矩陣的初等行變化

矩陣的初等行變化第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一我們知道，對于方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不為零這一類特殊的線性方程組，可以用克萊姆法則求解。除此之外，在實際應(yīng)用中大量存在的一般形式的線性方程組，不能用克萊姆法則求解，求解方法與理論必須進(jìn)一步加以研究.第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一一、引例：分析用消元法解下列方程組的過程．解第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一用“回代”的方法求出解：第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，（1）交換方程次序（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．用到如下三種變換:第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一二、矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:（1）對調(diào)i，j兩行：（2）i行乘以非零數(shù)k：（3）將j行的k倍加到i行：第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一B與B1所對應(yīng)的線性方程組同解第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一于是經(jīng)有限次初等行變換得：B與B5所對應(yīng)的線性方程組同解第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一對應(yīng)的線性方程組為第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一于是第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一行階梯形和行最簡形特點：（1）可劃出一條階梯線，線的左方和下方（有數(shù)的話）全為零；（2）每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)；（3）階梯線的豎線后第一個元素非零，稱為非零首元．稱矩陣B4

B5為行階梯形矩陣第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一特點：除了行階梯形的三個特點外，還有（4）每個臺階的非零首元為1；（5）每個臺階的非零首元1所在的列其他元素都為0.行階梯形矩陣B5還稱為行最簡形矩陣第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)：解線性方程組的消元法可以用矩陣的初等行變換來實現(xiàn)；行最簡形對應(yīng)的方程組的解就是所求方程組的解.利用矩陣的初等行變換，將增廣矩陣化為行最簡形;第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一三、利用初等行變換解方程組舉例行最簡形對應(yīng)的方程組的解就是所求方程組的解.利用矩陣的初等行變換，將增廣矩陣化為行最簡形;方法：第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一三、利用初等行變換解方程組舉例解：增廣矩陣為利用初等行變換化增廣矩陣為行最簡形：第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一行最簡行第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一即得與原方程組同解的方程組：第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解得：第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解：增廣矩陣為利用初等行變換化增廣矩陣為行最簡形：第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第三行對應(yīng)矛盾方程0=1，所以方程組無解.第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解：增廣矩陣為第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一即得與原方程組同解的方程組為：在初等行變換過程中這列0沒有變化，因此可以只對系數(shù)矩陣做初等行變換第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解得：第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一四、線性方程組的解法總結(jié)（1）應(yīng)用克萊姆法則（2）利用矩陣的初等行變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題．特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法．第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一（1）非齊次線性方程組：將增廣矩陣化為行最簡形（2）齊次線性方程組：將系數(shù)矩陣化為行最簡形利用矩陣的初等行變換解線性方程組第38頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一思考題本節(jié)課的引例及3個例題的解的存在情況（唯一解、無窮多解、無解）與增廣矩陣的行階梯形矩陣