本構(gòu)關(guān)系的教案

本構(gòu)關(guān)系的教案第1頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第2頁(yè)/共103頁(yè)本章重點(diǎn)Chapter51.廣義胡克定律2.應(yīng)變能，應(yīng)變余能3.各向異性材料的彈性常數(shù)第3頁(yè)/共103頁(yè)5.1引言Chapter5.1

應(yīng)力張量s

應(yīng)力平衡方程：位移矢量u

應(yīng)變張量e

幾何方程：

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

第4頁(yè)/共103頁(yè)本構(gòu)關(guān)系材料的變形與所受應(yīng)力之間的關(guān)系；是材料本身所固有的性質(zhì)；本構(gòu)關(guān)系的研究是固體力學(xué)最重要的課題之一。Chapter5.15.1引言第5頁(yè)/共103頁(yè)5.2彈性的定義Differencebetweensolidsandfluids.MechanicsofSolids,TheNewEncyclopediaofBritannica,15thedition,Vol.23,pp.734-747,2002.“Amaterialiscalledsolidratherthanfluidifitcanalsosupportasubstantialshearingforceoverthetimescaleofsomenaturalprocessortechnologicalapplicationofinterest.”

J.R.Rice3Chapter2.1Chapter5.1第6頁(yè)/共103頁(yè)金屬材料變形5.1引言Chapter5.1第7頁(yè)/共103頁(yè)單軸拉伸沖壓軋制5.1引言Chapter5.1金屬材料變形第8頁(yè)/共103頁(yè)5.1引言記憶合金材料Chapter5.1第9頁(yè)/共103頁(yè)高分子材料5.1引言Chapter5.1第10頁(yè)/共103頁(yè)5.1引言巖土、混凝土、磚Chapter5.1第11頁(yè)/共103頁(yè)5.1引言生物材料Chapter5.1第12頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第13頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.25.2彈性的定義

實(shí)驗(yàn)中加載到A點(diǎn)后卸載，如果加載與卸載路徑并不完全重合，亦即應(yīng)力與應(yīng)變之間不是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系。OBACO稱(chēng)為滯后回線。其所包含的面積稱(chēng)為滯后面積。第14頁(yè)/共103頁(yè)Chapter1彈性變形：卸載時(shí)，沿加載路徑返回，沒(méi)有殘余變形非彈性變形：卸載時(shí)，力-位移曲線與加載時(shí)不重合。彈性變形&非彈性變形5.2彈性的定義第15頁(yè)/共103頁(yè)Chapter1彈性性質(zhì)：卸載時(shí)，沿加載路徑返回，沒(méi)有殘余變形；在經(jīng)歷一個(gè)加載循環(huán)后，物體吸收和釋放的能量互相抵消；在加載過(guò)程中的任意狀態(tài)，外力與位移之間（或每一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變之間）存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；存在應(yīng)變能W或者應(yīng)變余能Wc，使得：5.2彈性的定義第16頁(yè)/共103頁(yè)5.2彈性的定義Chapter5.2

對(duì)大多數(shù)材料來(lái)講，當(dāng)應(yīng)力加載幅值較小時(shí)，滯后回線非常窄小，可以認(rèn)為加載與卸載是重合的。因此應(yīng)力與應(yīng)變間可看作是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。第17頁(yè)/共103頁(yè)5.2彈性的定義彈性本構(gòu)關(guān)系：

其中F為變形梯度張量。4Chapter2.1Chapter5.2第18頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.25.2彈性的定義彈性本構(gòu)關(guān)系：應(yīng)力與應(yīng)變率無(wú)關(guān)，也不依賴(lài)于變形歷史；沒(méi)有遲滯效應(yīng)。 小變形彈性本構(gòu)關(guān)系

均勻材料的小變形彈性本構(gòu)關(guān)系

均勻材料的小變形線彈性本構(gòu)關(guān)系6第19頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.25.2彈性的定義兩個(gè)假設(shè)彈性體的響應(yīng)僅依賴(lài)于當(dāng)前的狀態(tài)；彈性體當(dāng)前狀態(tài)可以用一個(gè)張量來(lái)表示。7Chapter21

超彈性（Green）第20頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.25.2彈性的定義7Chapter21

超彈性（Green）第21頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.2線彈性:

廣義胡克定律:8

超彈性（Green）5.2彈性的定義第22頁(yè)/共103頁(yè),155.2彈性的定義

晶體Chapter5.2第23頁(yè)/共103頁(yè),165.2彈性的定義三斜單斜正交三角四方六方正方

晶體Chapter5.2立方

四方

正交

單斜三斜

三角

六方第24頁(yè)/共103頁(yè)5.2彈性的定義17

長(zhǎng)鏈高分子Chapter5.2第25頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第26頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.3廣義胡克定律I.各向同性材料第27頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.2

各向同性彈性體假設(shè)物體是均勻、連續(xù)、各向同性的，應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系只決定于物體的物理性質(zhì)，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系與坐標(biāo)的位置和方向無(wú)關(guān)。下面所研究的物體僅限于完全彈性體，即當(dāng)物體除去外力后變形完全消失而恢復(fù)原狀，而且應(yīng)力與應(yīng)變間成單值的線性關(guān)系。5.2彈性的定義第28頁(yè)/共103頁(yè)5.3廣義胡克定律Chapter5.3

單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律是

式中E稱(chēng)為彈性模量，對(duì)于一種材料在一定溫度下它是個(gè)常數(shù)。

楊氏模量第29頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

在單向拉伸時(shí)，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對(duì)縮短和縱向相對(duì)伸長(zhǎng)成正比，因縮短與伸長(zhǎng)的符號(hào)相反，有：5.3廣義胡克定律

其中是彈性常數(shù)，稱(chēng)為泊松比。

泊松比第30頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律

彈性模量&泊松比第31頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律

先考慮在各正應(yīng)力作用下沿x軸的相對(duì)伸長(zhǎng)，它由三部分組成，即

線彈性疊加原理第32頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律其中是由于x的作用所產(chǎn)生的相對(duì)伸長(zhǎng)

是由于y的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短

是由于z的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短第33頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

將上述三個(gè)應(yīng)變相加，即得在x、y、z同時(shí)作用下在x軸方向的應(yīng)變

同理可得到在y軸和z軸方向的應(yīng)變5.3廣義胡克定律第34頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，xy只引起xy坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起xz、yz，于是可得5.3廣義胡克定律或第35頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3于是，得到各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：5.3廣義胡克定律第36頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3此式可以改寫(xiě)為：5.3廣義胡克定律第37頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系為

將彈性本構(gòu)關(guān)系寫(xiě)成指標(biāo)形式為5.3廣義胡克定律第38頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律第39頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3如用應(yīng)變第一不變量代替三個(gè)正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量表示三個(gè)正應(yīng)力之和，則5.3廣義胡克定律其中稱(chēng)為體積模量。第40頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3∵∴令則5.3廣義胡克定律第41頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3彈性關(guān)系的常規(guī)形式為

其中G和稱(chēng)為拉梅常數(shù)（Laméconstants）。5.3廣義胡克定律第42頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得

由于偏量和球量相互獨(dú)立，所以有5.3廣義胡克定律第43頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

第一式：彈性體的體積應(yīng)變與平均應(yīng)力0之間的關(guān)系，相應(yīng)的彈性常數(shù)K稱(chēng)為體積模量。(體積變化)5.3廣義胡克定律

第二式：彈性體的形狀畸變與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化)第44頁(yè)/共103頁(yè)常用的三套彈性常數(shù)5.3廣義胡克定律E、ν單拉測(cè)定Lamé常數(shù)：G、λK、G靜水壓、純剪（扭轉(zhuǎn)）測(cè)定Chapter5.3第45頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律各向同性材料的線彈性、小應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系：第46頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

對(duì)于給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)定E和；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來(lái)測(cè)定G；用靜水壓試驗(yàn)來(lái)測(cè)定K。實(shí)驗(yàn)表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的，所以5.3廣義胡克定律第47頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3故要上式成立必要求：5.3廣義胡克定律∵即第48頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

若設(shè)＝0.5，則體積模量K＝，稱(chēng)為不可壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為對(duì)實(shí)際工程材料的測(cè)定值都在的范圍內(nèi)。5.3廣義胡克定律第49頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律材料楊氏模量(Gpa)橡膠（微小應(yīng)變）0.01~0.1低密度聚乙烯0.2聚苯乙烯3~3.5尼龍2~4橡木（顆粒表面）11高強(qiáng)度混凝土30金屬鎂45鋁69黃銅和青銅103~124碳纖維強(qiáng)化塑料150鋼190~210鎢

(W)400~410碳化硅（SiC）450鉆石1,050~1,200第50頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.3廣義胡克定律II.各向異性材料第51頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

各向異性彈性體

對(duì)于各向同性材料，逆彈性本構(gòu)關(guān)系表明，正應(yīng)力只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。對(duì)于各向異性材料的一般情況，任何一個(gè)應(yīng)力分量都可能引起任何一個(gè)應(yīng)變分量的變化。廣義胡克定律的一般形式是：實(shí)體形式5.3廣義胡克定律第52頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3

由于應(yīng)力應(yīng)變都是二階張量，且上式對(duì)任意的kl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個(gè)四階張量，稱(chēng)彈性張量，共有81個(gè)分量。

彈性張量的Voigt對(duì)稱(chēng)性5.3廣義胡克定律WoldemarVoigt(1850-1919)第53頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律下節(jié)中將證明第54頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律獨(dú)立的彈性常數(shù)由81個(gè)降為36個(gè)第55頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.1

式中即c的下角標(biāo)1、2、3、4、5、6分別對(duì)應(yīng)于C的雙指標(biāo)11、22、33、12、23、31。應(yīng)該指出，改寫(xiě)后的cmn(m,n＝1~6)并不是張量。由于存在Voigt對(duì)稱(chēng)性，所以對(duì)于最一般的各向異性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)。5.3廣義胡克定律m11223312,2123,3213,31第56頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3(1)一般各向異性線彈性：無(wú)彈性對(duì)稱(chēng)面21

abc

例：三斜晶體5.3廣義胡克定律第57頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3彈性對(duì)稱(chēng)面5.3廣義胡克定律如果材料存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)面，則：關(guān)于該平面對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力分量只產(chǎn)生關(guān)于該平面對(duì)稱(chēng)的應(yīng)變分量；關(guān)于該平面反對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力分量只產(chǎn)生關(guān)于該平面反對(duì)稱(chēng)的應(yīng)變分量第58頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3沿i和j方向性質(zhì)相同5.3廣義胡克定律則：彈性張量中對(duì)應(yīng)的分量相等第59頁(yè)/共103頁(yè)5.3廣義胡克定律Chapter5.3(2)具有一個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面的各向異性線彈性體：13

bae2ce1e3e‘3例：?jiǎn)涡本w(正長(zhǎng)石和云母等)e1,e2平面為彈性對(duì)稱(chēng)面第60頁(yè)/共103頁(yè)5.3廣義胡克定律Chapter5.3(3)正交各向異性線彈性體：9

例：正交晶體(各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料、木材等)互相正交的e1-e2，e2-e3,

e1-e3平面為彈性對(duì)稱(chēng)面ce1e3e2e’1ab第61頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.3(4)橫觀各向同性線彈性體： 55.3廣義胡克定律例：六方晶體aaac第62頁(yè)/共103頁(yè)aaa將坐標(biāo)系沿

旋轉(zhuǎn)5.3廣義胡克定律Chapter5.3第63頁(yè)/共103頁(yè)5.3廣義胡克定律Chapter5.3第64頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.35.3廣義胡克定律(5)各向同性線彈性體： 2金屬（隨機(jī)排列晶體）、短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料第65頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.32個(gè)金屬拉壓：2個(gè)

剪切：1個(gè)各向同性地殼、六方晶體拉壓：4個(gè)

剪切：2個(gè)5個(gè)橫觀各向同性正交晶體拉壓與剪切不耦合剪切為對(duì)角陣9個(gè)正交各向異性單斜晶體13個(gè)有一個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面三斜晶體6×6對(duì)稱(chēng)21個(gè)一般情況例獨(dú)立的彈性常數(shù)小結(jié)5.3廣義胡克定律第66頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第67頁(yè)/共103頁(yè)5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter5.4

應(yīng)變能如果載荷施加得足夠慢，物體的動(dòng)能以及因彈性變形引起的熱效應(yīng)可以忽略不計(jì)，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變形位能而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。彈性變形是一個(gè)沒(méi)有能量耗散的可逆過(guò)程，卸載后物體恢復(fù)到未變形前的初始狀態(tài)，變形位能將全部釋放出來(lái)。第68頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第69頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第70頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

正應(yīng)力11僅在正應(yīng)變11上做功，其值為：其他應(yīng)力分量ij也都只與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量ij上做功。把這些功疊加起來(lái)，并除以微元體積dV，得5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第71頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

引進(jìn)應(yīng)變能密度函數(shù)W(ij)，使即則

其中，W(0)和W(ij)分別為物體變形前和變形后的應(yīng)變能密度。一般取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，令W(0)＝0。格林(Green,G.)公式5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第72頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功。應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而變形歷史無(wú)關(guān)，即是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。應(yīng)變能是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式，當(dāng)W(ij)的具體形式給定后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也惟一確定。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第73頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4∵又∴廣義格林公式

5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第74頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

彈性應(yīng)變能密度——關(guān)于應(yīng)變的單調(diào)增函數(shù)5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第75頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

線彈性情況在無(wú)應(yīng)變自然狀態(tài)(ij=0)附近把應(yīng)變能函數(shù)W(ij)對(duì)應(yīng)變分量展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：其中5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第76頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第77頁(yè)/共103頁(yè)

W是應(yīng)變分量ij的二次齊次式，有：

由此證明彈性張量C對(duì)雙指標(biāo)ij和kl具有對(duì)稱(chēng)性。Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第78頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

對(duì)于各向同性材料，有

對(duì)于非線性彈性材料，還應(yīng)考慮應(yīng)變能冪級(jí)數(shù)表達(dá)式中的高階項(xiàng)。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第79頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

應(yīng)變余能

仿照應(yīng)變能的定義式，可以定義應(yīng)變余能Wc

它是應(yīng)變分量ij的函數(shù)，具有如下類(lèi)似性質(zhì)：5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第80頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4對(duì)上式分部積分得：5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第81頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

面積。全功中只有一部分(圖中的曲邊三角形OAP)轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能W，剩余部分(曲邊三角形OBP)就是余能Wc。上式給出了應(yīng)變能和應(yīng)變余能對(duì)全功的互余關(guān)系。

右端第一項(xiàng)ijij稱(chēng)為全功，它相應(yīng)于圖中矩形OAPB的5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第82頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.45.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第83頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4對(duì)于線彈性材料，應(yīng)變余能為應(yīng)變余能的值和應(yīng)變能的值相等，如圖。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第84頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.4

注應(yīng)變余能并不儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。例如：設(shè)在彈性懸臂梁的自由端突然加一塊砝碼。當(dāng)梁通過(guò)其靜態(tài)平衡位置時(shí)，砝碼所做的功為全功，其中只有一半轉(zhuǎn)化為儲(chǔ)存在梁內(nèi)的應(yīng)變能；另一半應(yīng)變余能則表現(xiàn)為動(dòng)能，它導(dǎo)致梁－砝碼系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)附近的自由振動(dòng)。5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能第85頁(yè)/共103頁(yè)目錄Chapter55.1引言5.2彈性的定義5.3廣義胡克定律5.4應(yīng)變能和應(yīng)變余能5.5應(yīng)變能的正定性第86頁(yè)/共103頁(yè)5.5應(yīng)變能的正定性Chapter5.5熱力學(xué)第一定律:

其中dT和dE分別是動(dòng)能和內(nèi)能增量，dA是外力對(duì)系統(tǒng)所做的功，dQ是系統(tǒng)從外界吸收的熱量。熱力學(xué)第二定律:

其中為溫度，S為熵。第87頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.5代入

這是自然界中一切熱力學(xué)過(guò)程都必須滿(mǎn)足的方程。其中等號(hào)僅適用于可逆過(guò)程。5.5應(yīng)變能的正定性第88頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.5

對(duì)于dS＝0的等熵(絕熱)過(guò)程對(duì)于等熵過(guò)程，內(nèi)能E=U，于是：5.5應(yīng)變能的正定性第89頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.5

把加載前物體所處的熱力學(xué)平衡狀態(tài)選為無(wú)應(yīng)變自然狀態(tài)。加載后的平衡狀態(tài)稱(chēng)為變形狀態(tài)和干擾狀態(tài)。下面來(lái)證明只要自然狀態(tài)是物體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則應(yīng)變能是正定的。考慮由自然狀態(tài)到變形狀態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加載過(guò)程，這時(shí)動(dòng)能dT＝0。因準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程是可逆的，所以5.5應(yīng)變能的正定性第90頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.5

由于從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)到相鄰的干擾狀態(tài)外力必須做正功，即dA>0，所以上式要求令自然狀態(tài)的應(yīng)變能為零，則變形狀態(tài)的應(yīng)變能必正定。5.5應(yīng)變能的正定性第91頁(yè)/共103頁(yè)Chapter5.5

應(yīng)變能的正定性限制了彈性常數(shù)的取值范圍。將各向同性彈性材料的比應(yīng)變能公式改寫(xiě)為：

其中，