小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究

《小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究》

第一章有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”的疑難問題

第一節(jié)數(shù)的認(rèn)識與大小比較

A1-1自然數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義與在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的說明有什么不同？

【自然數(shù)】“數(shù)”（shiO起源于數(shù)（shti）,?個、?個地數(shù)東西。由此而產(chǎn)生的用來表示物體個數(shù)

就叫自然數(shù)。零表示沒有東西可數(shù)，零也是一個自然數(shù)?！?”是自然數(shù)的單位。任何一個自然數(shù)都是由

若干個"1”組成的。

【自然數(shù)的產(chǎn)生】自然數(shù)概念的產(chǎn)生，經(jīng)過了漫長的歲月。首先，產(chǎn)生的是“有”、“無”的概念。

原始人在打獵、捕魚或采集果實時，對于獵物或果實的有、無是最為關(guān)心的。然后，“有”的概念進一步

分化為“多”和“少”。為了比較多少而使用一一對應(yīng)的方法時;必然會遇到'‘同樣多”的物體集合（即

等價集合）。等價集合被歸入一類，并且從中選出一個大家熟悉的集合來表示這類集合的共同性質(zhì)。其實

質(zhì)就是用具體的集合形象地表示數(shù)目的多少。例如，用一個人的耳朵的集合作為一類等價集合的代表。

逐漸地，這類等價集合被稱為“耳”。最后，脫離具體的事物集合，用專門術(shù)語表示一類等價集合的共同

性質(zhì)。于是，“耳”就演化為“二、自然數(shù)“二”的概念就這樣產(chǎn)生了。（圖1—1）

用具體集合來表脫離具體集合，出

示一類等價集合

現(xiàn)專門名詞（如

的共同性質(zhì)（如

“耳”）“二”）

圖I

表示自然數(shù)的名詞，許多都是從常見的實物演變而來的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”

與波斯語的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手

二”等等。這些事實都說明自然數(shù)的概念來源于實踐。

【弗萊格一羅素的自然數(shù)定義】1884年，德國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家弗萊格（FLGFrege1848—1925）

在他的著作《算術(shù)基礎(chǔ)》中，最先給出了自然數(shù)的定義。但這個成果當(dāng)時少為人知。直至1902年，英國

數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（B.A.W.Russell1872-1970）重新給出這個定義。在他們作出的被后

人稱之為“弗萊格―羅素的自然數(shù)定義”中，將每?個自然數(shù)定義為“可以建立-一對應(yīng)的所有的有限

集組成的集能和有限集A建立一一對應(yīng)的（即和A等價的）所有集組成的集稱為“集A的基數(shù)”。

記為A。即

A={B|B~A]

其中，~表示集的等價關(guān)系。為了使自然數(shù)的這個定義通俗易懂，有些用于教師教育的《小學(xué)數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)理論》教科書將每一個自然數(shù)定義為“可以建立一一對應(yīng)的一類有限集的共同性質(zhì)”。以往的人教版小

學(xué)數(shù)學(xué)教科書在教學(xué)“5的認(rèn)識”時，首先引導(dǎo)小學(xué)生觀察畫面上的五位解放軍、五匹馬、五支槍，以及

五根小棒、五粒算珠、五顆五角星等不同的物體集合。然后，引導(dǎo)小學(xué)生尋求這些物體集合的共同點：“它

們都是五個“?！拔濉本褪沁@些物體集合的共同性質(zhì)。從而初步形成自然數(shù)“五”的概念?？梢?，小學(xué)生

時自然數(shù)的基數(shù)意義的認(rèn)識，和弗萊格-羅素的自然數(shù)定義實質(zhì)上是一致的。

【皮亞諾公理】為了建立自然數(shù)的公理化體系，意大利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家G皮亞諾（G.Peano1858

-1932）在1891年給出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理：

①0是一個自然數(shù)。

②0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)。

③每一個自然數(shù)a都有一個繼數(shù)。

④如果自然數(shù)。與。的繼數(shù)相等，則。、。也相等。

⑤（數(shù)學(xué)歸納法公理）如果一個由自然數(shù)組成的集合S包含0,并且當(dāng)S包含某一個自然數(shù)。時，它

一定也含有。的繼數(shù)，那么5就包含全體自然數(shù)。

皮亞諾的這一公理系統(tǒng)被稱之為“皮亞諾公理”，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)分析算術(shù)化運動的終結(jié)。

參考書

DQ《中國大百科全書數(shù)學(xué)〉〉中國大百科全書出版社1988年11月第1版，P220;321—322;

461;51a

②《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》上海教育出版社1986年5月第1版，P1-33L

的《邏輯與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》金成梁著，北京師范大學(xué)出版社2001年9月第1版，P19-2a

A1-2自然數(shù)的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么不同？

【基數(shù)】當(dāng)自然數(shù)0,1,2,……用來表示有限集合中元素的個數(shù)時，這樣的數(shù)叫做“基數(shù)”。如

“這幢住宅樓是5層樓”這里的“5”就是基數(shù)。

【序數(shù)】當(dāng)自然數(shù)被用來表示事物的排列次序時，這樣的數(shù)就叫做“序數(shù)”。如“我住在這幢住宅

樓的5樓”，這里的“5”就是序數(shù)，表示“第5”的意思。

上體育課時排成一列橫隊“報數(shù)”，排頭從“1”開始，報到排尾是“35”，那么這個“35”既表示這

-隊學(xué)生共有35人，也表示排尾的學(xué)生是第35個。

在一個句子里出現(xiàn)的自然數(shù)究竟是基數(shù)、還是序數(shù)，要根據(jù)語言環(huán)境（即上下文）來判定。

A1-3自然數(shù)、正整數(shù)和整數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

【正整數(shù)】一個、一個地數(shù)東西而產(chǎn)生的、用來表示物體個數(shù)的數(shù)1,2,3,……也叫正整數(shù)。當(dāng)

我們數(shù)每一棵蘋果樹上有多少個蘋果時，可能遇到一個蘋果也沒有的情形。要數(shù)的東西一個也沒有，就

用“0”表示。0與正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)。

【負(fù)整數(shù)】為了表示現(xiàn)實世界中具有相反意義的量，人們引用了正數(shù)與負(fù)數(shù)。如“盈利5元”用

“+5元”表示，“虧損5元”就用“一5元”表示。

這種在一個數(shù)前添加的表示它的“正”、“負(fù)”的符號叫做“性質(zhì)符號”。添加了性質(zhì)符號“+”或“一”

的數(shù)分別稱為“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”?！?”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。正數(shù)中的正號可以省略不寫。添加了

負(fù)號“一”的正整數(shù)叫做負(fù)整數(shù)。

【整數(shù)】正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱“整數(shù)”。(如圖1-2)

負(fù)整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)

nZ?.獨粉J震"然數(shù)

93,乙,1,0,+1,+2,+3,-

I自然數(shù)JI負(fù)整數(shù)

整數(shù)

圖1—2

【皮亞諾的整數(shù)系】皮亞諾在構(gòu)造了自然數(shù)系的公理后，又構(gòu)造了整數(shù)系。

首先，用自然數(shù)偶(m,〃)表示整數(shù)：

用(m+n,機)表示正整數(shù)〃；

用(m，"?)表示數(shù)0；

用(機，m+n)表示負(fù)整數(shù)一”。

第二步，定義數(shù)偶的加法、乘法與大小關(guān)系：

(/n,n)+(k,l)=(m+k,n+l);

(m,n)■(,k,l)=(mk+nl,ml+nk);

(",")<(/,/)當(dāng)且僅當(dāng)m+Kn+k.

可以證明：經(jīng)過這樣定義的整數(shù)集滿足加法與乘法的結(jié)合律、交換律和乘法對加法的分配律。它包含有

數(shù)0,對任何整數(shù)〃，有

0+"="

還包含了單位元素1,對任何整數(shù)〃，有

1,n-n

對于任何整數(shù)〃?、n,方程用+x=〃總有唯一解。并且整數(shù)集關(guān)于“<”構(gòu)成一個有序集。

參考書

《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》上海教育出版社1986年5月第1版，Pl-30%

A1-4為什么以前規(guī)定“零不是自然數(shù)”，現(xiàn)在又規(guī)定“零是自然數(shù)”？

1891年，意大利數(shù)學(xué)家G?皮亞諾在建立自然數(shù)的公理化體系時，給出的第一個公理就是“0是一

個自然數(shù)”?？梢姡跉W美各國的學(xué)術(shù)界，這樣的觀點處于主導(dǎo)地位。

1949年中華人民共和國成立后，歐美的一些主要國家聯(lián)合起來，對我國實行經(jīng)濟封鎖。導(dǎo)致我國與

原蘇聯(lián)訂立“中蘇友好互助同盟條約”，并且提出“向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)”的口號。許多學(xué)科的教學(xué)大綱和教科書

都是參照蘇聯(lián)的版本編譯的。M?K格列本卡著高等學(xué)校教學(xué)用書?！端阈g(shù)》P6中明確指出：數(shù)(shtl)

樹上的蘋果時.，可能某一棵樹上一只蘋果也沒有。這時我們就說這棵樹上的蘋果數(shù)目為零。零就是沒有

東西可數(shù)。零作為一個數(shù)，不屬于自然數(shù)。

于是，“零不是自然數(shù)”的判斷在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中廣為傳播。

20世紀(jì)80年代以來，為了實行對外開放，便于國際交流，在科技與教育上和國際接軌，在1993年

頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》(GB3100-3102-93)《量和單位》(11-29)第311頁，規(guī)定：自然數(shù)包

括零。隨后，在進行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的修訂時，根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進行了修改。數(shù)物體時如果一個物體

也沒有，就用0表示。0也是自然數(shù)。

1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)，物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號》

中，將自然數(shù)集記為心{0,1,2,3,…}。而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集

N+(或N*)={1,2,3,…}

自然數(shù)集擴充后，自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之發(fā)生變化，如自然

數(shù)加法與乘法的定義中要去掉原有的“非空”二字，對于與自然數(shù)有關(guān)的命題的論證，應(yīng)隨自然數(shù)擴充

后作相應(yīng)調(diào)整。如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是：

1"驗證"=0時，命題成立；

2。假設(shè)〃=4—1時命題成立，證明〃4時命題仍然成立。

從而與G?皮亞諾1891年給出的關(guān)于自然數(shù)的公理⑤一致。

科學(xué)概念的定義，它的內(nèi)涵與外延的明確界定，本來就是一種人為的規(guī)定。它可以隨著科學(xué)、技術(shù)

的發(fā)展而由權(quán)威科學(xué)家的群體重新定義。不久前，天文學(xué)家對“行星”的重新定義使得冥王星不再是我

們這個太陽系的九大行星之一。

【自然數(shù)的分類】規(guī)定“0是自然數(shù)”后，自然數(shù)按約數(shù)個數(shù)的分類也將發(fā)生變化(如圖1-3)：

「質(zhì)數(shù)(有且只有2個約數(shù))

0,1

合數(shù)(有3個或3個以上的約數(shù))

約數(shù)合數(shù)1(只有1個約數(shù))

I0(0以外的任何數(shù)都是它的約數(shù))

自然數(shù)

圖1-3

參考書

高等學(xué)校教學(xué)用書《算術(shù)》，M-K?格列來卡著，商務(wù)印書館，1957年4月5日版

A1-5“自然數(shù)集”、“自然數(shù)列”和“擴大的自然數(shù)列”有哪些區(qū)別和聯(lián)系？自然數(shù)

列有哪些基本性質(zhì)？

【自然數(shù)集】所有的自然數(shù)組成的集合叫做“自然數(shù)集”。

【集合概念】與【非集合概念】“自然數(shù)”和“自然數(shù)集”是兩個不同的概念。我們可以說“3是自

然數(shù)”，但不能說“3是自然數(shù)集”。因為“自然數(shù)集”是一個集合概念，即從整體上反映一個集合體的概

念?！白匀粩?shù)”則是非集合概念。

作為練習(xí)，試區(qū)分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念：

(1)到A、B兩點距離相等的點；

(2)到A、B兩點距離相等的點的軌跡；

(3)中國數(shù)學(xué)家；

(4)中國數(shù)學(xué)協(xié)會。

【自然數(shù)列】將所有的自然數(shù)按照從小到大的順序排成一列,

0,1,2,3,…

這樣的一列數(shù)叫做自然數(shù)列?！白匀粩?shù)列”和“自然數(shù)集”都必須包括所有的自然數(shù)，但它們的區(qū)別就在

于自然數(shù)集不講究所含元素的順序，而自然數(shù)列中所有的自然數(shù)都必須按照從小到大的順序排列。只要

有一處違反了這樣的順序，如0,2,1,3,……，它就不是自然數(shù)列。當(dāng)然，少了一個自然數(shù)的數(shù)集或

數(shù)列也不再是自然數(shù)集或自然數(shù)列。

【自然數(shù)列的性質(zhì)】自然數(shù)列有以下性質(zhì)：

（1）有始。自然數(shù)列是從0開始的。0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)；

（2）有序。每一個自然數(shù)都有且只有一個繼數(shù)；除了0,每個自然數(shù)都有且只有一個先行的數(shù)；

（3）無限。自然數(shù)列是一個無限數(shù)列。沒有最后的（或者說最大的）自然數(shù)。

【擴大的自然數(shù)列】這是一個應(yīng)該消亡的數(shù)學(xué)名詞。當(dāng)我們認(rèn)為“0不是自然數(shù)”時，把

1,2,3,......

叫做“自然數(shù)列”。而將

0,1,2,3,......

稱為“擴大的自然數(shù)列”。現(xiàn)在，國家標(biāo)準(zhǔn)重新規(guī)定“0是自然數(shù)”，因此，后者順理成章地應(yīng)該稱之為“自

然數(shù)列”?！皵U大的自然數(shù)列”作為一個數(shù)學(xué)名詞已經(jīng)不再需要。

A1-6“計數(shù)”、“記數(shù)”、“數(shù)數(shù)”、“寫數(shù)”、“讀數(shù)”各指什么？什么是計數(shù)的基本原

理？為什么我們的計數(shù)制和記數(shù)制都是十進制？

【計數(shù)（count）］【數(shù)數(shù)】“計數(shù)”就是“數(shù)數(shù)”。指的是把一些事物與非負(fù)自然數(shù)列里的數(shù)1,2,

3,……建立——對應(yīng)的過程。

【計數(shù)原理（countingprinciple）］計數(shù)的基本原理如下：

只要不遺漏、不重復(fù)，計數(shù)的結(jié)果與計數(shù)的順序無關(guān)。

【十進制計數(shù)法】計數(shù)時，可以一個，一個地數(shù)，也可以幾個、幾個地數(shù)。如二個、二個地數(shù)；

五個、五個地數(shù)；十個、十個地數(shù)等。二、五、十等都是計數(shù)單位。用一（個）、十、百、千、萬、……

等作為計數(shù)單位的計數(shù)方法叫做十進制計數(shù)法。這時，每十個較低的計數(shù)單位等于一個較高的單位。

實際運用十進制計數(shù)法時，要從盡可能大的計數(shù)單位數(shù)起。如數(shù)一盤草莓，先十個、十個地數(shù)，剩

下不足十個時;再一個、一個地數(shù)。最后弄清這盤草莓的個數(shù)是幾個十、幾個一。（這里的“幾”應(yīng)該是

不大于9的自然數(shù)。）運用十進制計數(shù)法，我們就可以弄清一個自然數(shù)N是由幾個、幾個十、幾個百、

幾個千、……組成的。這里的“幾”都是不大于9的自然數(shù)。用符號表示就是

N=a。,10"+%?10"?+出■10"-+…+cin_\"10+>

其中，0<即近9,OWtZ］,…，*W9。

【記數(shù)】【寫數(shù)】“記數(shù)”就是“寫數(shù)”。指的是如何用數(shù)字符號將一個數(shù)N（或者計數(shù)的結(jié)果）

記錄下來。

【十進制記數(shù)法】當(dāng)我們用十進制計數(shù)法弄清了一個數(shù)的組成后，就可以按照十進位記數(shù)制用數(shù)

字符號0,1,2,9把這個數(shù)記錄下來。

山于自然數(shù)有無限多個，要對每一個自然數(shù)都給一個獨立的名稱和記號是不可能的?，F(xiàn)在國際上通

用的記數(shù)方法是用

0,1,2,…，9

分別表示自然數(shù)列里的前十個數(shù)。其它自然數(shù)則用這些數(shù)字按“位值原則”表示出來。即每個數(shù)字占有

一個位置，叫做“數(shù)位”。每個數(shù)位表示?種計數(shù)單位。同一個（0以外的）數(shù)字在所記的數(shù)里位置不同，

所表示的數(shù)值也不同。

在所記的數(shù)里，從右向左，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，……。個位的計數(shù)單位

是一，十位的計數(shù)單位是十，百位的計數(shù)單位是百，……。如果一個數(shù)是由八個百、三個十和五個一組

成的。就把它寫作835。?般地，如果一個自然數(shù)

,10'+<2,,10"+ci-,,10”-+■??+ci?,10+cz?

其中，OV4W%0W/,…，%W9。則此自然數(shù)就寫作％%的…即t%。因為每兩個相鄰數(shù)位的計

數(shù)單位的進率都是十，所以這種記數(shù)的方法叫做十進制記數(shù)法。

A1-7“數(shù)”和“數(shù)字”的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

【數(shù)字（numerals）】用來記數(shù)的符號叫做“數(shù)字”。

數(shù)和數(shù)字是兩個不同的概念。數(shù)或為單數(shù)、或為雙數(shù)，或為質(zhì)數(shù)、或為合數(shù)。數(shù)字或為羅馬數(shù)字、

或為阿拉伯?dāng)?shù)字，或為手寫的數(shù)字、或為印刷的數(shù)字。事實上，數(shù)字并不是數(shù)，而是表示數(shù)的記號。數(shù)

是數(shù)字所表達的內(nèi)容而不是數(shù)字本身。

中國是世界上的文明古國之一。用文字記數(shù)在我國已有悠久的歷史。早在三千多年前的商代的甲骨

文里，就已經(jīng)記有數(shù)字。其中記載的最大的數(shù)是“三萬”，最小的數(shù)是“一”。一、十、百、千、萬各有

專名。特別是當(dāng)時已經(jīng)采用了十進制的記數(shù)方法，這和現(xiàn)在世界通用的“十進制記數(shù)法”是?致的。

A1-8說“43”是數(shù)而不是數(shù)字對嗎？

表示數(shù)的符號叫做數(shù)字。因為“43”是一個數(shù)學(xué)符號，在十進制記數(shù)法中，用來表示由四個十與三

個一組成的自然數(shù)，所以它是?個數(shù)字。是由數(shù)字“4”與“3”排成一列組成的“復(fù)合數(shù)字”。此外，在

許多上下文中，43也確實可以表示一個數(shù)，由四個十與三個一組成的數(shù)。

另一方面，在一定的語言環(huán)境中出現(xiàn)的數(shù)字“43”，也可以用來表示一個k進制的自然數(shù)，即四個女

與三個一組成的數(shù)。在這里，因為出現(xiàn)了數(shù)字“4"，所以

總之，“43”既是一個數(shù)，也是一個數(shù)字。當(dāng)它在一個語句中出現(xiàn)時，究竟何所指，要看特定的語言

環(huán)境。

A1-9“數(shù)的組成”、“數(shù)的名稱”和“數(shù)的讀寫”有什么聯(lián)系?

【數(shù)的組成】我們在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識某個范圍內(nèi)的自然數(shù)時，首先要認(rèn)識這些數(shù)的組成。如認(rèn)識?

個千以內(nèi)的數(shù)，要弄清它是由幾個百、幾個十與幾個一組成的。可以先用計數(shù)單位“百”一百、一百地

數(shù)。剩下的不足一百個時，再用計數(shù)單位“十”十個、十個地數(shù)。最后，如果剩下的不足十個，再一個、

一個地數(shù)。即用十進制計數(shù)法弄清數(shù)的組成。

【數(shù)的名稱】每一個自然數(shù)的名稱都是根據(jù)它的組成規(guī)定的。為此，制定了根據(jù)自然數(shù)的組成來

為它命名的規(guī)則。同時，也制定了按十進制位值原則用數(shù)字符號0,1,2,9來表示一個自然數(shù)的規(guī)

則（“寫數(shù)規(guī)則”），也就是“十進制記數(shù)法”。

所謂“讀”，就是根據(jù)?個數(shù)的符號，說出它的名稱；所謂"寫”，就是根據(jù)一個數(shù)的名稱寫出表示

這個數(shù)的數(shù)字符號?！白匀粩?shù)的讀寫”就是一個數(shù)用自然語言和用符號語言的兩種表述之間的相互改寫。

如圖（1—4）所示：

數(shù)的名稱

讀寫

數(shù)的符號

（十進制記數(shù)法）

圖1—4

總之，數(shù)的組成是用十進制計數(shù)法計數(shù)的結(jié)果，數(shù)的組成是給這個數(shù)命名的依據(jù)，也是用數(shù)字符號

表示這個數(shù)的依據(jù)。因而也是數(shù)的讀寫的基礎(chǔ)?？梢?，數(shù)的組成是認(rèn)數(shù)教學(xué)的核心問題。

A1-10“十進制”和“二進制”的相同點和不同點有哪些？

【進位制】如果在所用的一系列計數(shù)單位中，每十個某單位都組成一個和它相鄰的較高的單位，

即所謂“滿十進?”，那么這種計數(shù)制就是“十進制”。如果是“滿二進?”，就是“二進制”，十進制和

二進制都是“進位制”。十和二分別是這兩種進位制的基數(shù)。進位制的基數(shù)可以是大于1的任何自然數(shù)。

運用十進制計數(shù)法，我們可以將任何一個自然數(shù)N表為

a。T0"+%TO"??10"~+…+,10+

其中，0<〃0<9；0W〃i，…，%<9。

運用二進制計數(shù)法，可將自然數(shù)表為

a。,2"+,2"'+a,?2"~+…+?2+

其中，>0W。］,…，4nWl。

可見，十進制和二進制都可以將一個自然數(shù)分解為不同底數(shù)的幕的和。

在十進制記數(shù)法中，我們用十種不同的數(shù)字0,1,2,9按照位值計數(shù)法來表示不同的自然數(shù)。

在二進制記數(shù)法中，只用兩個不同的數(shù)字0,1就能表示任何自然數(shù)。表示自然數(shù)列中前幾個數(shù)的二進制

數(shù)字與十進制數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系如下表：

十進制數(shù)0123456789.??

二進制數(shù)01101110010111011110001001???

因此，作為記數(shù)法，他們運用的不同數(shù)字的個數(shù)不同；表示同一個自然數(shù)時，所需數(shù)位的個數(shù)也不

同。

A1-11“精確數(shù)”和“近似數(shù)”、“相對誤差”和“絕對誤差"以及"有效數(shù)字”和

“可靠數(shù)字”有什么區(qū)別？什么是科學(xué)記數(shù)法？（李同賢）

【準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)】在計數(shù)和計算過程中，有時能得到與實際完全相符的數(shù)，這些數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)，

如某校的數(shù)學(xué)教師有15人、6X12=7.2等等，但在生產(chǎn)、生活和計算中得到的某些數(shù)，往往只是接近于

準(zhǔn)確數(shù)，這種數(shù)叫近似數(shù)。如“某市人口有75萬，”75萬就是一個近似數(shù)。因為在統(tǒng)計一個城市的人口

時，由于居民的遷入和遷出，出生和死亡，人口的數(shù)目隨時都在變化，很難得出準(zhǔn)確的人口數(shù)。在計算

圓周長的公式里，圓周率小可以用3.14代入計算，3.14也是0的近似數(shù)。

可見，準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)主要區(qū)別在于是否與實際情況完全相符。

【不足近似值與過剩近似值】小于準(zhǔn)確數(shù)的近似值，叫不足近似值；大于準(zhǔn)確數(shù)的近似值，叫過

剩近似值。例如，3.14、3.142分別是圓周率小的不足近似值和過剩近似值。

【誤差、絕對誤差和相對誤差】準(zhǔn)確數(shù)A與它的近似值。之差A(yù)—。叫做這個近似數(shù)的誤差，誤差

的絕對值|A-4叫絕對誤差。

近似數(shù)的絕對誤差除以準(zhǔn)確數(shù)的絕對值所得的商叫做這個近似數(shù)的相對誤差。

實際計算時，由于準(zhǔn)確數(shù)往往不得而知，所以只能用近似數(shù)的絕對值代替準(zhǔn)確數(shù)的絕對值來計算相

對誤差。

例如，甲、乙兩人量邊長為1米的正方形的對角線的長度。甲量得的結(jié)果是1.41米，乙量得的結(jié)果

是1.42米。則兩人的測量結(jié)果的絕對誤差分別是：

|V2-1.41|=|0.0042|=0.0042（米）；

|V2-1.42|=|-0.0058|=0.0058（米）

田4、口―八WE0.0042___40.0058_..

相對誤差分別是：-------=0.30%和-------=0.41%

1.41421.4142

絕對誤差一般用來比較同一個數(shù)量的兩個不同近似數(shù)的精確度，而相對誤差則往往用來比較兩個不

同數(shù)量的近似數(shù)的精確度。

【有效數(shù)字與可靠數(shù)字】一個近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的半個單位，則從左端開頭的

第一個非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字。

例如，取木七3.14,因為,一3.14]<0.01+2,所以圓周率的近似值3.14有三個有效數(shù)字；如果取0弋

3.1416,則卜-3.1416|V0.0001+2,所以近似值3.1416有5個有效數(shù)字。

?個近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的一個單位，則從左端開頭的第一個非零數(shù)字起到末位數(shù)

字止，所有數(shù)字都叫這個近似數(shù)的可靠數(shù)字。

1、用四舍五入法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個不是零的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是

有效數(shù)字。也都是可靠數(shù)字。

2、用進一法或去尾法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個不是零的數(shù)字起到末位止，所有的數(shù)字都是

可靠數(shù)字。在這些可靠數(shù)字中，除末位外，都是有效數(shù)字。

【科學(xué)計數(shù)法】當(dāng)近似數(shù)是整十、整百、整千、……的數(shù)時，如果不加說明，我們就無法確定它

們的有效數(shù)字和可靠數(shù)字。例如，近似數(shù)5700,如無說明，我們就不能確定它是用什么方法截取到那個

數(shù)位得到的，它可能是精確數(shù)5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，

如果是前一種情況，那么它有兩個有效數(shù)字（5、7）,如果是后一種情況，那么它有三個有效數(shù)字（5、7、

0）,如果它是某個精確數(shù)用四舍五入法保留到個位得來的。那么它就有四個有效數(shù)字（5、7、0、0）?

為了解決上述矛盾，我們規(guī)定：當(dāng)一個近似數(shù)a是整十、整百、整千、……的數(shù)時，就把他寫成

a=4X1（/的形式，其中。是由近似數(shù)。的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足1Wa<10,k是正整數(shù)。例如

用四舍五入法把799.7分別截取到個位、十位、百位的近似數(shù)分別是：

精確到個位：799.7、8.00xl（）2,有3個有效數(shù)字；

精確到十位：799.7七8.0x102,有2個有效數(shù)字；

精確到百位：799.7弋8x102,有1個有效數(shù)字。

又如，近似數(shù)3.6X1（）6有兩個有效數(shù)字，9.81x105有三個有效數(shù)字。

事實上，任何一個近似數(shù)都可以寫成a=aX10"的形式，其中。是由近似數(shù)a的有效數(shù)字組成的數(shù),

且滿足iWa<10,A是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

參考書

DO《小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》第一冊.人民教育出版社1994年12月第一版，P20L227.

②《中國中學(xué)教學(xué)百科全書》（數(shù)學(xué)卷），沈陽出版社，曹才翰主編.P14

A1-12截取近似數(shù)時，“去尾法”、“進一法”與“四舍五入法”的主要區(qū)別是什么？

為什么常用“四舍五入法”？

【四舍五入法】在截取近似數(shù)時，通常規(guī)定：

?如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)是5或比5大，那么就在留下的數(shù)的最低位加一；

?如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)小于5（即是4或比4?。敲戳粝碌臄?shù)不變。

像這樣的截取近似數(shù)的方法，叫做四舍五入法。

如圓周率"=3.14159265…，用四舍五入法截取兩位小數(shù)的近似值時，得乃=3.14；截取四位小

數(shù)的近似值時,得萬=3.1416。

【去尾法】如果為截取近似數(shù)而去掉尾數(shù)時，不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5,留下的數(shù)都

不變，那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做去尾法。

【進一法】截取近似數(shù)時，如果不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5,留下的數(shù)的最低位都加一,

那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做進一法。

在截取近似數(shù)的具體問題中，?般用四舍五入法。但有時要根據(jù)具體問題的不同情況運用去尾法或

進一法。

例如,做一套服裝要用4機布，50機布能做多少套服裝。504-4=12.5弋12（套）。在這里，因為服裝

的套數(shù)只能是自然數(shù)，所以商12.5必須用去尾法截取成自然數(shù)12。在這個問題中，用整數(shù)范圍內(nèi)的有余

數(shù)除法50+4=12……2更為合適。答案則是“能做12套,還余布料2機”。

又如，3840依的糧食用每袋可裝100依的口袋來裝，需要用多少口袋？3840+100=38.4弋39（個），

盡管最后只剩下了40kg糧食，還得用一個U袋來裝。

截取近似數(shù)的以上三種方法的主要區(qū)別在于所得近似數(shù)的誤差不同，列表說明如下:

近似數(shù)和原數(shù)的

截取的方法所得近似數(shù)原精確數(shù)的范圍

絕對誤差不超過

四舍五入法3.143?1350???~3?1449???0.005

去尾法3.143.14003~3.1499…0.01

進一法3.143.1301—3.1399-0.01

可見，用四舍五入法截取近似數(shù)時，誤差不超過保留部分的末位的半個單位；而用去尾法或進一法

截取近似數(shù)時，誤差不超過保留部分的末位的一個單位。

A1-13在截取一個數(shù)的近似數(shù)時，為什么不宜連續(xù)兩次運用“四舍五入法”？

例如，要把724600四舍五入到萬位，下面的兩種做法得數(shù)為什么不同？

方法一724600^720000

方法二724600Q725000*730000

方法一符合“四舍五入法”的操作規(guī)范的要求，所得近似數(shù)的誤差不會超過保留部分的末位的半個

單位。

方法二連續(xù)兩次運用了“四舍五入”，不符合操作規(guī)范，所得近似數(shù)的誤差已超過保留的末位的半個

單位。事實上，730000并不是724600的四舍五入到萬位的近似數(shù)，而是725000的四舍五入到萬位的近

似數(shù)。

因此，在實際操作中，不允許像上面那樣對于一個數(shù)連續(xù)兩次運用四舍五入法。

A1-14“小數(shù)”概念如何定義和分類？

【小數(shù)】【十進分?jǐn)?shù)】把單位“1”平均分成10份、100份、1000份、……，這樣的1份或幾份，

I7329

可以用分母是10、100、1000、……的分?jǐn)?shù)來表示。如一、——、一一、……o這種分母是10的正整

101001000

數(shù)次幕的分?jǐn)?shù)叫做十進分?jǐn)?shù)。這些分?jǐn)?shù)的單位分別是L、一L、一!一、……，每兩個相鄰的單位間的

101001000

進率都是10。從」-到整數(shù)個位的計數(shù)單位1,進率也是10。所以這些分?jǐn)?shù)可以仿照整數(shù)的寫法，寫在整

10

數(shù)個位的右面，并用小圓點“隔開，寫成0.L0.07、0.329、……。用這種形式寫出的用來表示十分

之幾、百分之幾、千分之幾、……的數(shù)叫做小數(shù)。

【小數(shù)點】在小數(shù)中，用來將個位與十分位隔開的小圓點叫做小數(shù)點。小數(shù)點左邊的部分稱為這

個小數(shù)的整數(shù)部分；小數(shù)點右邊的部分稱為小數(shù)的小數(shù)部分。

小數(shù)的整數(shù)部分可以是0,也可以不是0。

【純小數(shù)與帶小數(shù)】根據(jù)一個小數(shù)的整數(shù)部分是不是0可以把小數(shù)分為純小數(shù)和帶小數(shù)。如果小

數(shù)的整數(shù)部分是0,那么這個小數(shù)就稱為純小數(shù)。如果小數(shù)的整數(shù)部分不是0,那么這個小數(shù)就稱為帶小

數(shù)。

如0.1、0.07、0.329等都是純小婁；1.5、3.14、12.06等都是帶小數(shù)。

【有限小數(shù)與無限小數(shù)】小數(shù)還可以根據(jù)它的小數(shù)部分的位數(shù)是不是有限分為有限小數(shù)和無限小

數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是有限的這樣的小數(shù)叫做有限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)叫做無限小數(shù)。

由十進分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)都是有限小數(shù)。

103

一=0.33…0.2727???

311

以及圓周率3.14159265…等則是無限小數(shù)。

【無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)】一個無限小數(shù)，如果從小數(shù)部分的某一位起，有一個或兒個

數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)。（簡稱循環(huán)小數(shù)）如果在無限小數(shù)的小數(shù)部分

中，沒有依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，那么這樣的小數(shù)就叫無限不循環(huán)小數(shù)。如3.33……和0.2727……都

是循環(huán)小數(shù)。圓周率3.14159265……就是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

【循環(huán)節(jié)】在循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中，依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。

如3.33……的循環(huán)節(jié)是“3”，0.2727……的循環(huán)節(jié)是“27”。

為了簡便，寫循環(huán)小數(shù)時，小數(shù)的循環(huán)部分只寫出第一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)

字上各記一個小圓點。如循環(huán)小數(shù)3.33……寫作3.3,0.2727……寫作0.27,6.2416416……寫作6.2416.

【純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)】如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是從小數(shù)部分的第一位開始的，那么這種循

環(huán)小數(shù)就叫純循環(huán)小數(shù)。如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分的第一位開始的，就叫混循環(huán)小數(shù)。

如3.3和0.27都是純循環(huán)小數(shù)。6.2416則是混循環(huán)小數(shù)。

【小數(shù)的分類】按照小數(shù)部分的位數(shù)是有限還是無限，可以把小數(shù)分為有限小數(shù)和無限小數(shù)。

按照無限小數(shù)的小數(shù)部分是否有?個或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，可以把無限小數(shù)分為（無限）

循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。

按照循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是否從小數(shù)部分的第一位開始，又可以把循環(huán)小數(shù)分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)

小數(shù)。如下表所示。

r有限小數(shù)「純循環(huán)小數(shù)

小數(shù)?「（無限）循環(huán)小數(shù)J

、無限小數(shù)<〔混循環(huán)小數(shù)

-無限不循環(huán)小數(shù)

其中，有限小數(shù)就是十進分?jǐn)?shù)以及分母不含2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)；循環(huán)小數(shù)

是分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)就是無理數(shù)。

以上是根據(jù)小數(shù)的小數(shù)部分的不同特點所作的分類。此外，根據(jù)一個小數(shù)的整數(shù)部分是不是0,還可

以把小數(shù)分為純小數(shù)與帶小數(shù)。

r純小數(shù)

小數(shù)，

〔帶小數(shù)

正的純小數(shù)大于0而小于1,正的帶小數(shù)大于lo

A1-15整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位有哪些？其中有沒有最小的和最大的？為什么“整數(shù)

的數(shù)位順序表”與“小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表”可以統(tǒng)一起來？

在十進制中，整數(shù)的數(shù)位有個位、十位、百位、千位、萬位、……，它們的計數(shù)單位分別是一、十、

百、千、萬、……。10個一是十，10個十是百，10個百是千，10個千是萬，……。最小的計數(shù)單位是

沒有最大的計數(shù)單位。越是向左，數(shù)位越高，計數(shù)單位越大。每個數(shù)位上的10個單位，就是相鄰高

位上的一個單位。

在十進制小數(shù)中，小數(shù)點右邊的數(shù)位依次是十分位、百分位、千分位……，它們的計數(shù)單位分別是

十分之一、百分之一、千分之一，……。其中，最大的計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計數(shù)單位。它

們也是十進制的，即10個百分之一是1個十分之一，10個千分之一是1個百分之一，……。也是“滿十

進一”。

因為10個十分之一是一，所以小數(shù)點右邊的十分位的計數(shù)單位與小數(shù)點左邊的個位的計數(shù)單位之間

也是''滿十進一"的關(guān)系。因此，整數(shù)的數(shù)位順序表和小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表可以統(tǒng)一起來，如

下表所示：

數(shù)位順序表

A1-16“一位數(shù)”、“兩位數(shù)”、“三位數(shù)”、?…”與"一位小數(shù)”、“兩位小數(shù)”、“三

位小數(shù)”、……各是怎樣定義的？為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1而不是0?

【一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、……】在非零自然數(shù)N*中，能用一個數(shù)字表示的叫一位數(shù)，能用兩

個數(shù)字表示的叫二位數(shù)，能用三個數(shù)字表示的叫三位數(shù)，……，以下類推。

因此，在十進位記數(shù)制中，一位數(shù)是指1,2,3,……，9；兩位數(shù)是指10,11,12,……，99；三

位數(shù)是指100,101,102,……999。以下類推。

以上是針對十進位記數(shù)制來說的。對于k進位記數(shù)制來說awio),上述解釋?位數(shù)、兩位數(shù)、三

位數(shù)、……的語句雖然仍然適用，但含意已有所變化。

【一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……】小數(shù)部分只有一個數(shù)字的小數(shù)叫一位小數(shù)，小數(shù)部分

有兩個數(shù)字的小數(shù)叫兩位小數(shù)，小數(shù)部分有三個數(shù)字的小數(shù)叫三位小數(shù)，以下類推。

在十進制小數(shù)中，一位小數(shù)的末位是十分位，兩位小數(shù)的末位是百分位，三位小數(shù)的末位是千分

位，……。

在k進位記數(shù)制中，上述解釋一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……的語句仍然適用，但含意已有

所變化。

【0不是一位數(shù)】為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1,而不是0?

【有效數(shù)字】實際上，一位數(shù)、兩位數(shù)等自然數(shù)都可以用更多的數(shù)字來表示。如兩位數(shù)48可以表

示為048；一位數(shù)6可以表示為006。為了分化出一位數(shù)、兩位數(shù)等概念，我們約定：在一個自然數(shù)中，

從計數(shù)單位最大的、不是零的數(shù)字起到個位止的數(shù)字是這個自然數(shù)的有效數(shù)字。有效數(shù)字有幾個，這個

自然數(shù)就稱之為幾位數(shù)。數(shù)0也可以用000來表示。事實上，不論用多少個0來表示都行，但其中沒有0

以外的數(shù)字。所以表示0的數(shù)碼中沒有?個有效數(shù)字。因此，0不是一位數(shù)。當(dāng)然也不是兩位數(shù)、三位

數(shù)……。

不把0看作一位數(shù)，也是為了使一些數(shù)學(xué)規(guī)律得以成立。如關(guān)于常用對數(shù)的首數(shù)就有一個這樣的定

理：“常用對數(shù)的首數(shù)等于真數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一」所以lg50的首數(shù)是1；lg5的首數(shù)是0；lg0.5的首數(shù)是

一1。如果把0看作一位數(shù)，那么枳0.5的首數(shù)豈不也是0嗎？

由于0不是一位數(shù)，一位數(shù)只有1,2,3,…，9共九個，所以，最大的一位數(shù)是9；最小的一位數(shù)

是1,而不是0?

在二進制中，一位數(shù)只有一個，那就是1。

參考書

田高等學(xué)校教學(xué)用書《算術(shù)》，MK格列本卡著，商務(wù)印書館1957年4月5版，P7。

A1-17怎樣認(rèn)識“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的關(guān)系？

小學(xué)生最初認(rèn)識的“小數(shù)”僅僅是有限小數(shù)。有限小數(shù)相當(dāng)于十進分?jǐn)?shù)，即分母中不含2、5以外的

質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)。這時，可以說“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的種概念，“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的屬概念?！胺?jǐn)?shù)”

與“小數(shù)”是屬種關(guān)系。當(dāng)人們試圖用分子除以分母的方法將分母中含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)

化為小數(shù)時，發(fā)現(xiàn)余數(shù)會出現(xiàn)相同的，致使商中有一個或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這時，商的小

數(shù)部分的位數(shù)是無限的。于是導(dǎo)致“小數(shù)”概念從“有限小數(shù)”發(fā)展為包括“有限小數(shù)”和“無限小數(shù)”。

而分?jǐn)?shù)化小數(shù)時，要末化為有限小數(shù)，要末化為（無限）循環(huán)小數(shù)。而無限不循環(huán)小數(shù)則不可能由分?jǐn)?shù)

轉(zhuǎn)化而來，它們是分?jǐn)?shù)以外的另一類數(shù)。

【無理數(shù)與有理數(shù)】無限不循環(huán)小數(shù)被數(shù)學(xué)家稱之為“無理數(shù)”。而整數(shù)與分?jǐn)?shù)則統(tǒng)稱為“有理數(shù)”;

有理數(shù)與無理又統(tǒng)稱為“實數(shù)”。這些數(shù)的關(guān)系如下表所示。

整數(shù)］

「有限小數(shù)……T八旃：有理數(shù)1

小數(shù)《r（無限）循環(huán)小數(shù)J……分?jǐn)?shù)JI…痢

I無限小數(shù)4（頭數(shù)

I無限不循環(huán)小數(shù)……無理數(shù)J

對于發(fā)展以后的“小數(shù)”概念，其中包括的有限小數(shù)與（無限）循環(huán)小數(shù)相當(dāng)于“分?jǐn)?shù)”。此外，還

有一種無限不循環(huán)小數(shù)。因此，我們可以說“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的種概念，“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的屬概念。

“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”是屬種關(guān)系。和前面的結(jié)論正好相反。但實際上兩者并不矛盾。因為前面的結(jié)論中

所說的“小數(shù)”僅僅指有限小數(shù)：后面的結(jié)論中所說的“小數(shù)”則包括了有限小數(shù)與無限小數(shù)?！胺?jǐn)?shù)”

與“有限小數(shù)”的屬種關(guān)系以及“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的屬種關(guān)系都可以從上面的表中清楚地看出。

A1-18分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義有什么不同？

古埃及人在公元前17世紀(jì)就已經(jīng)使用分?jǐn)?shù)。我國成書于1世紀(jì)的《九章算術(shù)》中已載有分?jǐn)?shù)的各種

運算。

分?jǐn)?shù)的使用源于除法運算的需要。設(shè)p、g都是整數(shù)，q/0。則方程卯：=。未必有整數(shù)解，為了使

這個方程總是有解，有必要將整數(shù)集擴大成有理數(shù)集。

【分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義】我們在整數(shù)的有序?qū)Γ╬,q）（q/O）的集合上定義如下等價關(guān)系:

設(shè)Pi，P2ez,qx,q2ez\{0}?如果p%=PiQ\，則稱（PiM）~（P2，%）,zx（z\{0}）關(guān)于這個等

價關(guān)系的等價類稱為有理數(shù)。（p,q）所在的有理數(shù)記為乂。

q

令整數(shù)0對應(yīng)于"，1）所在的等價類，即對應(yīng)于就能把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)集中。

習(xí)慣上K仍記為p。在有理數(shù)集中，整數(shù)以外的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)。自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)與有理數(shù)的關(guān)系

1

如下表所示：

正整數(shù)］

F自然數(shù)】

零」整數(shù)］

負(fù)整數(shù)）4有理數(shù)

分?jǐn)?shù)」

【分?jǐn)?shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義】把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)的一般形式是這里的°、4都是整數(shù)，并且gwO。當(dāng)p、口都是正整數(shù)時，分?jǐn)?shù)“不僅可

以看作把單位“1”平均分成q份，表示這樣的p份的數(shù)。也可以看成把。個單位平均分成q份表示這

樣的一份的數(shù)。

整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。任何整數(shù)p都可以表示為Y的形式。

對于有理數(shù)R來說，如果P=O,K=0;如果pwo,則當(dāng)pg>0時，稱K為正有理數(shù)；當(dāng)pqVO

qqq

時，稱2為負(fù)有理數(shù)。所以對于有理數(shù)，可以作出以下兩種分類：

q

r正整數(shù)“正整數(shù)

「整數(shù)［零

件有理數(shù)<

L負(fù)整數(shù)

、正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)〈有理數(shù)零

‘正分?jǐn)?shù)「負(fù)整數(shù)

I負(fù)有理數(shù)\

、分?jǐn)?shù)Y

l負(fù)分?jǐn)?shù)

、負(fù)分?jǐn)?shù)

【兩者的比較】“分?jǐn)?shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義基本上是一致的。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中給出的“分?jǐn)?shù)”的定義實質(zhì)上是正有理數(shù)K的定義，其中，自22。整數(shù)p可以表示為

q

",不能說明“整數(shù)也是分?jǐn)?shù)”。僅僅表示