑的球面上，所以點(diǎn)P的軌跡就是該球與三棱錐的表面的交線．由正方體性質(zhì)易知三棱錐為正四面體，所以，點(diǎn)到平面的距離，所以球在平面上的截面圓的半徑，所以，截面圓的圓心是正中心，正的邊長為，其內(nèi)切圓的半徑．因此，點(diǎn)P在面內(nèi)的軌跡是圓在內(nèi)的弧長，如圖所示．，所以，所以，所以，點(diǎn)P在此面內(nèi)的軌跡長度為．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以球在平面ABCD上的截面圓心為A，其半徑，又，所以點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的軌跡是一段弧，如圖所示，，所以，從而，所以．由于對稱性，點(diǎn)P在平面和平面內(nèi)的軌跡長度都是，故點(diǎn)P在三棱錐的表面上的軌跡的長度是．故選：A6．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.【詳解】取、中點(diǎn)、，正方形中心，中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線（含點(diǎn)）時(shí)，

視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段的延長線（不含點(diǎn)）時(shí)，

視為負(fù)數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.7．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取中點(diǎn)為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過做平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點(diǎn)為四棱錐外切球球心O.由題目條件，可證得四邊形為矩形，設(shè)外接球半徑為R，則.后可得答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過作平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點(diǎn)為四棱錐外接球球心O.因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，則平面ABCD.又平面ABCD，則.因，則四邊形為矩形.設(shè)三角形外接圓半徑為，則，又則.則，設(shè)外接球半徑為R，則，又，則，則球O表面積為：.故選：C.8．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成，連接，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)為，證明，取的中點(diǎn)為，證明，根據(jù)二面角的定義證明，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置，解三角形求球的半徑，由此可得三棱錐外接球的表面積【詳解】由已知，E是AB的中點(diǎn)，所以，又，，所以為等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，又，，所以同理可得，又，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，，，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)闉橹苯侨切危瑸樾边?，所以，所以為的外接圓的圓心，設(shè)為三棱錐外接球的球心，則平面，設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，則，若球心和點(diǎn)位于平面的兩側(cè)，延長到點(diǎn)，使得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，，所以三棱錐外接球的表面積，若球心和點(diǎn)位于平面的同側(cè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，過點(diǎn)作，則四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，舍去，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，作出合適的截面圖，解三角形確定球的半徑.二、多選題9．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）蜜蜂是自然界的建筑大師，在18世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家馬拉爾迪指出，蜂巢是由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房（如圖）構(gòu)成，其中每個(gè)蜂房的底部都是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，每個(gè)菱形鈍角的余弦值是，則（

）A．平面B．C．蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直D．該幾何體的體積與以六邊形為底面，以為高的正六棱柱的體積相等【答案】AD【分析】對A：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對B、C：根據(jù)空間中的垂直關(guān)系分析判斷；對D：通過補(bǔ)形，結(jié)合錐體體積分析判斷.【詳解】對A：因?yàn)?，，則，平面，且平面，故平面，故A正確；對B：每個(gè)菱形鈍角的余弦值是，即不垂直，因?yàn)?，即不垂直，故B錯(cuò)誤；對C：若蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直，可知平面平面，則平面，平面，所以，且，故，這與不垂直矛盾，故C錯(cuò)誤；對D：如圖，補(bǔ)形可知：過作正六邊形，∵為菱形，則的中點(diǎn)在上，故點(diǎn)到平面的距離相等，故，同理可得：，故該幾何體的體積與以六邊形為底面，以為高的正只棱柱的體積相等，所以D正確；故選：．10．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在四面體的四個(gè)面中，有公共棱的兩個(gè)面全等，，，，二面角大小為，下列說法中正確的有（

）A．四面體外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A：找出四面體得外接球得外接圓圓心和半徑即可；選項(xiàng)B：先確定底面，底面積確定，利用夾角的變化確定體積最大的時(shí)候的高即可；選項(xiàng)C：直接畫出二面角，然后計(jì)算其夾角即可；選項(xiàng)D：先過點(diǎn)畫的垂線，垂足為;過點(diǎn)畫的垂線，垂足為，然后二面角為與的夾角，利用基底法計(jì)算長度即可.【詳解】由題的示意圖，畫中點(diǎn)為，連接選項(xiàng)A：由題可知在中，，所以,又因?yàn)橛泄怖獾膬蓚€(gè)面全等,，故,由直角三角形的性質(zhì)可知，,故該三棱錐的外接球球心為點(diǎn)，直徑為，所以外接球表面積為，故A正確；選項(xiàng)B：要使四面體的體積最大，則只需以為底面，在邊上的高為高即可；因?yàn)楣怖獾膬蓚€(gè)面全等，所以，所以有，已知，所以，所以體積最大時(shí)，該四面體的體積為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：分別過點(diǎn)畫邊的垂線，顯然垂足均為，則,得示意圖由選項(xiàng)B可知，又，，所以,由余弦定理的，因?yàn)樵谌切沃?，所以，故C正確；選項(xiàng)D:如圖所示，過點(diǎn)畫的垂線，垂足為;過點(diǎn)畫的垂線，垂足為，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以與的夾角為，由選項(xiàng)B可知，,所以,同理,由選項(xiàng)A可知所以，,所以得，所以，故D正確；故選：ACD11．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（

）A．正四棱臺(tái)的體積為B．平面平面C．AE∥平面D．正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104π【答案】BCD【分析】對于A：直接代入正四棱臺(tái)的體積公式即可求解；對于B：先證BD⊥平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；對于C：取的中點(diǎn)F，連接AF，EF，，連接AG，先證四邊形是平行四邊形，易得GA平面，EF平面，根據(jù)面面平行判定定理可證平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明AE平面；對于D：分球心在正四棱臺(tái)內(nèi)、外兩種情況討論，且球心必在上或的延長線上，再利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程即可求解.【詳解】依題意，對于A，正四棱臺(tái)的體積為，故錯(cuò)誤；對于B，易知BD⊥AC，BD⊥，又，平面，平面，則BD⊥平面，又BD平面，所以平面⊥平面，故B正確；對于C，取的中點(diǎn)F，連接AF，EF，，連接AG，所以EF，又因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，所以G是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又GA?平面，?平面，所以GA平面，因?yàn)锽D，所以EFBD，EF?平面，BD?平面，所以EF平面，因?yàn)镋F∩AG＝G，所以平面平面，因?yàn)锳E?平面AEF，所以AE平面，故C正確；對于D，連接AC、BD相交于，連接，相交于，如果外接球的球心O在正四棱臺(tái)的內(nèi)部，則O在上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球O的半徑為R，所以，即，無解，所以外接球的球心O在正四棱臺(tái)的外部，如圖：則O在延長線上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球O的半徑為R，所以，即，解得＝26，所以正四棱臺(tái)的外接球的表面積為4π＝104π，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線面、面面的平行垂直關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線與線的平行垂直關(guān)系，常用的方法有：平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線、對角線、勾股定理以及向量法等；外接球問題，根據(jù)幾何圖形的對稱性確定球心是關(guān)鍵，熟悉常見外接球的模型可以提升解題速度.12．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過M，N，P的正方體的截面記為，則下列判斷正確的是（

）A．當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形B．當(dāng)時(shí)，截面為五邊形C．當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形D．設(shè)中點(diǎn)為Q，三棱錐的體積為定值【答案】AC【分析】延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，結(jié)合圖形即可判斷A；延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，求出即可判斷B；當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，判斷四邊形的形狀即可判斷C.設(shè)為到平面的距離，三棱錐的體積：，不為定值，可判斷D.【詳解】對A，如下圖所示，延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，所以，同理，又因?yàn)椋?，同理，所以共面，此時(shí)六邊形為截面，所以截面為六邊形，故A正確；對B，如下圖所示，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，因?yàn)椋裕?，即，所以?dāng)時(shí)，截面為五邊形，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，由A得，，所以四邊形即為截面，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，所以四邊形是等腰梯形，故C正確.對D，設(shè)為到平面的距離，延長，交于一點(diǎn)，連接與交于一點(diǎn)，所以直線與平面相交，所以直線與平面不平行，三棱錐的體積：，因?yàn)闉槎ㄖ?，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，所以到平面的距離不為定值，所以三棱錐的體積為不為定值，故D不正確.故選：AC.13．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）六面體中，底面ABCD、分別是邊長為4和2的正方形，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，且，．若該六面體為臺(tái)體，下列說法正確的是（

）A．六面體的體積為28B．異面直線與的夾角的余弦值為C．二面角的正弦值為D．設(shè)P為上底面上一點(diǎn)，且，則P的軌跡為一個(gè)圓【答案】AB【分析】對于選項(xiàng)A：根據(jù)已知證明六面體為棱臺(tái)，高，即可根據(jù)棱臺(tái)的體積公式得出答案判斷；對于選項(xiàng)B：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法求出答案判斷；對于選項(xiàng)C：根據(jù)二面角的向量求法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系得出答案判斷；對于選項(xiàng)D：設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0，列式化簡即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：底面ABCD是的正方形，，，且，平面，平面，，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，，，，，面ABCD，面，面面，則六面體為棱臺(tái)，且高，則，故A正確；對于選項(xiàng)B：根據(jù)選項(xiàng)A的過程可得兩兩相互垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則異面直線與的夾角的余弦值為，故B正確；對于選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B的過程得出：，，，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，面為面，為面的一個(gè)法向量，則二面角的余弦值為，則二面角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：根據(jù)已知設(shè)點(diǎn)，其中根據(jù)選項(xiàng)B過程可得，，則，，，，即無解，則上底面不存在點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤；故選：AB.14．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球即為的外接圓，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.15．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正四面體中，棱的中點(diǎn)為M，棱的中點(diǎn)為N，過的平面交棱于P，交棱于Q，記多面體的體積為，多面體的體積為，則（

）A．直線與平行 B．C．點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等 D．【答案】BCD【分析】判斷與的位置關(guān)系，判斷A；結(jié)合點(diǎn)C與點(diǎn)D在平面兩側(cè)，且N是的中點(diǎn)，可判斷點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等，判斷C；討論Q是中點(diǎn)和Q不是中點(diǎn)兩種情況，結(jié)合線面平行的判定和性質(zhì)，推出線段的比例關(guān)系，判斷B；利用割補(bǔ)思想，可得，結(jié)合，，結(jié)合線段間的比例關(guān)系，即可判斷D.【詳解】由題意當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，,不為的中點(diǎn)時(shí)，直線與不平行，A錯(cuò)誤；點(diǎn)C與點(diǎn)D在平面兩側(cè)，且N是的中點(diǎn)，故點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等，C正確；若Q是中點(diǎn)，則平面平面，故平面，平面平面,平面,故,又，故．又N是的中點(diǎn)，故P是的中點(diǎn)，從而；若Q不是中點(diǎn)，則不平行，結(jié)合在同一平面內(nèi)，故相交，設(shè)交點(diǎn)為T，點(diǎn)T在直線上，故點(diǎn)T在平面上，點(diǎn)T在直線上，故點(diǎn)T在平面上，于是T是平面與平面的公共點(diǎn)，進(jìn)而T在平面與平面的交線上，即直線交于點(diǎn)T．在平面內(nèi)，過A作交直線于點(diǎn)G，于是是的中位線，故，進(jìn)而，故．同理，在平面內(nèi)可得，故，綜上，，B正確．設(shè)四棱錐的體積為V，，由點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等得：，①，，結(jié)合，故，②由①②相加得，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于B選項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要討論Q是否是中點(diǎn)兩種情況，結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)定理推出線段的比例關(guān)系，進(jìn)行判斷.16．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┮阎惷嬷本€與所成角為，平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，點(diǎn)為平面、外一定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)且與直線、所成角都是的直線有條B．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條C．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條D．過點(diǎn)與平面成角，且與直線成的直線有條【答案】BC【分析】根據(jù)選項(xiàng)，在利用圖形，可知A有條；根據(jù)，，可知B有條；根據(jù)，可知C有條；做以為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楫惷嬷本€與直線所成角為，在空間中的點(diǎn)作直線、，使得，，設(shè)直線、確定平面，如下圖所示：因?yàn)橹本€、所成角為，則直線、所成角為，在直線、上分別取點(diǎn)、，使得，則在平面內(nèi)的角平分線所在直線與直線、所成角均為，過點(diǎn)在平面外能作兩條直線、使得這兩條直線與直線、所成角均為，綜上所述，過點(diǎn)且與直線、所成角都是的直線有條，A錯(cuò)；對于BC選項(xiàng)，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則過點(diǎn)與平面、所成角都是和的直線各有一條、，若過點(diǎn)與平面、所成角都是，則在、的兩側(cè)各有一條，所以共條，故B正確，若過點(diǎn)且與平面、所成角都是，其中一條直線為直線，在直線的兩側(cè)各有一條，所以共條，C對；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作與平面成角的直線，形成以為頂點(diǎn)，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為,不妨假設(shè)在上，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，直線交圓錐底面圓于、兩點(diǎn)，易知，又因?yàn)椋瑒t為等邊三角形，所以，，因?yàn)?，則直線與平面所成角為，則，故，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故能作出兩條滿足條件的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點(diǎn)，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過線上一點(diǎn)做面的垂線，連接垂足及線與面的交點(diǎn)形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過面面交線上一點(diǎn)在兩個(gè)面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.17．（2023春·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示，是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，其中四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)是弧上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.下列說法正確的有（

）A．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則平面平面B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為D．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐外接球的半徑【答案】AD【分析】利用圖形數(shù)形結(jié)和反例，結(jié)合面面垂直的判定、線線平行的判定、線面角的求解方法、幾何體外接球的關(guān)系以及空間向量的應(yīng)用逐項(xiàng)分析即可.【詳解】連接，如圖所示：若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則，所以，即，因?yàn)?，所以，又，面，所以平面平面，則平面平面，故A正確；假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則四點(diǎn)共面，又該幾何體上下兩個(gè)底面平行，且為平面與這兩個(gè)底面的交線，所以，則四邊形為平行四邊形，則有，這顯然不成立，故B錯(cuò)誤；假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，依題意，整理得，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)，三棱錐，即三棱錐，即三棱錐，可將其補(bǔ)型為一個(gè)以為同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱的正方體，棱長為4，其外接球半徑，故正確.18．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖的六面體中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，則（

）A．CD⊥平面ABC B．AC與BE所成角的大小為 C． D．該六面體外接球的表面積為3π【答案】ACD【分析】利用線面垂直的判定定理、空間向量以及球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)镃A＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即又，所以CD⊥平面ABC，故A正確；因?yàn)镃D⊥平面ABC，如圖，建立空間之間坐標(biāo)系，因?yàn)镃A＝CB＝CD＝1，所以四面體是正三棱錐，因?yàn)锳B＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面體是正四面體，在正三棱錐中過點(diǎn)C作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，同理，在正四面體中，過頂點(diǎn)作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，所以，三點(diǎn)共線；因?yàn)椋驗(yàn)檎切蔚闹行?，所以，設(shè)，因?yàn)樵谡拿骟w中，，在正三棱錐中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC與BE所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；

顯然，該六面體外接球的球心位于線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以六面體外接球的半徑，所以該六面體外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.19．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)召開期間，某學(xué)校組織了“喜慶二十大，永遠(yuǎn)跟黨走，奮進(jìn)新征程，書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，若球的體積為；如圖②，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為C．異面直線與所成的角的余弦值為D．球離球托底面的最小距離為【答案】CD【分析】如圖1，根據(jù)題意和面面垂直的性質(zhì)可得平面，同理平面，由平行四邊形的判定方法可知四邊形、為平行四邊形，結(jié)合線面角的定義與外接圓的定義即可判斷AB；如圖1易知異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圖形2計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：如圖1，取DE、EF、DF的中點(diǎn)N、M、K，取MF的中點(diǎn)H，連接BK、BH、KH、BM、AN、MN、DM，由為正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，平面，由，得平面，同理平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，由，得，所以四邊形為平行四邊形，得，，即為直線AD與平面所成的角，，所以，故A錯(cuò)誤；B：如圖1，連接AB、BC、AC，由選項(xiàng)A的分析知，同理，，所以經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的球的截面圓為的外接圓，其半徑為，面積為，故B錯(cuò)誤；C：連接AM，由，得四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，，在中，，由余弦定理，得，故C正確；D：設(shè)球的半徑為，由球的體積為，得，解得.如圖2，，，所以球離球托底面DEF的最小距離為，故D正確.故選：CD.20．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，平面與平面所成銳二面角，直線與平面所成角為，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．面積的最大值為C．D．三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積【答案】BCD【分析】對于A，取的中點(diǎn)，連接，，先證明，再證明與不垂直，進(jìn)而可得結(jié)論；對于B，依題意先得到，從而可得到面積的最大值；對于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，作平面，且點(diǎn)在平面內(nèi)，連接，，，先說明點(diǎn)在直線上，再證明，，得到，，進(jìn)而可得結(jié)論；對于D，先根據(jù)三棱錐的體積公式得到點(diǎn)與點(diǎn)重合，即平面時(shí)，最大，進(jìn)而可得到三棱錐的外接球的半徑和長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑相等，從而可求得其外接球的半徑，即可求解．【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，連接，，顯然，且，又，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，，且為的中點(diǎn)，則與不垂直，所以與也不垂直，故A錯(cuò)誤；對于B，由，，則，所以當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為，故B正確；對于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，作平面，且點(diǎn)在平面內(nèi)，連接，，，由，則，又，且，則，則在平面上的射影在直線上，即點(diǎn)在直線上，則平面與平面所成的二面角，則，所以，又在平面上的射影為，則，所以，所以，故C正確；對于D，結(jié)合C可知，，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即平面時(shí)，最大，且最大值為，則，又，且，則平面，所以，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的半徑和長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑相等，所以其外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】三棱錐外接球點(diǎn)睛：求三棱錐外接球時(shí)，常見方法有兩種：一種是直接法，一種是補(bǔ)形．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，看能否把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體(長方體)，若能，則正方體(長方體)的頂點(diǎn)均在球面上，正方體(長方體)的體對角線長等于球的直徑；另一種是直接法，三棱錐任意兩個(gè)面過外心的垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心．21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和3，側(cè)棱長為1，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則（

）A．CP長度的最小值為B．存在點(diǎn)P，使得C．存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得D．所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為【答案】ACD【分析】先將正三棱臺(tái)側(cè)棱延長補(bǔ)成正三棱錐，求出點(diǎn)到平面的距離即可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再逐項(xiàng)分析即可.【詳解】依題意，延長正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則有，所以的延長線必過點(diǎn)且，過點(diǎn)作，則四邊形是邊長為1的菱形.如圖所示：在中，，即，解得，所以，所以為邊長為3等邊三角形，所以，所以，因?yàn)槭沁呴L為3的等邊三角形且為中點(diǎn)，所以，，在中，由余弦定理變形得，，在中，由余弦定理變形得，，解得，所以，所以；由，可得平面，又平面，所以，由，，，可得平面，因?yàn)锳P與平面所成角的正切值為，所以，解得，，所以點(diǎn)在平面的軌跡為，對于A：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)有最小值，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為1且的菱形，所以，所以，故A選項(xiàng)正確；對于B：要使得，則點(diǎn)必須落在平面與平面的交線上且，由圖易知，在平面中不存在這樣的點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，連接，由于平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得，故C選項(xiàng)正確；對于D：設(shè)的長度為，則，動(dòng)線段AP形成的曲面展開為兩個(gè)面積相等扇形，設(shè)其中一個(gè)的面積為,則有，因此所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的相關(guān)性質(zhì)與證明，先證明線垂直于平面是幾何法中求線面角的關(guān)鍵，線面垂直的證明，可先轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題，利用等腰三角形性質(zhì)，勾股定理是證明線線垂直常用的方法，要求考生平時(shí)多加練習(xí)總結(jié)，熟練掌握線面平行垂直、面面平行垂直的判定定理及其相關(guān)性質(zhì)定理是高考的基本要求.22．（2023·江蘇南通·二模）如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)，D分別位于BC兩側(cè)，則（

）A．B．平面BDCC．多面體的外接球的表面積為D．點(diǎn)A，P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長相等【答案】BC【分析】由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積.【詳解】正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2，則正三棱錐A-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐D-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點(diǎn)A，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)，D分別位于BC兩側(cè)時(shí)，如圖所示，連接，，如圖所示正方體中且，四邊形為平行四邊形，則有為等邊三角形，則與夾角為，，有與夾角為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，選項(xiàng)B正確；多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)A，P旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，所以運(yùn)動(dòng)的軌跡長不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)圖形研究相關(guān)的性質(zhì)，而正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直，圖形放到正方體中，又使判斷線面位置關(guān)系和運(yùn)算變得更簡便.23．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長度；D選項(xiàng)，作出正四面體對棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們再次完整的抽取部分勒洛四面體，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】勒洛四面體考試中經(jīng)常考查，下面是一些它的性質(zhì)：①勒洛四面體上兩點(diǎn)間的最大距離比四面體的棱長大，是對棱弧中點(diǎn)連線，最大長度為，②表面6個(gè)弧長之和不是6個(gè)圓心角為60°的扇形弧長之和，其圓心角為，半徑為.24．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）正方體的棱長為，中心為，以為球心的球與四面體的四個(gè)面相交所圍成的曲線的總長度為，則球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)可求得球心到正四面體每個(gè)面的距離；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為一個(gè)圓時(shí)，可求得小圓的半徑，由可求得；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為三段等差的圓弧時(shí)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，可確定其唯一零點(diǎn)，由可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：四面體為正四面體，設(shè)球的半徑為；正方體棱長為，正四面體的棱長為，設(shè)球心到正四面體各個(gè)面的距離為，正四面體體積，表面積，；①若正四面體的一個(gè)面截球如圖所示，設(shè)小圓半徑為，則，解得：，，解得：；②若正四面體的一個(gè)面截圖如圖所示，每個(gè)面截球所得的曲線長為，的長為，設(shè)小圓半徑為，為正四面體側(cè)面的中心，為中點(diǎn)，，，又，，，令，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，解得：；綜上所述：球的半徑為或.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的截面截球所得曲線相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，確定正四面體各個(gè)側(cè)面截球所得曲線的不同情況，從而根據(jù)不同情況下曲線長度來求解截面圓的半徑.三、填空題25．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知矩形在平面的同一側(cè)，頂點(diǎn)在平面上，，，且，與平面所成的角的大小分別為30°，45°，則矩形與平面所成角的正切值為______．【答案】【分析】如圖，過，分別做平面的垂線，垂足分別為，，連接，，通過幾何關(guān)系可得到，，，過作滿足，過做垂直于點(diǎn)，連接，則即為所求，通過等面積法計(jì)算出即可求解【詳解】如圖，過，分別做平面的垂線，垂足分別為，，連接，，由，所以，因?yàn)?，與平面所成的角的大小分別為30°,45°,且，，所以，，得，，因?yàn)樗?，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以，過作滿