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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習題答案
習題三
1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與
出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.X和Y的聯(lián)合分布律如表:
2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.X和Y的聯(lián)合分布律如表:
3.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為
sinxsiny,
F(x,y)=
0,
0x
π2,0y
π2
其他.
求二維隨機變量(X,Y)在長方形域0x
πππ
,y內的概率.463
如圖P{0X
πππ
,Y公式(3.2)463
ππππππF(,F(,)F(0,)F(0,)434636
sinπππ4
sin
3
sin
4
sin
π6
sin0sin
π3
sin0
sin
π6
4
1).
題3圖
說明:也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設隨機變量(X,Y)的分布密度
Ae(3x4y)f(x,y)=
,
x0,y0,
0,
其他.
求:(1)常數(shù)A;
(2)隨機變量(X,Y)的分布函數(shù);
(3)P{0≤X1,0≤Y2}.
(1)由
f(x,y)dxdy
Ae
-(3x4y)
dxdy
A12
1
得A=12
(2)由定義,有
F(x,y)
yx
fu(v,u)dvd
yy12e(
3uv4
00
d)
udv
(1e3x)(1e4y)
y0,x0,
0,
0,其他
(3)P{0X1,0Y2}
P{0X1,0Y2}
124y)
12e
(3xdxdy(1e3)(1e8
)0.9499.
5.設隨機變量(X,Y)的概率密度為
f(x,y)=
k(6xy),0x2,2y4,
0,
其他.
(1)確定常數(shù)k;(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X1.5};(4)求P{X+Y≤4}.(1)由性質有
f(x,y)dxdy
242
k(6xy)dydx8k1,
故R
18
(2)P{X1,Y3}
(3)P{X1.5}
1
320
13
f(x,y)dydx
38
18
k(6xy)dydx
x1.5
f(x,y)dxdy如圖af(x,y)dxdy
D1
1.5
dx
412
8
(6xy)dy
2732
D2
.
(4)P{XY4}
XY4
f(x,y)dxdy如圖bf(x,y)dxdy
4x2
20
dx
18
(6xy)dy
23
.
題5圖
6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在(0,0.2)上聽從均勻分布,Y的密度函數(shù)為
5e5y,y0,
fY(y)=
其他.0,
求:(1)X與Y的聯(lián)合分布密度;(2)P{Y≤X
}.
題6圖
(1)因X在(0,0.2)上聽從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為
1,
fX(x)0.2
0,
0x0.2,其他.
而
5e5y,
fY(y)
0,
y0,其他.
所以
f(x,y)XY,獨立fXx(f)Y
y()
10.25e5y
25e5y,0x0.2且y0,
0,
0,其他.
(2)P(YX)
f(x,y)dxdy如圖25e
5y
dxdy
yx
D
0.20
dxx
-5y
25e
dy
0.20
(5e
x5
5)dx
=e
-1
0.3679.
7.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為
(1e4x)(1e2yF(x,y)=
),
x0,y0,
0,
其他.
求(X,Y)的聯(lián)合分布密度.2
f(x,y)
F(x,y)8e(4x2y)xy
,x0,y0,0,
其他.
8.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為
f(x,y)=4.8y(2x),
0x1,0yx,
0,
其他.
求邊緣概率密度.fX(x)
f(x,y)dy
x=
0
4.8y(2xy)d2.4x2
(2x),0x,
0,
0,
其他.
1fY(y)
f(x,y)dx
1=
4.8y(2xx)2
y
d2.4y(3y4y),y00,
0,
其他.
1,
題8圖題9圖
9.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為
eyf(x,y)=,
0xy,
0,
其他.
求邊緣概率密度.fX(x)
(
fx,y)dy
=xeydy
ex
,x0,
0,
0,其他.
fY(y)
f(x,y)dx
y=
0eydx
yex,
y0,
0,
0,其他
.
題10圖
10.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為
f(x,y)=
cx2y,
x2
y1,
0,
其他.
(1)試確定常數(shù)c;(2)求邊緣概率密度.(1)
,
f(xy)dxdy如圖f(x,y)dxdy
D
=1
dx1
cx2
ydy
4-1
x
2
21
c1.
得c
214
.
(2)fX(x)
f(x,y)dy
121221x24xydy
8
x2(1x4
),1x1,
0,0,
其他.
fY(y)
f(x,y)dx
2
dx75
xy2y2,
0y1,
0,
0,其他.
11.設隨機變量(X,Y)的概率密度為
f(x,y)=
1,
yx,0x1,
0,
其他.
求條件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y)
.
題11圖
fX(x)
f(x,y)dy
xx1dy2x,0x
10,
其他.1y1dx1y,
1y0,fY(y)
f(x,y)dx1
0y1,y1dx1y,
0,其他.
所以
f(y|x)f(x,y)
1,|y|x1,
Y|X
f(x)2x
X
0,
其他.
1
x1,1y,y
f(x,y)1
,yx1,fX|Y(x|y)
fY(y)1y
0,其他.
12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個,記這三個號碼中最小的號碼為X,最大
的號碼為Y.(1)求X與Y的聯(lián)合概率分布;(2)X與Y是否相互獨立?(1)X與Y的聯(lián)合分布律如下表
610
110
6100
110
(2)因P{X1}P{Y3}故X與Y不獨立
(2)X與Y是否相互獨立?
P{X1,Y3},
(1)X和Y的邊緣分布如下表
(2)因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X與Y不獨立.
14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在(0,1)上聽從均勻分布,Y的概率密度為
1y/2e,
fY(y)=2
0,
y0,其他.
(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度;2
(2)設含有a的二次方程為a+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.
1,0,
y
12
0x1,e,y1,
fY(y)2
其他;0,其他.
(1)因fX(x)
1y/2
e
故f(x,y)X,Y獨立fX(x)fY(y)2
0,
0x1,y0,其他
.
題14圖
(2)方程a22XaY0有實根的條件是
(2X)4Y0
2
故X≥Y,從而方程有實根的概率為:
P{X
2
2
Y}
xy
2
f(x,y)dxdy
10
dx
x0
2
12
e
y/2
dy
1(1)(0)]
0.1445.
15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命(以小時計),并設X和Y相互獨立,且服
從同一分布,其概率密度為
1000
,
f(x)=x2
0,
x1000,其他.
求Z=X/Y的概率密度.
如圖,Z的分布函數(shù)FXZ(z)P{Zz}P{
Yz}
(1)當z≤0時,F(xiàn)Z(z)0
(2)當0z1時,(這時當x=1000時,y=
1000z)(如圖a)
6F
10
6yz
Z(z)
x2
dy
103
dy3
10
y
y
2
dxxz
10
x2
y
2
dxz
=
103
103106dyz
z
y
2zy32
題15圖
(3)當z≥1時,(這時當y=103
時,x=103
z)(如圖b)
F10
6Z(z)
x2
y
2
dxdy
10
3
dy
zy
10
610
3
y
xx2
y
2
dx
z
=
10
3
103106dy11y
2zy32z11,z1,2z即fz
Z(z),
0z1
,
20,
其他.12z2,z1,故f1
Z(z)2,
0z1,0,其他.
16.設某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地聽從N(160,202)分布.隨機地選取4求其中沒有一只壽命小于180的概率.
只,
設這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4),則Xi~N(160,20),
從而
P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之間獨立P{X1180}P{X2180}
2
P{X3180}P{X4180}[1P{X1180}][P1X{2
180}P][X13
4
{
18P0}4X][1
{180}]
1801604
[1P{X1180}]120
[1(1)](0.158)0.00063.
4
4
17.設X,Y是相互獨立的隨機變量,其分布律分別為
P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,
P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….
證明隨機變量Z=X+Y的分布律為
i
P{Z=i}=p(k)q(ik),i=0,1,2,….
k0
因X和Y所有可能值都是非負整數(shù),
所以{Zi}{XYi}{X0,Yi}
于是
i
i
{X1Y,i1}X{iY,
P{Zi}
k0i
P{Xk,Yi}k相,X互Y獨立
P{X
k0
k}P{Yi}k
k0
p(k)q(i)k
18.設X,Y是相互獨立的隨機變量,它們都聽從參數(shù)為n,p的二項分布.證明Z=X+Y聽從參數(shù)為2n,p的二項分布.
方法一:X+Y可能取值為0,1,2,…,2n.
k
P{XYk}
P{X
i0
i,Yki}
k
P(
i0k
Xi)P{Y
n
k}i
k
in
k
i
i0k
nipqinipki
n
k
q
i0
nnk2
pqiki
n
k
2nk2
pq
k
方法二:設μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均聽從兩點分布(參數(shù)為p),則
X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以,X+Y聽從參數(shù)為(2n,p)的二項分布.
(2)求V=max(X,Y)的分布律;(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求W=X+Y的分布律.(1)P{X2|Y2}
P{X2,Y2}
P{Y2}P{X2,Y
5
2}
P{X
i0
i,Y2}
0.051
,0.252
P{Y3|X0}
P{Y3,X0}P{X0}
P{X0,Y
3
3}
P{X
j0
0,Yj}
0.011
;0.033
(2)P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
i1
i
P{X
k0
i,Yk}
P{X
k0
k,Yi},i0,1,2,3,4
所以V的分布律為
(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}
P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
35
ki
P{Xi,Yk}
ki1
P{Xk,Yi}
i0,1,2,3
于是
20.雷達的圓形屏幕半徑為R,設目標出現(xiàn)點(X,Y)在屏幕上聽從均勻分布.(1)求P{Y>0|Y>X};
(2)設M=max{X,Y},求P{M>0}.
題20圖
因(X,Y)的聯(lián)合概率密度為
1
,
f(x,y)πR2
0,
xyR,其他.
2
2
2
(1)P{Y0|YX}
P{Y0,YX}P{YX}
y0yx
f(x,y)d
yx
f(x,y)d
π
π/454π
dd
R0R0
11πR
2
rdr
rdr
π/4
2
3/8
1/23;4
(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}
1P{X0,Y0}1
x0y0
f(x,y)d1
2
14
34
.
21.設平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e所圍成,二維隨機變量(X,Y)
在區(qū)域D上聽從均勻分布,求(X,Y)關于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少?
題21圖
區(qū)域D的面積為S0
e
2
1x
1
dxlnx
e1
2
2.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為
1,
f(x,y)2
0,
1xe,0y其他.
2
1
x
,
(X,Y)關于X的邊緣密度函數(shù)為
11/x1
dy,fX(x)022x
0,
1xe,其他.
2
所以fX(2)
14
.
22.設隨機變量X和Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關于X和
2
因P{Yyj}Pj
P{X
i1
xi,Yyj},
故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},從而P{Xx1,Yy1}
1618124.
而X與Y獨立,故P{Xxi}P{Yyj}P{Xxi,Yyi},從而P{Xx1}即:P{Xx1}
16
P{Xx1,Yy1}124
/1614.
124.
又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},即
14124
18
P{Xx1,Yy3},
112.
38
從而P{Xx1,Yy3}同理P{Yy2}
3
12
,P{Xx2,Yy2}
16
12
13
又P{Yyj}1,故P{Yy3}1
j1
.
同理P{Xx2}從而
34
.
P{Xx2,Yy3}P{Yy3}P{Xx1,Yy3}
13
112
14
.
故
23.設某班車起點站上客人數(shù)X聽從參數(shù)為λ(λ0)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率
為p(0p1),且中途下車與否相互獨立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)
車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率;(2)二維隨機變量(X,Y)的概率分布.
mmnm
(1)P{Ym|Xn}Cnp(1p),0mn,n0,1,2,.
(2)P{Xn,Ym}P{Xn}P{Ym|Xn}
e
(1p)
n!
n
m
Cp
m
n
mn
n,mn,n0,1,2,.
24.設隨機變量X和Y獨立,其中X的概率分布為X~
10.32
,而Y的概率密度為f(y),0.7
求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).
設F(y)是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為
G(u)P{XYu}0.3P{XYu|X1}0.7P{XYu|X2}
0.3PY{u1|X1}
由于X和Y獨立,可見
0P.7Y{u
2X|
G(u)0.3P{Yu1}0.7P{Yu2}
0.3Fu(1)
由此,得U的概率密度為
0F.7u(
g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)
0.3fu(1)0f.7u(
25.25.設隨機變量X與Y相互獨立,且均聽從區(qū)間[0,3]上的均勻分布,求P{max{X,Y}≤1}.
解:由于隨即變量聽從[0,3]上的均勻分布,于是有
11,0x3,y3,,0
f(y)3f(x)3
0,x0,x3;0,y0,y3.
由于X,Y相互獨立,所以
1
,0x3,0y3,
f(x,y)9
0,x0,y0,x3,y3.
{Y,}.推得P{maxX
91
26.設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為
其中a,(1)a,b,c的值;(2)Z的概率分布;(3)P{X=Z}.
解(1)由概率分布的性質知,
a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.
由E(X)0.2,可得
ac0.1.
P{X0,Y0}ab0.1
再由P{Y0X0}0,.5
P{X0}ab0.5
得ab0.3.
解以上關于a,b,c的三個方程得
a0.2,b0.1,c0.1.
(2)Z的可能取值為2,1,0,1,2,
P{Z2}P{X1,Y1}0.2,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1,
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}0.1,
即Z的概率分布為
(3)P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
習題四
1.設隨機變量X的分布律為
求(1)E(X)(1)
18
2
1111522222
(2)E(X)(1)012;
82844
0
121
182
141;
(3)E(2X3)2E(X)32
12
34
2.已知100個產品中有10個次品,求任意取出的5個產品中的次品數(shù)的數(shù)學期望、方差.
設任取出的5個產品中的次品數(shù)為X,則X的分布律為
故E(X)0.58300.501,
5
0.340
10.07020.0073
D(X)
i0
x[iEX(
2
)P]i
(00.501)
0.432.
2
0.583(1
2
0.501)0.340
2
(50.501)
3.設隨機變量X的分布律為
且已知E(X)=0.1,E(X)=0.9,求P1,P2,P3.因P1P2P31……①,
又E(X)(1)P10P21P3P3P10.1……②,
E(X)(1)P10P21P3P1P30.9……③
2
2
2
2
由①②③聯(lián)立解得P10.4,P20.1,P30.5.
4.袋中有N只球,其中的白球數(shù)X為一隨機變量,已知E(X)=n,問從袋中任取1球為白
球的概率是多少?
記A={從袋中任取1球為白球},則
N
P(A)全概率公式P{A|Xk}P{Xk}
k0
N
k0
kN
P{Xk}
nN.
1N
N
kP{X
k0
k}
1N
E(X)
5.設隨機變量X的概率密度為
x,0x1,
f(x)=2x,1x2,
0,其他.
求E(X),D(X).E(X)
xf(x)dxxdx
1
2
1
2
2
1
x(2x)dx
2x313
xx1.
3130
E(X)
2
xf(x)dxxdx
2
1
3
2
1
x(2x)dx
2
76
故D(X)E(X2)[E(X)]2
16
.
6.設隨機變量X,Y,Z相互獨立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求以下隨機變量的數(shù)學期望.(1)U=2X+3Y+1;
(2)V=YZ4X.
(1)E[U]E(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144
(2)E[V]E[YZ4X]E[YZ]4E(X)
因Y,Z獨立E(Y)E(Z)
4E(X)
11845687.設隨機變量X,Y相互獨立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X2Y),
D(2X3Y).(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.
(2)D(2X3Y)2D(X)(3)DY412916192.
8.設隨機變量(X,Y)的概率密度為
f(x,y)=
試確定常數(shù)k,并求E(XY).因
22
k,0,
0x1,0yx,
其他.
f(x,y)dxdy
10
dxkdy
x
12
k1,故k=2
E(XY)
xyf(x,y)dxdy
10
xdx2ydy0.25.
x
9.設X,Y是相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為
2x,
fX(x)=
0,
0x1,
e(y5),
fY(y)=其他;0,
y
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