數(shù)學(xué)運算練習(xí)題

數(shù)學(xué)運算練習(xí)題

1.在乘積1X2X3X4X.....X698X699X700中，末尾只有（）個零。

A.172B.174C.176D.179

【天字一號解析】

此題我們現(xiàn)需要了解0是怎么形成的，情況只有1種，那就是5跟一個偶數(shù)相乘就

可以構(gòu)成一個0，但是還要注意25算幾個5呢？50算幾個5呢？125算幾個5

呢，具有幾個5主要是看他能否被幾個5的乘積整除，

例如

25=5X5

所以具有2個5,

50=2X5X5也是2個5

125=5X5X5

具有3個5

方法一：

我們只要看700個數(shù)字里面有多少個5的倍數(shù)

700/5=140

還不行我們還要看有多少25的倍數(shù)

700/25=28

還要看有多少125的倍數(shù)

700/125=5

625的倍數(shù)：700/625=1

其實就是看700里有多少的5A1,5A2,5A3,5A4……5An

5An必須小于700

所以答案就是140+28+5+1=174

方法二：

原理是一樣的，但是我們可以通過連除的方式不聽的提取5的倍數(shù)直到商小于5

700/5=140

140/5=28

28/5=5

5/5=1

答案就是這些商的總和即174

140是計算含1個5的但是里面的25的倍數(shù)只被算了一次，所以我們還需要將140

個5的倍數(shù)再次挑出含5的數(shù)字，以此類推，就可以將所有含5的個數(shù)數(shù)清！

2.王先生在編一本書，其頁數(shù)需要用6869個字，問這本書具體是多少頁？

A.1999B.9999C.1994D.1995

【天字一號解析】

這個題目是計算有多少頁。

首先要理解題目

這里的字是指數(shù)字個數(shù)，比如123這個頁碼就有3個數(shù)字

我們通常有這樣一種方法。

方法一：

1-9是只有一9個數(shù)字，

10-99是2X90=180個數(shù)字

100-999是3X900=2700個數(shù)字

那么我們看剩下的是多少

6869-9-180-2700=3980

剩下3980個數(shù)字都是4位數(shù)的個數(shù)

則四位數(shù)有3980/4=995個

則這本書是1000+995-1=1994頁

為什么減去1

是因為四位數(shù)是從1000開始算的！

方法二：

我們可以假設(shè)這個頁數(shù)是A頁

那么我們知道，

每個頁碼都有個位數(shù)則有A個個位數(shù)，

每個頁碼出了1?9,其他都有十位數(shù)，則有A—9個十位數(shù)

同理有A—99個百位數(shù)，有A—999個千位數(shù)

則：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869

4A-1110+3=6869

4A=7976

A=1994

3.在一個兩位數(shù)之間插入一個數(shù)字，就變成一個三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)

字6,就變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9

倍，求出所有這樣的兩位數(shù)有多少個？

A、4B、5C、3D、6

【天字一號解析】

我們先進(jìn)行簡單的判斷，首先什么數(shù)字個位數(shù)X9得到的數(shù)個位數(shù)還是原來的

乘法口訣稍微默念一下就知道是5X9

或者0X9(個位數(shù)是0的2位數(shù)X9百位數(shù)肯定不等于原來的十位數(shù)所以排除)

好我們假設(shè)這個2位數(shù)是lOm+5,m是十位上數(shù)字，我們在這個數(shù)字中間插入c這

個數(shù)字

那么變成的三位數(shù)就是100m+10c+5

根據(jù)關(guān)系建立等式：

100m+10c+5=9X(10m+5)

化簡得到：10m+10c=40

m+c=4

注意條件m不等于0,

則有如下結(jié)果(1，3),(2,2),(3,1),(4,0)四組，答案是選A

4.有300張多米諾骨牌，從1——300編號，每次抽取偶數(shù)位置上的牌，問最后剩

下的一張牌是多少號？

A、1B、16C,128D、256

【天字■?號解析】

這個題目本身并不難，但是一定要看清楚題目，題目是抽取偶數(shù)位置上的牌，1是

奇數(shù)位置上的，這個位置從未發(fā)生變化，所以1始終不可能被拿走，即最后剩下的

就是編號1的骨牌。

當(dāng)然如果每次是拿走奇數(shù)位置上的，最后剩下的是編號幾呢？

我們做一個試驗，將1至Uioo按次序排開。每輪都拿掉奇數(shù)位置上的骨牌。我們發(fā)

現(xiàn)，骨牌數(shù)目基本上是呈現(xiàn)倍數(shù)縮小。同時我們有一個更重要的發(fā)現(xiàn)，那就是什么

樣的數(shù)字才能確保它的1/2仍然是偶數(shù)。這個自然我們知道是2?，但是當(dāng)2徇=2

時它的一半就是1,在接下來的一輪中就會被拿走。因此我們發(fā)現(xiàn)每一輪操作2為

位置上的數(shù)都會變?yōu)?A(n-l)當(dāng)2徇=1時被拿走。按照這樣的操作，100個多米諾

骨牌每次少1/2,當(dāng)操作6次即剩下的數(shù)目小于2個(100?2人6<2)。根據(jù)上面我

們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，必然是最后留下了2A6=64移動到了第1位也就是僅剩下的1位。

所以答案是100內(nèi)最大的2徇=64

總結(jié)：大家記住這樣一個規(guī)律直線排列最后剩下的是總數(shù)目里面最大的2冊次方

此題300內(nèi)最大的2的n次方就是256

所以如果每次拿走奇數(shù)位置上的骨牌，那么最后剩卜的就是編號256

5.兩人和養(yǎng)一群羊，共nN。到一定時間后，全部賣出，平均每只羊恰好賣了n元。

兩人商定評分這些錢。由甲先拿10元，再由乙拿10元，甲再拿10元，乙再拿10

元，最后，甲拿過之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么甲應(yīng)該給以多少錢？

A.8B.2C.4D.6

【天字一號解析】

這個題目就是一個常識的題目沒有什么可以延伸的空間，所以我就主要介紹一下解

答方法。

X9是總錢數(shù)，分配的時候10元，2次一輪，最后單下一次，說明總錢數(shù)是10

的奇數(shù)倍數(shù)根據(jù)常識，只有個位數(shù)是4,或者6才是十位數(shù)是奇數(shù)，那么個位數(shù)都

是6

說明最后剩下6元乙應(yīng)該給甲10-(10+6)/2=2元

6.自然數(shù)A、B、C、D的和為90,已知A加上2、B減去2、C乘以2、D除以2

之后所得的結(jié)果相同。則B等于：

A.26B.24C.28D.22

【天字一號解析】

結(jié)果相同，我們可以逆推出A,B,C,D

假設(shè)這個變化之后四個數(shù)都是M

那么

A=M—2

B=M+2

C=M/2

D=2M

A+B+C+D=90=4.5M

M=20,則B=20+2=22

7.自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9,P除以9的余數(shù)為8,P除以8

的余數(shù)為7。如果：100<P<1000,則這樣的P有幾個？

A、不存在B、1個C、2個D、3個

【天字一號解析】

根據(jù)題目的條件我們看

P=10X+9=10(X+l)-1

P=9Y+8=9(Y+l)-1

P=8Z+7=8(Z+l)-1

這樣我們就發(fā)現(xiàn)了P+1就是8,9,10的公倍數(shù)

我們知道8,9,10的最小公倍數(shù)是360

則100?1000內(nèi)有2個這樣的公倍數(shù)。

所以滿足條件的P就是360—1=359,

或者720-1=719

8.三個連續(xù)的自然數(shù)的乘積比M的立方少M,則這三個自然數(shù)的和比M大多少()

A2MB4MC6MD8M

【天字一號解析】

方法一：特例法你可以隨便找3個連續(xù)自然數(shù)試試看，

例如1X2X3=6

比6稍大的立方數(shù)是8即2A3=8

8-6剛好是2

所以說明M=2,那么我們看1+2+3=6

6-M=4

可見是2M

方法二：

平方差公式：我們假設(shè)這三個連續(xù)自然數(shù)中間的數(shù)字是a,那么這三個數(shù)字分別

是，

a一1>a,a+1

乘積是aX(a—1)X(a+1)=aX(aA2—1)==aA3-a

跟題目說的比M^3少M條件對比我們發(fā)現(xiàn)M就是a

再看(a—1)+a+(a—1)=3a=3M

可見答案就是2M

9.一個7X7共計49個小正方形組成的大正方形中，分別填上1?49這49個自然

數(shù)。每個數(shù)字只能填1次。使得橫向7條線，縱向7跳線，兩個對角線的共計16

條線上的數(shù)字和相等！則其中一個對角線的7個數(shù)字之和是()

A175B180C195D210

【天字一號解析】

這個題目猛一看好復(fù)雜，其實仔細(xì)看看就會發(fā)現(xiàn)端倪。雖然看上去像是一個幻方問

題或者類似于九宮圖，但是這里并不是讓你關(guān)注這個。

49個數(shù)字全部填入，滿足條件后，我們發(fā)現(xiàn)橫向有7條線產(chǎn)生7個結(jié)果并且相

等。那么這個7個結(jié)果的和就是這7條線上的所有數(shù)字之和，很明顯就發(fā)現(xiàn)了就

是1?49個數(shù)字之和了

，根據(jù)等差數(shù)列求和公式：(首項十尾項)X項數(shù)/2=總和

(1+49)X49/2=25X49

則每條線的和是25X49/7=175

因為對角線和橫線7條線的任意一條的和相同所以答案就是175.

10.把1?100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，從1開始，

順時針方向，留1，擦去2,3,4,留5,擦去6,7,8……(每擦去3個數(shù)，留一個數(shù))。

直到最后剩下的一個數(shù)是多少？

A、47B、48C、49D、64

【天字一號解析】

考察點：周期循環(huán)等比數(shù)列的問題

這個題目考到的可能性不是特別大，但是不排除。就只介紹規(guī)律吧。

主要是看間隔編號的個數(shù)。如該題間隔編號就是1個。例如留1拿走2,留3拿

走4,間隔是1：

以下公式是按照從去1開始的。

那么公式是：2/1X(A—2、)這是最后剩下的數(shù)字rn表示A內(nèi)最大的值A(chǔ)

表示原始的編號總數(shù)。

間隔是2：3/2X(A-3An)

間隔是3：4/3X(A-4An)

間隔是4：5/4X(A-5An)

特別注意的是：此題的A值不是隨便定的必須滿足A-1要能夠除以間隔編號數(shù)

目。否則最后的結(jié)果就是全部被拿走。

該題答案是：按照公式4/3X(100-4^3)=48但是這是按照去1開始得如果是

留1那么答案是48+1=49

11.下列哪項能被11整除？

A.937845678B.235789453C.436728839D.867392267

【天字一號解析】

9+7+4+6+8=34

3+8+5+7=23

34-23=11

所以答案是A

所有的奇數(shù)位置上的數(shù)之和一所有偶數(shù)位置上數(shù)字之和=11的倍數(shù)那么這個數(shù)就

能被11整除。

這類題目屬于數(shù)字整除特性題目我們這里就順便介紹幾個這樣的規(guī)律：

(1)

1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a,總有11a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，aWO,a為整數(shù)，則a。

(2)

若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8,則這個數(shù)能被2整除。

(3)

若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

(4)若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

(5)若一個整數(shù)的末位是0或5,則這個數(shù)能被5整除。

(6)若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

(7)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差

是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需

要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判

斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13—3X2=7,所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷

6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613-9X2=595,59—5X2=49,所以6139是7

的倍數(shù)，余類推。

(8)若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

(9)若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

(10)若一個整數(shù)的末位是0,則這個數(shù)能被10整除。

(11)若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被

11整除。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是:

倍數(shù)不是2而是1!

(12)若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

(13)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差

是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就

需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

(14)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差

是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就

需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

(15)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差

是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就

需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

(16)若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被

17整除。

(17)若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被

19整除。

(18)若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)

能被23整除

12.甲乙二人分別從相距若干公里的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇后各自繼

續(xù)前進(jìn)，甲又經(jīng)1小時到達(dá)B地，乙又經(jīng)4小時到達(dá)A地，甲走完全程用了幾小時

A.2B.3C.4D.6

【天字一號解析】

這個題目只要抓住固定不變的部分，不管他的時間怎么邊速度比是不變的。

假設(shè)相遇時用了a小時

那么甲走了a小時的路程乙需要4小時

根據(jù)速度比=時間的反比

則V甲：V乙=4：a

那么乙走了a小時的路程甲走了1小時

還是根據(jù)速度比=時間的反比

則V甲：V乙=2：1

即得到4：a=a:l

a=2

所以答案是甲需要1+2=3小時走完全程！

13.0,1,1,1,2,2,3,4八個數(shù)字做成的八位數(shù)，共可做成個。

A2940B3040C3142D3144

【天字一號解析】

這個題目我在另外一個排列組合的帖子曾經(jīng)講過！

我們不妨先把這8個數(shù)字看作互不相同的數(shù)字，0暫時也不考慮是否能夠放在最高

位

那么這組數(shù)字的排列就是P(8,8),但是，事實上里面有3個1,和2個2,我們知道

3個1我們在P(8,8)中是把它作為不同的數(shù)字排列的，現(xiàn)在相同了，那我們就必須從

P(8,8)中扣除3個1的全排列P(3,3)關(guān)鍵這里是怎么扣除呢？記住因為全排列

是分步完成的，我們知道在排列組合中，分步相乘，分類相加?？梢姳仨毻ㄟ^除掉

P(3,3)才能去掉這部分重復(fù)的數(shù)字形成的重復(fù)排列。2個2當(dāng)然也是如此

所以不考慮0作為首位的情況是P88/(P33XP22)

現(xiàn)在我們再來單獨考慮0作為最高位的情況有多少種：P77/(P33XP22)

最后結(jié)果就是：P88/(P33XP22)-P77/(P33XP22)=2940

14.A、B、C三本書，至少讀過其中一本的有20人，讀過A書的有10人，讀過B

書的有12人，讀過C書的有15人，讀過A、B兩書的有8人，讀過B、C兩書的

有9人，讀過A、C兩書的有7人。三本書全讀過的有多少人？()

A.5B.7c.9D.無法計算

【天字一號解析】

這個題目我是借鑒的“天使在唱歌”總結(jié)的公式組來解答。根據(jù)題目的不同可以挑

選其中的任意2組或者3組公式答題。

先來介紹一下公式：

X

首先這里不考慮都不參與的元素

(1)

A+B+T=總?cè)藬?shù)

(2)

人+28+31=至少包含1種的總?cè)藬?shù)

(3)

8+31=至少包含2種的總?cè)藬?shù)

這里介紹一下A、B、T分別是什么

看圖A=x+y+z；B=a+b+c；T=三種都會或者都參加的人數(shù)

看這個題目我們要求的是看三本書全部讀過的是多少人？實際上是求T

根據(jù)公式：

(1)

A+B+T=20

(2)

A+2B+37=10+12+15=37

(3)

B+3T=8+9+7=24

(2)-(1)=B+2T=17

結(jié)合(3)

得到T=24-17=7人

15.一個9X11個小矩形組成的大矩形一共有多少個矩形？

A.2376B.1188C.2970D.3200

【天字一號解析】

這個題目其實很簡單，主要是善于抓住題目的關(guān)鍵。這個題目我們看問有多少個矩

形。并不是我們認(rèn)為的就是9X11=99個。事實上上上下下，左左右右可以由很多

小的矩形組成新的大一點的矩形。所以。這個題目看上去比較棘手。那么我們?yōu)楹?/p>

不從矩形的概念入手呢。矩形是由橫向2條平行線?？v向2條平行線相互垂直構(gòu)成

的。

知道這個我們就發(fā)現(xiàn)了解題的方法了，9X11的格子說明是10X12條線。

所以我們?nèi)我庠跈M向和縱向上各取2條線就能構(gòu)成一個矩形。

所以答案就是C10取2XC12取2=2970

16.一個布袋中有35個大小相同的球，其中白、紅、黃三中顏色的球各10個，另

有籃、綠兩種顏色的球分別是3個、2個，試問一次至少取出多少個球才能保證取

出的球中至少有4個是同一顏色？

A、15B、16C、17D、14

【天字一號解析】

這個題目是抽屜原理題目，我們在解答抽屜原理題目的時候要學(xué)會先找到什么是抽

屜。抽屜有幾個？然后還得注意在給抽屜平均分配的時候，會不會出現(xiàn)抽屜個數(shù)減

少等問題。

這個題目我們先找什么是抽屜。很明顯顏色就是抽屜。共計5種顏色，我們就確

定了5個抽屜。每種顏色的抽屜容量是各不相同的，這就導(dǎo)致后面有可能出現(xiàn)抽屜

減少的現(xiàn)象。

要求是至少保證取出的球是4個同一顏色的。

我們最接近的是給每個抽屜放3個。3X5=15

但是請注意，綠色的抽屜容量只有2,所以我們只能放15—1=14個。再放就必然

導(dǎo)致前面的3個抽屜的某一個達(dá)到4個同色了。

此題答案選A

17.22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草,

84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？()

A.50B.46C.38D.35

【天字一號解析】

“牛吃草”的問題主要抓住草每天的增長速度這個變量。至于其原始草量有多少？

不是我們關(guān)心的內(nèi)容，為什么這么說，因為在我們計算的時候，實際上是根據(jù)差值

求草長速度，那么原有的草量在2種情況中都是一樣，差值的時候被相減抵消了。

有些題目可能面積不一樣，但是每畝地的原始草量確實一樣的。

再看這個有面積的題目，其實道理是一樣的。我們只要將不同的轉(zhuǎn)化為相同的，面

積不一樣，但是沒公畝的原有量和每天每畝草長的量是相同的。

根據(jù)這個

條件1：

(22X54)/33這是每公畝的情況

條件2：

(17X84)/28這是每公畝的情況

相減(17X84)/28-(22X54)/33=(84-54)Xaa表示每畝草長速度

解得a=0.5單位依舊是沒頭牛每公畝吃草的單位作為標(biāo)準(zhǔn)單位

最后我們假設(shè)x頭牛24天可以吃完40公畝草

那么挑選上面的一個情況拿過來做對比：

(22X54)/33-24x740=(54-24)X0.5

即可解得x=35頭牛

18.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次

相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距

B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離

A、2B、3C、4D、5

【天字一號解析】

這個題目是關(guān)于多次相遇問題的類型。我先介紹一下多次相遇問題的模型。

例如：有這樣一個多次相遇問題的模型圖

S...................M...............N.......E

SE這段路程，甲從S出發(fā)，乙從E出發(fā)，甲乙兩個人在M處第一次相遇了，相遇

的時候我們知道甲行駛了SM的長度。甲乙路程之和是SE一個完整的路程。

N點是第2次相遇的地點。我們發(fā)現(xiàn)此時從第一次相遇的點M開始到第2次相遇

的點N。

甲走了ME+EN,而乙在跟甲相同的時間下走了MS+SN

我們再次發(fā)現(xiàn)：甲乙兩者路程之和是ME+EN+MS+SN=2SE

是2倍的全程。你可以繼續(xù)研究第3次相遇的情況。或者更多次。我們發(fā)現(xiàn)：

第一?次相遇時，甲的路程或者乙的路程是1份的話。第2次相遇時甲或者乙又行駛

了2倍的第一次的路程。

看上述題目：我們發(fā)現(xiàn)第一次相遇距離A點：4千米。那么我們知道從A出發(fā)的甲

是走了4千米，相遇后2人繼續(xù)行駛，在距離B點3千米處相遇。說明甲又走了2

X4=8千米

畫個圖：

■A.?OOOOOO4.000003.000ooB

我們發(fā)現(xiàn)甲從開始到最后的總路程就是AB+3

也就是3倍的第一次的距離。

所以AB=3X4-3=9千米

那么兩個相遇點之間的距離就是9-4-3=2千米。選A

19.在一條馬路上，小明騎車與小光同向而行，小明騎車速度是小光速度的3倍，

每隔10分有一輛公共汽車超過小光，每隔20分有一輛公共汽車超過小明，如果公

共汽車從始發(fā)站每次間隔同樣的時間發(fā)一輛車，那么相鄰兩車間隔多少分鐘？

A.45B50C.60D.80

【天字一號解析】

我們知道間隔一頂?shù)臅r間就有一輛公交車超過小光或者小明。說明他們之間構(gòu)成了

追擊問題。追擊問題就是時間=路程差/速度差。

再看，當(dāng)汽車追上小光或者小明的時候，下一輛公交車在哪里呢就是公交車發(fā)車間

隔時間的汽車距離。即發(fā)車間隔時間X汽車的速度。這就是汽車跟小光或者小明的

路程差。

所以我們發(fā)現(xiàn)

小光被超過是10分鐘，說明V車一V小光=1/10

(1)

小明被超過是20分鐘

說明V車一V小明=1/20

(2)

我們要求間隔發(fā)車時間，只要知道汽車的速度就可以知道間隔發(fā)車時間了因為我們

這里的汽車發(fā)車間隔距離都是單位1.

上面得到了(1),(2)兩個推斷。同時我們知道小明的速度是小光的3倍

那么(1)X3-(2)=2倍的汽車速度了

則汽車速度就是(3/10-1/20)/2=1/8

則答案是1/(1/8)=8分鐘。

20.一只船從甲碼頭到乙碼頭往返一次共用4小時，回來時順?biāo)热r每小時多行

12千米，因此后2小時比前2小時多行18千米。那么甲乙兩個碼頭距離是多少千

米？

A、36B、45C、54D、60

【天字一號解析】

前2小時是逆水，后2小時是部分逆水+順?biāo)?/p>

如圖：

0.oooooooooooooooooooooooooooooooo2（力、）

2.000OOOXOOOOOOOOOOO順?biāo)?。。。。。?！?時）

我們知道后2小時比前2小時多行18千米

我們看，把部分逆水的跟前2個小時相互抵消，其實后2個小時就是順?biāo)糠直?/p>

逆水多出來的18,我們知道順?biāo)俣让啃r比逆水速度多12千米。那么18千米需

要多少小時？

所以18/12=1.5小時就是順?biāo)畷r間。即X到4小時之間的時間間隔。從而知道逆

水時間是2.5小時。時間比是3：5可見速度比是5：3差2個比例點對應(yīng)12

千米則順?biāo)俣仁?2/2X5=30

答案是30X1.5=45

21.某團(tuán)體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100千米，團(tuán)體中一部分人乘車先行，

余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，

全部人員同時到達(dá)。已知步行速度為8千米/小時，汽車速度為40千米/小時。問使

團(tuán)體全部成員同時到達(dá)乙地需要多少時間？

A、5.5小時B、5小時C、4.5小時D、4小時

【天字一號解析】

這個題目已經(jīng)成為典型的形成模型問題了，這個團(tuán)的人分2部分步行，要得同時到

達(dá)那么必然是步行的路程都相同，乘車的路程也相同。抓住這個我們就好辦了！

根據(jù)題目條件，我先給大家畫個圖

甲.......P.............................Q..............乙

圖中：P是汽車回來接先步行的人的地點

Q是汽車把先乘車的人放下的地點。

那么我們可以看出，甲?P是先步行的人步行的舉例。Q?乙是先乘車的人步行的

舉例

甲?P=Q?乙

在根據(jù)相同時間內(nèi)路程之比=速度比=40:8=5:1

假設(shè)先步行的人步行的舉例為1份，

那么汽車的行駛距離就是5份，我們發(fā)現(xiàn)汽車走得路程是甲?Q?P這段距離是5

份，

已知，甲?p=l份，Q?乙=甲?P=1份

那么全程就是甲乙路程=（5+1+2）/2=4份

則總路程分成4個單位

每個單位是100/4=25

則以先乘車的人為例計算時間是75/40+25/8=5小時

【總結(jié)】這類汽車接送的問題主要是抓住速度之比轉(zhuǎn)換成路程之比，進(jìn)而將問題大

大簡化。

下面提供3道練習(xí)題目！

例一：100名學(xué)生要到離校33千米處的少年宮活動.只有一輛能載25人的汽車，

為了使全體學(xué)生盡快地到達(dá)目的地，他們決定采取步行與乘車相結(jié)合的辦法.已知

學(xué)生步行速度為每小時5千米，汽車速度為每小時55千米.要保證全體學(xué)生都盡快

到達(dá)目的地，所需時間最少是？

例二：有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生

坐車從學(xué)校出發(fā)的同時-，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車

步行，車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮，最終兩個班的學(xué)生同時到

達(dá)少年宮。已知學(xué)生步行速度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車

是50公里/小時，問第一班的學(xué)生步行了全程的幾分之幾？

A.l/7B.l/6C.3/4D.2/5

例三：甲乙兩班同時從學(xué)校去公園，甲步行每小時4千米，乙步行每小時3千米，

學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好只能做一個班的學(xué)生,

為了使這兩個班學(xué)生在最短的時間內(nèi)到達(dá)，那么甲與乙學(xué)生需要步行的距離之比是

0O

A、15：11B、17：22C、19：24D、21：27

22.從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)有()個?

A.25B.23C.17D.7

【天字一號解析】

這個題目我一般都是從問題提到的對象入手，自然數(shù)的約數(shù)？我們知道，求自然數(shù)

約數(shù)無非就是將這個自然數(shù)分解因式然后看構(gòu)成的數(shù)字形成多少個不同的乘積。

那么這個自然數(shù)就可以表示為自然數(shù)=人乂8

A和B都是這個自然數(shù)的因數(shù)，也就是約數(shù)。

很明顯一般情況下自然數(shù)的約數(shù)都是成對出現(xiàn)的，如12=2X6,12=3X4,12=1

X12,2和6是一對，3和4是一對，1和12是一對。既然是成對出現(xiàn)，那么這個

自然數(shù)理論上說它的約數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)個才對?，F(xiàn)在是奇數(shù)個。什么樣的情況會導(dǎo)致

它是奇數(shù)個約數(shù)呢？

我們發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)這個自然數(shù)種一對約數(shù)相等的時候，就會少了1個約數(shù)，即人=8,

那么我們就看出這個自然數(shù)是一個平方數(shù)！

360?630之間的平方數(shù)可以這樣確定，我們知道19的平方是361,25的平方是

625,那么這樣的自然數(shù)就是19?25共計7個自然數(shù)的平方值。

23.王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前1天完成。工作4天后，由于

技術(shù)改進(jìn)，每天可多加工5個，結(jié)果提前3天完成，問，：這批零件有多少個？

A300B280C360D270

【天字一號解析】

這個題目我們可以通過比例法來解決。我們知道當(dāng)A=mXn的時候

當(dāng)A固定，m和n就是成反比，

當(dāng)m固定A和n就是成正比，

當(dāng)n固定，A和m也成正比

看這個題目，注意比較前后2種情況，

情況(1)：每天加工20個提前1天

情況(2)：先工作4天(每天20個)，以后每天是加工25個，可以前3天

我們發(fā)現(xiàn)兩種情況對比

實際上情況(2)比情況(1)提前了3—1=2天

這2天是怎么節(jié)約出來的呢？很明顯是因為后面有部分工作每日工作效率提高了，

所以那部分所用時間縮短了

根據(jù)4天后剩下的總工作量固定。時間之比=每日效率的反比=20：25=4：5

5-4=1個比例點。即所提前的時間2天，1個比例點是2天。說明每日工作20

個所需時間是對應(yīng)的5個比例點就是2X5=10天，意思就很清楚了，當(dāng)工作4天

后，如果不提高效率，還是每天20個，那么需要10天時間

所以這個題目的總工作量是20X(10+4)=280個

此題描述比較煩瑣，但是比例法確實是一種快速解答問題的方法，希望大家能夠花

點時間去研究一下。

24.某工作組有12名外國人，其中6人會說英語,5人會說法語,5人會說西班牙語;有

3人即會說英又會說法，有2人既會說法又會說西;有2人既會說西又會說英;有1人

這三種語言都會說.則只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多：

AlB2C3D5

【天字一號解析】

在前面的有道題目種我們總結(jié)了幾個公式：

(1)A+B+T=總?cè)藬?shù)

(2)人+28+31=至少包含1種的總?cè)藬?shù)

(3)8+31=至少包含2種的總?cè)藬?shù)

(4)T是三者都會的

這里介紹一下A、B、T分別是什么

看圖A=只會1種的總?cè)藬?shù)；B=只會2種的總?cè)藬?shù)；T=三種都會或者都參加的

人數(shù)

根據(jù)題目我們得到如下計算：

(1)A+B+T+P=12

(P表示一種都不會說的)

(2)A+2B+3T=6+5+5=16

(3)B+3T=3+2+2=7

(4)T=1

我們可以很輕松的得到B=4,A=5

T=1

那么P=2

答案就是A-P=5-2=3

25.為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。

某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗,

已知一條路的長度是另…條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少

2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：（）

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

【天字一號解析】

這個題目是2006年的一道國考試題，題目看上去非常的煩瑣復(fù)雜，還加上了植樹問

題。其實這就考驗我們?nèi)绾文軌蚧睘楹喌哪芰Γ踔劣行?shù)字更本可以不用。

我們先對題目進(jìn)行分析。他提供給我們2種情況：

情況（1）：每隔4米栽1棵，則少2754棵

情況（2）：每隔5米栽1棵，則多396棵

我們知道這2條馬路的總長度是固定不變的，我們可以通過這2種情況先求出總長

度。

4和5的最小公倍數(shù)是20米也就是說每20米情況（1）就要比情況（2）多栽1

棵樹。

那么這2種情況相差多少顆樹

就說明有多少個20米。

據(jù)題意得

情況（1）跟情況（2）相差2754+396=3150棵樹

說明總距離是3150X20=63000米

我們在回頭拿出其中一種情況來分析，就選情況（2）

每隔5米栽1棵，還多出396棵，不考慮植樹問題，我們先理論的計算一下。

63000/5+396=12996棵

這個時候還需要小心我們必須注意2條馬路是4個邊，根據(jù)植樹原理，每個邊要多

出1棵所以答案應(yīng)該是12996+4=13000棵

26.一輛車從甲地開往乙地，如果提速20%,可以比原定時間提前一小時到達(dá)。如

果以原速走120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分鐘到。那么甲、乙兩

地相距多少千米？

A、240B、270C、250D、300

【天字一號解析】這個題目依然可以采用比例法來計算：

從第一句話我們看到

提速之后的速度比是

5：6

那么時間比就是6：5

差1個比例點對應(yīng)的是1小時。

所以可見原速度行駛的話就是1X6=6個小時了

再看原速度走了120千米。剩下的路程速度提高25%,那么提高后的速度比是4：

5,

那么剩下部分路程所需時間之比是5：4差1個比例點對應(yīng)的就是40分鐘（2/3

小時）

那么可以得到如果是原始速度行駛所需時間就是5X2/3=10/3小時。

前面我們知道原始速度行駛需要6小時-。后面部分需要10/3小時則120千米需要

6-10/3=8/3小時

這個時候我們再看：8/3走120千米，6小時走多少千米呢

8/3:120=6:xx=270千米。

27.有一個四位數(shù)，它的4個數(shù)字相乘的積是質(zhì)數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個?

A4個，B8個C16個D32個

【天字一號解析】

這個題目主要是抓住數(shù)字的特殊性質(zhì)

結(jié)合其概念來作出有利于解答的判斷。

我們發(fā)現(xiàn)四個數(shù)字之和是質(zhì)數(shù)，從質(zhì)數(shù)的概念除法，質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有1和它本身

由此我們可以肯定這四個數(shù)字中只出現(xiàn)2個不同的數(shù)字就是1和一個質(zhì)數(shù)。就是乘

積。

可見這四個數(shù)字中有3個1,另外一個是質(zhì)數(shù)個位數(shù)是質(zhì)數(shù)的有，2,3,5,7這四

個。

根據(jù)排列組合從四個質(zhì)數(shù)里面選出1個，放入四位數(shù)種的任意一個位置。

可見答案是C4,1XC4,1=16個

28.一隊法國旅客乘坐汽車去旅游中國長城，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等.起初

每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開走，那么所有旅

客正好能平均分乘到其他各車上.已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有（）

名旅客

A、507B、497人C、529人D、485人

【天字一號解析】

這個題目我覺得就是一個數(shù)字游戲，還是考察的質(zhì)數(shù)概念問題。

還是看情況

情況（1）：每輛車子22人，多出1人

情況（2）：開出1輛車子，剛好平均。

我們看如果開出1輛車子我們還是按照每輛車子22人,那么就多出22+1=23

人

注意：23人是質(zhì)數(shù)

不能分解因式，所以所以23人如果要能被平均分配到剩下的車子上，說明每輛車

子只能再添1人。不能添23人因為車子的最大容量是32人如果再添23人那就是

45人超出容量了。

好，分析到這里我們就知道開走1輛車子還剩下23輛剛好每輛1人。所以原來

是24輛車子。那么總?cè)藬?shù)就是22X24+1=529人

29.如果2斤油可換5斤肉，7斤肉可換12斤魚，10斤魚可換21斤豆，那么27斤

豆可換（）油。

A.3斤B.4斤C.5斤D.6斤

【天字一號解析】

這個題目看上去很好玩，就好像古代尚未有錢幣的時候商品的流通就是通過這樣的

等價交換。

我們發(fā)現(xiàn)起始的油換肉。最重又回來了豆換油。形成了一個循環(huán)。

我們可以將兌換左邊的物品放在一起，兌換右邊的物品放在一起就構(gòu)成了一個等式

關(guān)系。

如：2X7X10X27=5X12X21XA,這樣很容易解答出A=3

答案就是A了

30.若干名家長(爸爸或媽媽，他們都不是老師)和老師陪同一些小學(xué)生參加某次

數(shù)學(xué)競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽

媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

A.3B.4C.5D.6

【天字一號解析】

這個題目除了總?cè)藬?shù)沒有一個準(zhǔn)確的數(shù)值，而問題確實要求一個確切的數(shù)值，由此

我們可以肯定這是一個完全符合極限法的題目，所以的數(shù)值只能有一個數(shù)值滿足。

那么我們就開始按照極限法來假設(shè)。

總?cè)藬?shù)22,

(1)家長比老師多，那么家長至少12人老師最多10人

(2)媽媽比爸爸多，那么說明媽媽至少7人，爸爸最多5人

(3)女老師比媽媽多2人那么女老師至少7+2=9人，因為老師最多10人。說

明男老師最多就是1人，

(4)至少有1名男老師。跟(3)得出的結(jié)論形成交集就是男老師就是1名。

以上情況完全符合假設(shè)推斷。所以爸爸就是5人

31.某路公共汽車，包括起點和終點共有15個車站，有一輛車除終點外，每一站上車的

乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下車，為了使每位乘客都有座位，問這輛公共

汽車最少要有多少各座位？

A53B54C55D56

【天字一號解析】

這個題目實際上是尋找何時是峰值，我們按照題目的要求，所有的條件都是選擇最

小數(shù)字完成，那么就符合題目的要最少需要安排多少個座位。

題目要求：汽車駛出起始站在后面的每站都有人下車，一直到最后一直站。那說

明起始站上車的最少人數(shù)應(yīng)該是14人(確保每站都有一個人下車)

同理要的前面上車的人后面每站都有1人下車，說明第1站上車的人至少是13

人。以此類推。第2站是需要12人，第3站需要11人。。。

我們看車子上面什么時候人數(shù)最多。當(dāng)上車人數(shù)＞=下車人數(shù)的時候車子上的人一

直在增加。知道相等達(dá)到飽和。

我們看到上車的人數(shù)從起始站開始，下車的人數(shù)也是從起始站開始。列舉一下

起始站(上車)：14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

起始站(下車)：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,........

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)上車人數(shù)=7的時候下車人數(shù)也是7

達(dá)到最大值

所以答案是

14+(13-1)+(12-2)+(11-3)+(10-4)+(9-5)+(8-6)=56人

32.自然數(shù)乘1999,末尾6位數(shù)都是9,是哪個數(shù)？()

A.2001B.2011C.2111D.20001

【天字一號解析】

此題看上去貌似很復(fù)雜，其實還是我們常見的考察知識點

我們知道這個數(shù)末尾6個數(shù)字全是9,如果這個數(shù)字+1,那么末尾6個數(shù)字應(yīng)該

都是0了

我們根據(jù)平方差公示這個數(shù)的開方應(yīng)該是3個0

AA2-1=(A+1)*(A-1)

因為一個數(shù)字是1999

只能是A-1=1999

A=2000

那么另外一個數(shù)字就是A+1=2001

選A

33.參加會議的人兩兩都彼此握手，有人統(tǒng)計共握手36次，到會共有()人。

A.9B.10C.11D.12

【天字一號解析】

每個人握手的次數(shù)是N—1次，N人就握手了NX(N—1)次但是每2個人之間按

照上述方法計算重復(fù)了…次。所以要除以2,即公式是NX(N—1)+2=36這

樣N=9

如果不理解。我們還可以這樣考慮

假設(shè)這些人排成一排。第一個人依次向排尾走去。一個一個的握手。第2個人跟著

第一個人也是這樣。第一個人是N—1次。第2個人是N—2次第3個人是N—3

次

.....翻第2人是1次，最后一個人不動，所以他主動握手的次數(shù)是0次。

這樣我們就看出這些人握手的次數(shù)是一個線段法則規(guī)則我在我的45題練習(xí)里面解

析了關(guān)于線段法則的運用情況

即總握手次數(shù)就是1+2+3+4+5+、、、、、、+N-1計算公式就是(首項十尾

項)X項數(shù)+2

當(dāng)然如果是這樣的題目你還可以通過排列組合計算這么多人中任意挑出2人即

多少種就有多少次握手：Cn取2=36也就是NX(N—1)+2!=36解得N

=9這個只適用于比較簡單的握手游戲取2如果C取值大于2則就不要用排列

組合了，

例如這樣一道例題：

某個班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握

手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學(xué)有()人

A、16B、17C、18D、19

【天使在唱歌解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理

在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3=152但是在計算X時卻是

相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔?xì)來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握X—

3次手。每個人都是這樣。則總共握了xX(x-3)次手。但是沒2個人之間的握手

都重復(fù)計算了1次。則實際的握手次數(shù)是xX(x-3)4-2=152計算的x=19人

34.商場的自動扶梯勻速自下而上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的

扶梯上，男孩每秒向上行走2個階梯，女孩每2秒向上走3個階梯。如果男孩用40

秒到達(dá)，女孩用50秒到達(dá)，則當(dāng)電梯停止時，可看到的扶梯級有：

A80B100C120D140

【天字一號解析】

關(guān)于電梯問題實際上也是一種行程問題，而不是我們所理解的“牛吃草”問題：但

跟行程問題卻又很大的不同！下面就來說說其不同之處！

行程問題里面我們常見的有2種

一種是相遇問題：同時想向而行！何時相遇的行程問題。

一種是追擊問題：是一個人在另外一個人的前面，兩個人同方向走。后面的人速度

快，前面人速度慢，什么時候能追上的問題。

我們先分析2種模型：

（1）：人的方向跟電梯方向同向

,當(dāng)人在扶梯的底端開始往上走。而扶梯也是自動往上走，方向相同，我們發(fā)現(xiàn)雖

然方向相同，但是扶梯是幫助人往同一個方向走的。并且共同走過了扶梯的總級數(shù),

說明（人的速度+扶梯的速度）X時間=扶梯級數(shù)，這就好比行程問題里面的相遇

問題。這不過這里的方向是同向。

（2）：人的方向跟電梯方向