上海交通大學出版社 大學物理教程 6靜電場習題思考題答案

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習題6

6-1．直角三角形ABC的A點上，有電荷q1?1.8?10?9C，B點上有電荷

q2??4.8?10?9C，試求C點的電場強度(設BC?0.04m，AC?0.03m)。

?解：q1在C點產(chǎn)生的場強：E1??q2在C點產(chǎn)生的場強：E2?q124??0rAC?i，

?q2j，24??0rBC??i?????∴C點的電場強度：E?E1?E2?2.7?104i?1.8?104j；

2C點的合場強：E?E12?E2?3.24?104V?jm，

方向如圖：??arctan

1.8?33.7??33?42'。2.7?96-2．用細的塑料棒彎成半徑為50cm的圓環(huán)，兩端間空隙為2cm，電量為3.12?10C的正電荷均勻分布在棒上，求圓心處電場強度的大小和方向。解：∵棒長為l?2?r?d?3.12m，

∴電荷線密度：??OR??2cmxql?1.0?10?9C?m?1

可利用補償法，若有一均勻帶電閉合線圈，則圓心處的合場強為0，有一段空隙，則圓心處場強等于閉合線圈產(chǎn)生電場再減去d?0.02m長的帶電棒在該點產(chǎn)生的場強，即所求問題轉(zhuǎn)化為求缺口處帶負電荷的塑料棒在O點產(chǎn)生的場強。解法1：利用微元積分：

dEOx??14??0??Rd?R2cos?，

∴EO????cos?d?????d?1；?2sin???2???0.72V?m24??0R4??0R4??0R解法2：直接利用點電荷場強公式：

?11由于d??r，該小段可看成點電荷：q???d?2.0?10C，

2.0?10?11則圓心處場強：EO??9.0?10??0.72V?m?1。224??0R(0.5)q?9方向由圓心指向縫隙處。

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6-3．將一“無限長〞帶電細線彎成圖示形狀，設電荷均勻分布，電荷線密度為?，四分之一圓弧AB的半徑為R，試求圓心O點的場強。解：以O為坐標原點建立xOy坐標，如下圖。①對于半無限長導線A?在O點的場強：

???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0有：?

?E??(sin??sin?)Ay?4??0R2?②對于半無限長導線B?在O點的場強：

x?Ey???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0有：?

?E??(cos??cos?)By?4??0R2?③對于AB圓弧在O點的場強：有：

?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??0R4??0R2????E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?∴總場強：EOx???????，EOy?，得：EO?(i?j)。

4??0R4??0R4??0R22EOx?EOy?或?qū)懗蓤鰪姡篍?

2??，方向45。

4??0R6-4．一個半徑為R的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為?，求環(huán)心處O點的場強E。

解：電荷元dq產(chǎn)生的場為：dE?dq；24??0R?Ydq?d?Ro?dEX根據(jù)對稱性有：dEy?0，則：

?E??dEx??dEsin????0?Rsin?d???，24??0R2??0R?方向沿x軸正向。即：E???i。

2??0R55

6-5．一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為?，求球心O處的電場強度。解：如圖，把球面分割成大量球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為dl?Rd?，所帶電荷：dq?2?r?dl。利用例11-3結(jié)論，有：dE?xdq4??0(x2?r)322???2?rxdl4??0(x2?r)322

∴dE???2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]2232，

r?Ox?化簡計算得：E?2?0

??20???1?i。sin2?d??，∴E?4?024?06-6．圖示一厚度為d的“無限大〞均勻帶電平板，電荷體密度為?。求板內(nèi)、外的場強分布，并畫出場強隨坐標x變化的圖線，即E?x圖線(設

原點在帶電平板的中央平面上，Ox軸垂直于平板)。

解：在平板內(nèi)作一個被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面S1為高斯面，

??d當x?時，由?E?dS?2E??S和?q?2x??S，?S21有：E??x；?0??E?dS?2E??S和?q?2d??S，

?d2?d2?0?E當x?d時，由??S22O?d2x有：E??d。圖像見右。2?0?d2?06-7．在點電荷q的電場中，取一半徑為R的圓形平面(如下圖)，平面到q的距離為d，試計算通過該平面的E的通量.

解：通過圓平面的電通量與通過與A為圓心、AB為半徑、圓的平面為周界的球冠面的電通量一致。

r56

∵球面面積為：S球面?4?r2，通過閉合球面的電通量為：?閉合球面?q?0，

由：

?球冠?球面?S球面S球冠，∴?球冠?1dd(1?)??(1?)。

222r?02?0R?d6-8．半徑為R1和R2（R1?R2）的兩無限長同軸圓柱面，單位長度分別帶有電量?和??，試求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2處各點的場強。解：利用高斯定律：

???S??1E?dS??qi。

?0S內(nèi)（1）r?R1時，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以：E1?0；

?l?，則：E2?；?02??0r（3）r?R2時，利用高斯定律及對稱性，有：2?rlE3?0，則：E3?0；

??E?0r?R1?????R1?r?R2。即：E??E?r??2??0r?E?0r?R2?（2）R1?r?R2時，利用高斯定律及對稱性，有：2?rlE2?

6-9．電荷量Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心r處（r?R）P點的電勢。解：利用高斯定律：

???2S??1E?dS??q可求電場的分布。

?0S內(nèi)?QrQr3（1）r?R時，4?rE內(nèi)?；?3；有：E內(nèi)?34??0R?0R2（2）r?R時，4?rE外?；有：E外?；2?04??0r離球心r處（r?R）的電勢：Ur?orPRP?RrE內(nèi)?dr??E外?dr，即：

R?Ur??Rr?QrQ3r2。?dr???dr??323R4??0R4??0r8??0R8??0R

6-10．圖示為一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為?，球殼內(nèi)表面半徑為R1，外表面半徑為R2．設無窮遠處為電勢零點，求空腔內(nèi)任一點的電勢。解：當r?R1時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：E1?0，當R1?r?R2時，有：E2???(r3?R13)4??0r243?(r3?R13)?，23?0r57

當r?R2時，有：E3?3??(R2?R13)434??0r23?(R2?R13)?，23?0r以無窮遠處為電勢零點，有：

3333?R2?(r?R)??(R?R)?????22121?(R?R)。dr?drU??E2?dr??E3?dr??2122?RR1R2R122?3?0r3?0r0R2

6-11．電荷以一致的面密度??分布在半徑為r1?10cm和r2?20cm的兩個同心球面上，設無限遠處電勢為零，球心處的電勢為U0?300V。

（1）求電荷面密度?；

（2）若要使球心處的電勢也為零，外球面上電荷面密度??為多少？

（?0?8.85?10?12C2?N?1m?2）

解：（1）當r?r1時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：E1?0，

r1?r12O當r1?r?r2時，利用高斯定理可求得：E2?，2?0rr2?(r12?r22)當r?r2時，可求得：E3?，

?0r2222r?r1??(r1?r2)r2??????dr?dr∴U0??E2?dr??E3?dr???(r1?r2)2?r?r2rr1r2?0r?002128.85?10?12?300那么：????8.85?10?9Cm2?3r1?r230?10（2）設外球面上放電后電荷密度?'，則有：

?r1???U0'?(?r1??'r2)/?0?0，∴?'??r22?0U0則應放掉電荷為：

6-12．如下圖，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷q，沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電荷線密度為?，長度為l，細線左端離球心距離為r0。設球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細線所受球面電荷的電場力和細線在該電場中的電勢能（設無窮遠處的電勢為零）。解：（1）以O點為坐標原點，有一均勻帶電細線的方向為x軸，均勻帶電球面在球面外的場強分布為：E?322?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C。?q?4?r2(???')???4?r22q24??0r??取