時矩形菱形正方形

時矩形菱形正方形第1頁/共38頁矩形的性質(zhì)及判定考點一

定義有一個角是①_____的平行四邊形叫矩形(1)矩形的四個角都是②______；(2)矩形的對角線③_______；(3)矩形既是④______對稱圖形又是軸對稱圖形，有⑤______條對稱軸直角直角相等中心2性質(zhì)中考考點清單第2頁/共38頁判定(1)有一個角是⑥_____的平行四邊形是矩形；(2)有⑦______是直角的四邊形是矩形；(3)對角線⑧______的平行四邊形是矩形面積S＝⑨_______(a、b表示矩形的長和寬）

直角三個角相等ab第3頁/共38頁定義有一組鄰邊⑩______的平行四邊形叫做菱形(1)菱形的四條邊都?_______；(2)菱形的對角線?_________且每一條對角線都平分?_________；(3)菱形既是?______對稱圖形，又是?______對稱圖形，有?_____條性質(zhì)相等相等互相垂直一組對角中心軸2菱形的性質(zhì)及判定（高頻）考點二第4頁/共38頁判定(1)有一組鄰邊?______的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都?_______的四邊形是菱形；(3)對角線?________的平行四邊形是菱形面積S＝?_______(l1、l2表示菱形兩條對角線的長)互相垂直相等相等l1l2第5頁/共38頁性質(zhì)(1)正方形的對邊平行，四邊都________；(2)正方形的四個角都是________；(3)對角線互相_____________，每條對角線平分一組對角

判定(1)有一組_______相等，并且有一個角是____的平行四邊形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的_______是正方形；(3)有一個角是直角的是_______正方形；(4)_______相等且互相垂直的平行四邊形是正方形面積S＝_______(a表示邊長)；S＝_______(l表示對角線長)2122

23相等直角垂直平分且相等24252627282930鄰邊直角矩形棱形對角線正方形的性質(zhì)及判定（高頻）考點三第6頁/共38頁平行四邊形、矩形、棱形、正方形之間的關(guān)系考點四

菱形矩形正方形平行四邊形有一個角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等，有一個角是90°第7頁/共38頁類型一矩形的性質(zhì)及判定

如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AE＝BF＝CG＝DH.例1(1)求證：四邊形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面積．例1題圖?？碱愋推饰龅?頁/共38頁(1)【思路分析】四邊形ABCD是矩形?OA=OB=OC=ODAE=BF=CG=DH?四邊形EFGH是矩形；證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四邊形EFGH是矩形．?OE＝OF＝OG＝OH第9頁/共38頁(2)【思路分析】根據(jù)已知條件求出矩形的邊長DC，繼而求出邊長AD，再根據(jù)矩形的面積公式即可求解．解：在△DOC中，∵OG＝GC且DG⊥OC，∴DO＝DC，∵OC＝OD，∴△ODC是等邊三角形，∴∠DCA＝60°，DC＝2OG＝2OF＝4，在Rt△ADC中，AD＝tan60°·CD＝4，∴S矩形ABCD＝AD·CD＝16.第10頁/共38頁【方法指導】1.矩形判定的一般思路：首先判定是否為平行四邊形，然后找角或者對角線的關(guān)系，若角度容易求，則可找其一角為90°，便可判定是矩形；若對角線容易求，則證明其對角線相等即可判定其為矩形．第11頁/共38頁2．應(yīng)用矩形性質(zhì)計算的一般思路：根據(jù)矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長是常用的解題思路，又根據(jù)矩形對角線相等且互相平分，故可借助對角線的關(guān)系得到全等三角形．矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質(zhì)的相關(guān)計算和證明中要注意這個結(jié)論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關(guān)系．

第12頁/共38頁【解析】根據(jù)題意得：∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠D′＝90°.∵∠BAD′＝30°，∴∠EAD′＝30°.∴∠AED′＝90°－30°＝60°.1.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′＝30°，則∠AED′等于(

)A.30°B.45°C.60°D.75°第1題圖C課堂隨練第13頁/共38頁2.(’14衡陽)如圖，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，則BD的長為________．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，又∵∠BOC＝120°，∴AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝5，∴BD＝2OB＝10.

第2題圖10第14頁/共38頁3.(’15北京)在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE,連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.第3題圖第15頁/共38頁(1)【思路分析】要證明四邊形BFDE是矩形，首先證明BFDE是平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE為矩形；第16頁/共38頁解：∵平行四邊形BFDE為矩形．∴∠BFC＝90°，∵CF＝3，BF＝4.則由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.(2)【思路分析】首先利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BC的長，易得AD＝DF，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)換，得到∠DAF＝∠BAF，即可得證．第3題解圖第17頁/共38頁類型二棱形的性質(zhì)及判定例2(’14北京)如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．例2題圖第18頁/共38頁(1)【思路分析】利用平行四邊形性質(zhì)得∠DAE＝∠AEB，然后利用角平分線性質(zhì)等量代換得△ABE是等腰三角形，由AFBE判定出四邊形ABEF為平行四邊形，進而利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形證明即可；證明：在?ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，第19頁/共38頁同理：∵∠AFB＝∠FBE，∠ABF＝∠FBE，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝BE，∵AF∥BE且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，又∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形；第20頁/共38頁(2)【思路分析】過點P作PH⊥AD于點H，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AH，PH，再利用三角函數(shù)的關(guān)系即可得tan∠ADP的值．例2題解圖解：如解圖，過點P作PH⊥AD于點H，∵∠ABC＝60°，∴△ABE和△AEF是等邊三角形，∴AP＝AE＝AB＝2，∴AH＝1，PH＝，∴DH＝AD－AH＝6－1＝5，∴tan∠ADP＝＝.H第21頁/共38頁【方法指導】1.菱形判定的一般思路：若一個四邊形是菱形，則必是平行四邊形，故在判定一個四邊形是菱形時，首先判斷其是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等判定是菱形，這是判定菱形的最基本思路，同時也可以考慮其他判定方法，例如若能判定對角線垂直即可應(yīng)用對角線來判定．第22頁/共38頁2．菱形性質(zhì)應(yīng)用的一般思路：菱形是平行四邊形，故會應(yīng)用對邊平行、對角相等等性質(zhì)；菱形四邊相等，所以在做題時，會利用等量代換轉(zhuǎn)換為其他邊的長；它的對角線相互垂直，故常借助對角線垂直和勾股定理求線段的長．第23頁/共38頁1.(人教八下P58T1改編)如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的為

(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③第1題圖A課堂隨練第24頁/共38頁2.(’15徐州)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為AD中點，菱形ABCD的周長是28，則OE的長等于(

)A.3.5B.4C.7D.14第2題圖【解析】菱形的對角線互相垂直平分，四條邊都相等．其周長是28，則AB＝BC＝CD＝DA＝7，OE即是Rt△AOD的斜邊上的中線，則OE＝AD.或者O、E分別是BD、AD的中點，則OE是△ABD的中位線，則OE＝AB＝＝3.5.A第25頁/共38頁【解析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得，由AC⊥BD可以判定?ABCD是菱形，故①正確；由∠BAD＝90°，可以判定?ABCD是矩形，故②錯誤；根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得由AB＝BC可以判定?ABCD是菱形，故③正確；由AC=BD，可以判定?ABCD是矩形，故④錯誤.第26頁/共38頁3.(’15黃山模擬)如圖，菱形ABCD的對角線AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，則下列結(jié)論正確的是(

)A.sinα＝

B.cosα＝C.tanα＝

D.tanα＝第3題圖【解析】∵菱形ABCD的對角線AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，且OA＝3，OB＝4.在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得AB＝5，則sinα＝，cosα＝，tanα＝.D第27頁/共38頁4.(’15貴陽)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，且AE∥CD，CE∥AB.(1)證明：四邊形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(計算結(jié)果保留根號)(1)證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AD＝BD，又∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE為平行四邊形．又∵CD＝AD，∴四邊形ADCE是菱形．第4題圖第28頁/共38頁(2)解：如解圖，過點D作DH⊥AE于點H，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD為等邊三角形．∵BC＝6，∴AD＝CD＝BD＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°.∵四邊形ADCE是菱形，∴∠DAH＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴∠ADH＝30°.在Rt△ADH中，AD＝6，∴AH＝AD

＝×6＝3，DH＝3.則菱形ADCE的高為3.第4題解圖H第29頁/共38頁類型三正方形的性質(zhì)及判定例3(’15長春)如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上，若△ABE面積為8，CE＝3，則線段BE的長為________．例3題圖【思路點撥】過點E作EM⊥AB于點M，根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD＝BC＝CD＝AB，根據(jù)△ABE的面積為8求出EM，得出BC的值，根據(jù)勾股定理即可求解．5第30頁/共38頁【解析】如解圖，過點E作EM⊥AB于點M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB，∴EM＝AD，BM＝CE，∵△ABE的面積為8，∴×AB×EM＝8，解得EM＝4，即AD＝DC＝BC＝AB＝4，∵CE＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝5.例3題解圖M第31頁/共38頁【方法指導】正方形性質(zhì)的相關(guān)計算包括以下兩種設(shè)問方式：1.求面積；2.求線段長．1．求面積時，一般利用拼接法將所求面積的圖形拼接成正方形，然后利用正方形的面積公式即可求出面積；2．求線段長時，可從以下兩個方面考慮：①直接利用特殊圖形的性質(zhì)(或等腰三角形的性質(zhì))，結(jié)合勾股定理、三角形全等的性質(zhì)等，求出對應(yīng)的線段長；②通過尋找相似三角形，先利用三角形相似的性質(zhì)求出相應(yīng)的比值，再根據(jù)比值關(guān)系求出對應(yīng)線段的長．第32頁/共38頁1.已知在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OE∥AB交BC于點E，若AD＝8cm，則OE的長是(

)A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm第1題圖【解析】∵