線代練習冊二解答

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線代練習冊二解答太原理工大學2023級《線性代數(shù)》練習冊（二）

一.判斷題（正確打√，錯誤打×）

1若?s不能由?1,?2,?,?s?1線性表示，則?1,?2,?,?s線性無關.(×)

解答：反例：取?1?0，?2?0，則?2不能由?1線性表示，但?1,?2線性相關.2.若??,??,??與??,??等價，則??,??,??線性相關.(√)解答：由于等價的向量組具有一致的秩，所以

R(?1,?2,?3)?R(?1,?2)?2?3，所以向量組??,??,??線性相關.3.假使?可由?1,?2,?3唯一線性表示,則?1,?2,?3線性無關.(√)解答：向量?能由向量組A唯一線性表示的充分必要條件是

R(?1,?2,?,?m,?)?R(?1,?2,?,?m)?m；

所以R(?1,?2,?3)?3，所以?1,?2,?3線性無關.4.向量組的秩就是它的最大線性無關組的個數(shù).(×)解答：正確結論：

向量組的秩就是它的最大線性無關組所含向量的個數(shù).

5.若向量組?,?,?只有一個極大無關組，則?,?,?線性無關.(×)

解答：反例：取??0,????0，則向量組?,?,?只有一個最大無關組?，但?,?,?線性相關.

正確命題：若?,?,?線性無關，則?,?,?只有一個最大無關組.二.單項選擇題

1.設向量組（1）:??,??,??能由向量組（2）:?1,?2線性表示，則(A).（A）向量組（1）線性相關;（B）向量組（1）線性無關;（C）向量組（2）線性相關;（D）向量組（2）線性無關.

解答：由于3?2，且??,??,??能由?1,?2線性表示，由P??推論1可知?1,?2,?3線

性相關.所以選項（A）正確.

2.設n維向量組?1,?2,?,?m線性無關，則(B).

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（A）向量組中增加一個向量后仍線性無關;（B）向量組中去掉一個向量后仍線性無關;

（C）向量組中每個向量都去掉第一個分量后仍線性無關;（D）向量組中每個向量任意增加一個分量后仍線性無關.解答：根據(jù)“全體無關則部分無關〞知選項（B）正確.注意（D），“向量組中每個向量任意增加一個分量后〞不是原來的延伸向量組，所以不能保證還線性無關.例如

?1??1?????11?????1???2??，?2???3??線性無關，但?1??2?，?2??2?線性相關.

?????3??3?????3.以下命題錯誤的是(C)

（A）若n維向量組??,??,?,?m中沒有一個向量能由其余向量線性表示，則該向量組線性無關;

（B）若n維向量組??,??,?,?m的秩小于m，則此向量組線性相關;

（C）若n維向量組??,??,?,?r線性無關，向量組??,??,??s也線性無關，則向量組??,??,?,?r，??,??,??s的秩為r?s.

（D）任何一組不全為零的數(shù)k?,k?,?kr使k????k??????kr?r??,則向量組

??,??,?,?r線性無關.

解答：由定義或定理即知選項（A），（B），（D）均正確.

選項（C）錯誤.反例

????????????????而不是3.

??????????,??????線性無關，??????也線性無關，但是??,??,??的秩是2，

??????????4.設A：?1,?2,?3,?4是一組n維向量，且?1,?2,?3線性相關，則(D).(A)A的秩等于4;(B)A的秩等于n;

(C)A的秩等于1;(D)A的秩小于等于3.

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解答：由于?1,?2,?3線性相關，所以A：?1,?2,?3,?4線性相關，所以R(A)??.

5.已知向量組?1,?2,?3線性無關,則下面線性無關的向量組是(C).

(A)(C)

?1??2,?2??3,?3??1;（B）?1??2,?2??3,?3??1;?1??2,?2??3,?3??1;（D)?1?2?2,3?2?5?3,-?1?8?2.

1-101111011?0；

解答：方法一

(A):

0-1?0;（B）0-10

-101110(C)：

12050?0.

011?2；(D)3101-180方法二

(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)?0，(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)?0，

知(A)、(B)均線性相關.由替換定理的推論知(D)線性相關.故應選(C)（可用線性無關的定義證明線性無關）.三.填空題

1.設n維向量?1,?2,?3線性無關，則向量組?1??2,?2??3,?3??1的秩r?

2.1-10解答：由于01-1?0,所以?1??2,?2??3,?3??1線性相關,

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(或者由于(?1所以?1但?1（

??2)?(?2??3)?(?3??1)?0,

??2,?2??3,?3??1線性相關)

??2,?2??3線性無關,所以r?2.

設

k1(?1??2)?k2(?2??3)?0k1?1?(k2?k1)?2?k2?3?0

由于?1,?2,?3線性無關,所以k1無關.)

2.已知???(?,?,??,?)，???(?,?,?,?),空間的維數(shù)為2,則a?6.

解答：方法一由于由?1,?2,?3生成的向量空間的維數(shù)為2,而?1,?2線性無關,所

?k2?0,所以?1??2,?2??3線性

???(?,?,?,a).若由?1,?2,?3生成的向量

?2?k??k?????k?k???以?3可由?1,?2唯一線性表示,所以?3?k1?1?k2?2,即?,解得

???k????a??k?a?6.

方法二由于?1,?2,?3生成的向量空間的維數(shù)為2，所以?1,?2,?3線性相

關，從而???(?,?,?)，???(?,?,?),???(?,?,a)也線性相關，于是

????????解得a?6.

??a

3.設向量組??,??,?,?m線性無關，向量?不