2022年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）解析版

2022年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，則＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70% B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85% C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差 D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．（5分）設(shè)全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，則?U（A∪B）＝（）A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．205．（5分）函數(shù)y＝（3x﹣3﹣x）cosx在區(qū)間[﹣，]的圖像大致為（）A． B． C． D．6．（5分）當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，則f′（2）＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．17．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則（）A．AB＝2AD B．AB與平面AB1C1D所成的角為30° C．AC＝CB1 D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°8．（5分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：s＝AB+．當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時，s＝（）A． B． C． D．9．（5分）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝（）A． B．2 C． D．10．（5分）橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A． B． C． D．11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]12．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且||＝1，||＝3，則（2+）?＝．14．（5分）若雙曲線y2﹣＝1（m＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣4y+3＝0相切，則m＝．15．（5分）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．16．（5分）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．當(dāng)取得最小值時，BD＝．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知+n＝2an+1．（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．18．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）證明：BD⊥PA；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值．19．（12分）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．20．（12分）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α﹣β取得最大值時，求直線AB的方程．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝﹣lnx+x﹣a．（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍；（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2＜1．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出C1的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cosθ﹣sinθ＝0，求C3與C1交點的直角坐標(biāo)，及C3與C2交點的直角坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知a，b，c均為正數(shù)，且a2+b2+4c2＝3，證明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，則+≥3．

2022年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，則＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【分析】由已知求得，代入，則答案可求．【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴＝4，則＝．故選：C．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．2．（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70% B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85% C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差 D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【分析】對于A，求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進行判斷；對于B，求出講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)進行判斷；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，進行判斷；對于D，求出講座后問卷答題的正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷D．【解答】解：對于A，講座前問卷答題的正確率從小到大為：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：（70%+75%）/2＝72.5%，故A錯誤；對于B，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正確；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，∴講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤；對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為：100%﹣80%＝20%，講座前正確率的極差為：95%﹣60%＝35%，∴講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查散點圖、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，則?U（A∪B）＝（）A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}【分析】求解一元二次方程化簡B，再由并集與補集運算得答案．【解答】解：∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴?U（A∪B）＝{﹣2，0}．故選：D．【點評】本題考查交、并、補集的混合運算，是基礎(chǔ)題．4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出該多面體的體積．【解答】解：由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如圖，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，∴該多面體的體積為：V＝＝12．故選：B．【點評】本題考查多面體的體積的求法，考查多面體的三視圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．5．（5分）函數(shù)y＝（3x﹣3﹣x）cosx在區(qū)間[﹣，]的圖像大致為（）A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點的位置，推出選項即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，排除BD；當(dāng)x＝1時，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．6．（5分）當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，則f′（2）＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【分析】由已知求得b，再由題意可得f′（1）＝0求得a，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，即可求得f′（2）．【解答】解：由題意f（1）＝b＝﹣2，則f（x）＝alnx﹣，則f′（x）＝，∵當(dāng)x＝1時函數(shù)取得最值，可得x＝1也是函數(shù)的一個極值點，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故x＝1處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則f′（2）＝．故選：B．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運算求解能力，是中檔題．7．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則（）A．AB＝2AD B．AB與平面AB1C1D所成的角為30° C．AC＝CB1 D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°【分析】不妨令A(yù)A1＝1，可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接AB1，BD，不妨令A(yù)A1＝1，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分別為B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，，在Rt△ADB1中，DB1＝2，，所以AB＝，，，故選項A，C錯誤，由圖易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB為AB與平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故選項B錯誤，如圖，連接B1C，則B1D在平面BB1C1C上的射影為B1C，所以∠DB1C為B1D與平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以選項D正確，故選：D．【點評】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題．8．（5分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：s＝AB+．當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時，s＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中點，D在上，CD⊥AB，∴延長DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故選：B．【點評】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（5分）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝（）A． B．2 C． D．【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則可求得r1＝2，r2＝1，，進而求得體積之比．【解答】解：如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得，∴．故選：C．【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．（5分）橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)P（x0，y0），則Q（﹣x0，y0），根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得：kAP?kAQ＝，再結(jié)合，整理可得離心率．【解答】解：已知A（﹣a，0），設(shè)P（x0，y0），則Q（﹣x0，y0），kAP＝，kAQ＝，故kAP?kAQ＝?＝＝①，∵+＝1，即＝②，②代入①整理得：＝，e＝＝＝．故選：A．【點評】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點和零點，求得ω的取值范圍．【解答】解：當(dāng)ω＜0時，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點比零點多，所以ω＞0；函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故選：C．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點和零點，屬于中檔題．12．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函數(shù)線可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：設(shè)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），則f′（x）＝x﹣sinx，設(shè)g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）（0，1）單調(diào)遞增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函數(shù)線可得x）時，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．綜上：c＞b＞a，故選：A．【點評】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運算能力，屬難題．．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且||＝1，||＝3，則（2+）?＝11．【分析】首先計算的值，然后結(jié)合向量的運算法則可得所給式子的值．【解答】解：由題意可得，則．故答案為：11．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，平面向量的運算法則等知識，屬于中等題．14．（5分）若雙曲線y2﹣＝1（m＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣4y+3＝0相切，則m＝．【分析】求出漸近線方程，求出圓心與半徑，利用點到直線的距離等于半徑求解即可．【解答】解：雙曲線y2﹣＝1（m＞0）的漸近線：x＝±m(xù)y，圓x2+y2﹣4y+3＝0的圓心（0，2）與半徑1，雙曲線y2﹣＝1（m＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣4y+3＝0相切，＝1，解得m＝，m＝﹣舍去．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題．15．（5分）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算“從正方體的8個頂點中任選4個”的取法，分析其中“4個點在同一個平面”的情況，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從正方體的8個頂點中任選4個，有C＝70種取法，若這4個點在同一個平面，有底面2個和側(cè)面4個、對角面6個，一共有12種情況，則這4個點在同一個平面的概率P＝＝；故答案為：．【點評】本題考查古典概型的計算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．當(dāng)取得最小值時，BD＝．【分析】首先設(shè)出BD，CD，在兩個三角形中分別表示AC，BC，繼而＝，從而利用均值不等式取等號的條件即可．【解答】解：設(shè)BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2?2x?2?cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2?x?2?cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，＝＝，其中，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故答案為：．【點評】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知+n＝2an+1．（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．【分析】（1）由已知把n換為n+1作差可得遞推關(guān)系從而證明，（2）由a4，a7，a9成等比數(shù)列，求出首項，利用等差數(shù)列通項公式找出an正負分界點計算即可．【解答】解：（1）證明：由已知有：?①，把n換成n+1，?②，②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差數(shù)列定義有{an}為等差數(shù)列；（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列an的首項為x，由（1）有其公差為1，故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜?＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13時取最小值，，故Sn的最小值為﹣78．【點評】本題主要考查利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項及等差數(shù)列前n項和的最小值，屬于中檔題．18．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）證明：BD⊥PA；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值．【分析】（1）易知PD⊥BD，取AB中點E，容易證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)長度關(guān)系可得BD⊥AD，進而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，再求出平面PAB的法向量，利用向量的夾角公式即可得解．【解答】解：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴PD⊥BD，取AB中點E，連接DE，∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∴∠DAB＝60°，又∵AE＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝，∴△ABD為直角三角形，且AB為斜邊，∴BD⊥AD，又PD∩AD＝D，PD?面PAD，AD?面PAD，∴BD⊥面PAD，又PA?面PAD，∴BD⊥PA；（2）由（1）知，PD，AD，BD兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，∴，設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，則可取，設(shè)PD與平面PAB所成的角為θ，則，∴PD與平面PAB所成的角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中檔題．19．（12分）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，可以求出甲學(xué)校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率；乙學(xué)校的總得分X的值可取0，10，20，30，分別求出X取上述值時的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，①甲學(xué)校3場全勝，概率為：P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16，②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：P2＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：P＝P1+P2＝0.6；（2）乙學(xué)校的總得分X的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，P（X＝20）＝0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2＝0.34，P（X＝30）＝0.5×0.6×0.2＝0.06，則X的分布列為：X0102030P0.160.440.340.06X的期望EX＝0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06＝13．【點評】本題考查隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算，難度不大．20．（12分）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α﹣β取得最大值時，求直線AB的方程．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，則在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，則C的方程可求；（2）設(shè)M，N，A，B的坐標(biāo)，寫出tanα與tanβ，再由三點共線可得，；由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)lMN：x＝my+1，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ與tanα，再由兩角差的正切及基本不等式判斷，從而求得AB的方程．【解答】解：（1）由題意可知，當(dāng)x＝p時，y2＝2p2，得yM＝p，可知|MD|＝p，|FD|＝．則在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|2，得＝9，解得p＝2．則C的方程為y2＝4x；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（1）可知F（1，0），D（2，0），則tanα＝kMN＝，又N、D、B三點共線，則kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三點共線，得y3＝﹣．則tanβ＝＝．由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，則tanα＝，tanβ＝，則tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα與tanβ正負相同，∴，∴當(dāng)α﹣β取得最大值時，tan（α﹣β）取得最大值，當(dāng)m＞0時，tan（α﹣β）＝≤＝；當(dāng)m＜0時，tan（α﹣β）無最大值，∴當(dāng)且僅當(dāng)2m＝，即m＝時，等號成立，tan（α﹣β）取最大值，此時AB的直線方程為y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，又∵y3+y4＝﹣＝8m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程為4x﹣4y﹣16＝0，即x﹣y﹣4＝0．【點評】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬難題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝﹣lnx+x﹣a．（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍；（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2＜1．【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)研究其在定義域內(nèi)單調(diào)性，由于函數(shù)在（0，+∞）恒大于等于0，故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a＞0，解出a的范圍即可．（2）首先將原不等式轉(zhuǎn)化為證明，再利用函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，即轉(zhuǎn)化為證明?，繼而構(gòu)造函數(shù)證明其在（0，1）恒小于0即可．【解答】解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得x＞1，故函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a，要使得f（x）≥0恒成立，僅需e+1﹣a≥0，故a≤e+1，故a的取值范圍是（﹣∞，e+1]；（2）證明：由已知有函數(shù)f（x）要有兩個零點，故f（1）＝e+1﹣a＜0，即a＞e+1，不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2