空間問題的有限單元法

空間問題的有限單元法第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體.第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一7.1三維應(yīng)力狀態(tài)工程結(jié)構(gòu)一般都是立體的彈性體。受力作用后，其內(nèi)部各點將沿x、y、z坐標(biāo)軸方向產(chǎn)生位移，是三維空間問題，其應(yīng)力狀態(tài)如圖7-1所示。圖7-1空間結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)各點沿x、y、z方向的位移以u、v、w表示，這些位移為各點坐標(biāo)的函數(shù)，即：u=u(x、y、z)v=v(x、y、z)w=w(x、y、z)第77章空間問題的有限單元法第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一由彈性力學(xué)知，應(yīng)變與位移間的幾何關(guān)系是

(7-1)三維彈性體的應(yīng)變分量，用矩陣表示為(7-2)第7章空間問題的有限單元法第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一彈性體受力作用，內(nèi)部任意一點的應(yīng)力狀態(tài)也是三維的，用列向量表示為在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變間的物理關(guān)系矩陣表達式為對于各向同性彈性體，在三維應(yīng)力狀態(tài)下，彈性矩陣的形式為(7-3)(7-4)第7章空間問題的有限單元法第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一7.2空間結(jié)構(gòu)的離散化

空間問題所選用的單元形狀如圖7-2所示。

四結(jié)點四面體單元(b)八結(jié)點平行6面體單元(c)八結(jié)點任意6面體單元(d)二十結(jié)點任意6面體單元(e)八結(jié)點板殼單元(f)四面體組合體圖7-2空間結(jié)構(gòu)單元類型第7章空間問題的有限單元法第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一其中，最簡單的空間單元是四面體單元。采用四面體單元和線性位移函數(shù)處理空間問題，可以看作是平面三角形單元的推廣。如圖7-2(f)所示，一個平行6面體可由5個四面體組成，其基本單元仍是四面體。它們分別由如下結(jié)點組成：2→3→4→7，1→2→4→5，2→4→7→5，2→7→6→5，4→7→5→8。7.3簡單四面體單元7.3.1形狀函數(shù)圖7-2(a)表示任一簡單四面體單元，其中四個結(jié)點編號設(shè)為i、j、m、n(或1、2、3、4)。單元變形時，各結(jié)點沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示為第7章空間問題的有限單元法第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一單元變形時，單元內(nèi)各點也有沿x、y、z方向的位移u、v、w，一般應(yīng)為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。對于這種簡單的四面體單元，其內(nèi)部位移可假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù)，為滿足變形協(xié)調(diào)條件，取為(7-5)式(7-5)含有12個待定系數(shù)a，可由單元的12項結(jié)點位移決定.將4個結(jié)點的坐標(biāo)值代入式(7-5)的u式中。

i、j、m、n共4個結(jié)點，分別有(7-7)第7章空間問題的有限單元法第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一由式(7-7)求出、、和，再代回式(7-5)中，整理后得其中式中，V為四面體的體積，且有

(7-7)第7章空間問題的有限單元法第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一為使四面體的體積V不為負值，在右手坐標(biāo)系中，使右手旋轉(zhuǎn)按著由i-j-m的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時，是向法向n方向前進。用求位移u的同樣方法，可求得將位移的3個線性方程形成的線性方程組用矩陣表示為(7-8)式中(7-9)第7章空間問題的有限單元法第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一7.3.2單元剛度矩陣將式(7-8)代入幾何方程式(7-2)，經(jīng)過微分運算，可得單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)?7-10)式中(7-11)簡單四面體單元內(nèi)，各點的應(yīng)變都是一樣的，這是一種常應(yīng)變單元。這一點與平面問題的簡單三角形單元相似，由于單元內(nèi)位移都假定為線性變化的，因而由位移一階導(dǎo)數(shù)組成的應(yīng)變也為常量。第7章空間問題的有限單元法第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一同樣，用虛功原理建立結(jié)點力和結(jié)點位移間的關(guān)系式，從而得出簡單四面體單元的剛度矩陣。(7-12)(7-13)按結(jié)點分塊表示，此單元剛度矩陣可表示為(7-14)其中任一子矩陣為第7章空間問題的有限單元法第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一(r=i、j、m、n，S=i、j、m、n)

(7-15)其中

彈性體三維（空間）問題的原始平衡方程組，即其中7.3.3整體結(jié)構(gòu)載荷列向量整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點載荷列向量(7-17)式中——單元上集中力等效結(jié)點載荷列向量；——單元上表面力等效結(jié)點載荷列向量；——單元上體積力等效結(jié)點載荷列向量；——單元結(jié)點載荷列向量。第7章空間問題的有限單元法第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一常應(yīng)變四面體單元

①位移函數(shù)包含了坐標(biāo)的一次完全多項式，且在單元間公共邊上位移連續(xù)，滿足收斂準則。②常應(yīng)變四面體單元對邊界擬合能力強，但精度較差。第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一體積坐標(biāo)任意一點P(x,y,z)

P點的體積坐標(biāo)

一、體積坐標(biāo)定義xyzijkmP—四面體ijkm的體積

—四面體kmiP的體積—四面體Pmij的體積—四面體ijkP的體積—四面體Pjkm的體積第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一一、體積坐標(biāo)定義體積坐標(biāo)的特點：①一點的四個體積坐標(biāo)是線性相關(guān)的②③在四個結(jié)點上當(dāng)Li為常數(shù)時，表示內(nèi)平行于jkm面的面。

體積坐標(biāo)xyzijkmP第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一二、體積坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系

體積坐標(biāo)xyzijkmP第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一三、體積積分公式體積坐標(biāo)xyzijkmP第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點二次四面體單元第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點二次四面體單元形函數(shù)的構(gòu)造P為插值函數(shù)次數(shù)第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一高次四面體單元

324156789101、10結(jié)點二次四面體單元角結(jié)點

棱邊結(jié)點

第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一高次四面體單元

2、20結(jié)點四面體單元6201914181713324157119101215168角結(jié)點棱邊二分點面內(nèi)結(jié)點應(yīng)變和應(yīng)力是坐標(biāo)的二次函數(shù)第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一五面體單元

645123ζ

6結(jié)點五面體單元形函數(shù)1、6結(jié)點線性三棱柱單元為三角形面積坐標(biāo)

第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一五面體單元

2、15結(jié)點二次三棱柱單元645123ζ15結(jié)點五面體單元879101112131415形函數(shù)角結(jié)點

矩形邊中點

三角形邊中點

第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一六面長方體單元

634158ξηζ271、8結(jié)點六面長方體單元形函數(shù)位移函數(shù)第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一六面長方體單元

2、20結(jié)點六面長方體單元634158ξηζ2720191418171391012151611角結(jié)點邊中點六面長方體單元，由于形狀規(guī)則，難以適應(yīng)工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜外形第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一六面體等參元

12345678一個八結(jié)點實際單元xyzξηζ2自然坐標(biāo)系中的母單元634158ξηζ7第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一所謂等參單元：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進行有限元離散。第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一7.420結(jié)點等參元7.4.1形狀函數(shù)為適應(yīng)三維結(jié)構(gòu)的曲面邊界，可以采用曲面7面體單元。正方體基本單元內(nèi)任一點與實際曲面單元內(nèi)的點一一對應(yīng)，結(jié)點也一一對應(yīng)。這里，實際單元邊界線中間的結(jié)點9、10、……、20，都“映射”成為正方體的棱邊中點。第7章空間問題的有限單元法第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一(a)直角坐標(biāo)系與實際單元(b)自然坐標(biāo)系與基本單元圖7-320結(jié)點三維等參單元位移函數(shù)和幾何坐標(biāo)的變換式應(yīng)取為相同的參數(shù)，其坐標(biāo)變換關(guān)系可表示為(7-17)則單元的位移函數(shù)可寫成第7章空間問題的有限單元法第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一(7-18)在自然坐標(biāo)系中，各結(jié)點的形狀函數(shù)可寫成如下形式對于8個頂角結(jié)點（i＝1，2，……，8）式中xi、yi、zi——結(jié)點i的坐標(biāo)；

ui、vi、wi——結(jié)點i沿x、y、z方向的位移；

Ni——對應(yīng)于i結(jié)點的形狀函數(shù)。對于的邊上點（i＝9，11，13，15）對于的邊上點（i＝10，12，14，17）第7章空間問題的有限單元法第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一對于的邊上點（i＝17，18，19，20）(7-19)7.4.2單元剛度矩陣三維變形狀態(tài)下，一點的應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為(7-20)第7章空間問題的有限單元法第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一式中為單元結(jié)點位移列向量，而單元應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣[B]可按結(jié)點分塊表示為其中每個子矩陣又可分為上下兩塊，有（i＝1，2，…20）(7-21)單元的剛度矩陣為第7章空間問題的有限單元法第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一(7-22)為便于以下計算，彈性矩陣[D]可分塊寫為(7-23)令,則，為60×60的方陣，可按結(jié)點寫為子塊形式第7章空間問題的有限單元法第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一式中第i行j列的子矩陣為(7-24)將(7-20)、(7-22)分塊式代入(7-23)，其被積函數(shù)可寫為(7-25)式中按坐標(biāo)變換式(7-17)，應(yīng)有第7章空間問題的有限單元法第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一同樣可有(7-27)三維7面體的雅可比矩陣為(7-27)同理可采用三維高斯求積公式計算單元剛度矩陣。即第7章空間問題的有限單元法第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一式中，L，M，N為沿、、方向的積分點數(shù)目，而積分點坐標(biāo)及權(quán)重可由高斯積分表查得。7.5ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計算示例7.5.1問題描述如圖7-4所示，一個圓柱實體。柱高0.2m，圓柱橫截面直徑為0.1m。約束方式：底面全約束。承受載荷：第7章空間問題的有限單元法第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一

A點承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；B點承受X方向集中載荷Fx=5000N；C點承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；D點承受X方向集中載荷Fx=-5000N。彈性模量為EX=210GP，泊松比μ=0.3。圖7-4圓柱實體示意圖7.5.2ANSYS求解操作過程打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作:第7章空間問題的有限單元法第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（1）選擇單元類型運行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框，如圖7-5所示。然后單擊Add，彈出LibraryofElementTypes窗口，如圖7-7所示，選擇SOLID45單元，單擊OK。圖7-5單元類型對話框圖7-7單元類型庫對話框第7章空間問題的有限單元法第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（2）設(shè)置材料屬性運行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，彈出如圖7-7所示對話框。雙擊Isotropic，彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框，如圖7-8所示，在EX選項欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖7-7選擇材料屬性對話框圖7-8設(shè)置材料屬性對話框第7章空間問題的有限單元法第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（3）建立模型運行Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By2Corners，彈出如圖7-9所示對話框，在WPX選項欄中填寫0，在WPY選項欄中填寫0，在Width選項欄中填寫0.05，在Height選項欄中填寫0.2，點擊OK。生成如圖7-10所示圖形。圖7-9兩點建立矩形對話框圖7-10生成的長方形面第7章空間問題的有限單元法第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一將長方形旋轉(zhuǎn)成柱體，運行Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Areas>AboutAxis，彈出如圖7-11所示拾取框。選擇圖7中長方形后彈出單擊OK，再選擇長方形左上角和左下角結(jié)點后，單擊OK.。彈出如圖7-12所示對話框。在ARC選項欄中填入旋轉(zhuǎn)角度360度，設(shè)置完畢單擊OK按鈕，生成如圖7-13所示圓柱體。圖7-11拾取對稱軸對話框圖7-12設(shè)置繞軸旋轉(zhuǎn)參數(shù)對話框圖7-13圓柱模型第7章空間問題的有限單元法第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一運行Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Global>Size彈出如圖7-14所示對話框，設(shè)置SIZE選項欄中的數(shù)據(jù)為0.01。運行Meshing>Mesh>Volumes>Free自由劃分網(wǎng)格后得到如圖7-15所示圖形。圖7-14設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框圖7-15圓柱有限元模型（5）施加約束運行Solution>DefineLoads>Apply>Displacement>OnAreas，拾取圓柱的底面，施加全約束。第7章空間問題的有限單元法第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（7）施加載荷顯示圖形的關(guān)鍵點，運行PlotCtrls>Numbering彈出如圖7-17所示對話框，激活KPNumbers后面的選框，使它變成on形式。選擇菜單Solution>DefineLoads>Apply>Structure>

Force/MomentOnKeypoints，載荷分別如下：8點承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；10點承受X方向集中載荷Fx=5000N；3點承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；7點承受X方向集中載荷Fx=-5000N。施加載荷，圖形如圖7-17所示。圖7-17編號顯示設(shè)置對話框第7章空間問題的有限單元法第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一圖7-17圓柱實體示意圖（7）求解選擇Solution>Solve>CurrentLS，開始計算，計算結(jié)束會彈出計算完畢對話框，單擊Close。關(guān)閉對話框計算完畢。（8）后處理運行GeneralPostproc>PlotResults>ContourPlot>NodalSolu。彈出如圖7-18所示對話框，運行DOFSolution>Displacementvectorsum和Stress>vonMisesstress，分別顯示圓柱體的位移和應(yīng)力云圖。第7章空間問題的有限單元法第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一圖7-18云圖顯示對話框結(jié)果顯示如圖7-19和圖7-20所示。第7章空間問題的有限單元法第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一圖7-19位移云圖圖7-20應(yīng)力云圖7.5.3結(jié)論

從圖7-19圓柱的位移云圖可知，最大位移發(fā)生在B點處，最大位移為m。從圖7-20圓柱的應(yīng)力云圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生在A點處，最大應(yīng)力為71.7MPa。第7章空間問題的有限單元法第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一圓筒直徑0.4m，高度0.6m，壁厚0.005m；材料Q235，彈性模量E=2.1e11Pa，泊松比μ=0.3；約束：圓筒的下部在軸線方向固定，其它方向自由；載荷：頂部環(huán)線上承受軸向線壓力P＝-200000N/m。

圖7-4圓筒示意圖圖7-5單元類型對話框7.3.1問題描述

7.3ANSYS軸對稱旋轉(zhuǎn)單元計算示例

第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（1）選擇單元類型運行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框單擊Add，彈出LibraryofElementTypes對話框，如圖7-6所示，選擇SHELL51單元。7.3.2ANSYS求解操作過程

圖7-6單元類型庫對話框圖7-7選擇材料屬性對話框第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（2）設(shè)置材料屬性運行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，彈出DefineMaterialModelBehavior對話框，如圖7-7所示。雙擊Isotropic選項，彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框，如圖7-8所示。圖7-8設(shè)置材料屬性對話框第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（3）定義單元實常數(shù)選擇MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，彈出如圖7-9所示對話框，單擊Add按鈕彈出ElementTypeforRealConstants對話框，如圖7-10所示，選擇Type1SHELL51，單擊OK，彈出RealConstantSetNumber1,forSHELL51對話框，如圖7-11所示，在TK(I)項輸入0.005，單擊OK。圖7-9實常數(shù)對話框圖7-10選擇要設(shè)置實常數(shù)的單元類型第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一圖7-11設(shè)置SHELL51實常數(shù)對話框（4）建立模型首先生成關(guān)鍵點，運行主菜單Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS，彈出如圖7-12所示對話框。創(chuàng)建關(guān)鍵點1（0.2,0,0），2（0.2,0.6,0）。生成圓筒母線：運行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>StraightLine，彈出拾取關(guān)鍵點對話框，拾取關(guān)鍵點1、2，單擊OK。

第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一

圖7-12創(chuàng)建關(guān)鍵點對話框（5）設(shè)置單元屬性運行MainMenu>Preprocessor>Meshing>MeshTool，彈出MeshTool對話框，在ElementAttributes下拉列表中選擇Lines，然后單擊其后的Set按鈕彈出拾取線對話框，單擊PickAll，彈出分配線單元屬性對話框，將MAT,TEAL,TYPE依次設(shè)置為1，1，1，單擊OK。（6）劃分網(wǎng)格

第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一單擊MeshTool中Lines后的Set按鈕，彈出拾取線對話框，單擊PickAll彈出控制線單元尺寸對話框，將NDIV設(shè)置為10，單擊OK。在MeshTool對話框中的Mesh下拉列表中選擇Lines單擊Mesh，彈出拾取線對話框，單擊PickAll，劃分網(wǎng)格完畢。運行PlotCtrls>Style>SizeandShape，彈出如圖7-13所示對話框。在Displayofelement選項后面選擇on，單擊OK按鈕。顯示如圖7-14所示圖形。圖7-13尺寸和形狀顯示設(shè)置對話框圖7-14有限元模型第54頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（7）施加約束運行MainMenu>Preprocessor>Loads>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnKeypoints，彈出拾取關(guān)鍵點對話框，拾取關(guān)鍵點1，約束其Y方向上的自由度。（8）施加載荷運行MainMenu>Preprocessor>Loads>DefineLoads>Apply>Structural>Force/Moment>OnKeypoints在關(guān)鍵點2上施加豎直向下的集中載荷F＝-200000N，如圖7-15所示。圖7-15施加載荷后模型（9）求解運行MainMenu>Solution>Solve>CurrentLS,開始計算，計算結(jié)束會彈出計算完畢對話框，單擊Close，關(guān)閉對話框，計算完畢。第55頁，共60頁，2023年，2月20日，星期一（1