選修21第三章1節(jié)空間向量及其運算理

人教新課標A版（理2-11一、學習目標二、重點、難點三、考點分析模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．方向相同且模相等的向量稱為相等向實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當0a方向相同；當0a與a方向相反；當0a為零向量，記為0a的長度是a的長度的倍．向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量abb0ab的充要條件是存在實數(shù)ab．已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點，作ab，則為向量ab的夾角，記作aba,b0,對于兩個非零向量a和b，若ab2

，則向量ab互相垂直，記作ab已知兩個非零向量a和b

bcosa,b稱為ab的數(shù)量積，記作abababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0ax1y1z1bx2y2z2，abx1x2,y1y2,z1z2ax1,y1,z1abx1x2y1y2z1z2若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．若b0，則ababx1x2y1y2z1z2aa aa x2y2 cosa,b

x1x2y1x1x2y1y2x2y2z2 x2y2 axyzxyz

x y x y 222 知識點一例1、與向量a(1,3,2)平行的一個向量的坐標是 A（ B（－1，－3，2）22322C（－

思路分析解題思路：利用共線向量的概念，如果b0ababab共解析：向量的共線和平行是一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式．即b0abab，因為a132＝－2（－13，－1 ＝b，A1A＝c，則下列向量中與B1M相等的向量是 A．1a1b B．1a1b C．1a1b D．1a1b 解析：B1MB1Bbc．故選

A1A2(BABC)＝c＋2（－ab）＝－2a＋例3、在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的

2OAOB

OM1OA1OB MAMB

D．OMOAOBOC解題思路：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足OPxOAyOBzOCxyz1即可，或者APxAByAC解答過程：P、A、B、C共面只需滿足OPxOAyOBzOCxyz1A，B，DMAMBMCOAOMOBOM1

(OAOBOC3解題后的思考：對空間向量的共面問題，我們只需利用中的兩個結論判定即OPxOAyOBzOCxyz1APxAByACP，A，B，C共面．①如果向量ababO,A,BC為空間且向量OA,OB,OC不構成空間的一個基底O,A,B③已知向量a,b,c是空間的一個基底，則向量ab,ab,c也是空間的一個基底． 解答過程：命題①中，由于ab與任何向量都共面，說明ab是共線向量．因此①是錯 ab知識點二5、在ΔABCAB2,4,0)BC1,3,0，則∠ABC＝＿＿＿．

BA,BC

BABC

2

|BA||BC 25 A（0，2，3，B（－2，1，6，C（1，－1，5．ABAC3⑵若向量aABAC垂直，且|a|＝3

，求向量a解題思路：2倍，于是可轉化為

AB 1|AB||AC 3 3⑵設a＝（x，y，z，則aAB2xy3zaACxyz x＝y(tǒng)＝z＝1x＝y(tǒng)＝z＝－1a＝（1，1，1）或a＝（－1，－1，－1．7、ABC—A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90AA1＝2，M、NA1B1、A1A的中點．BN求cos<BA1CB1A1BB（0，1，0(10)2(01)2(10)2(01)2(136A1（，0，2B（01，0（0，0，06∴BA1＝{1，－1，2}，CB1＝{0，1，2}，BA1·CB1＝3，|BA1 ，|CB155 ∴cos<BA，CB

30 1C（002

2 ＝{1,1，0}．∴AB·CM＝－11＋0＝0，∴AB⊥CM2 8、ABCDA'B'C'Da，MBDNAC上，且|AN|3|NC|MN的長．A

C'（0，a，a

D'（0，0，a．MBDA'C'的中點O'M（a，a

為|AN|3|NC|NA'CN為O'CN（4a．

3a，4，|MN

a(a(aa)2(a3a)2(a 26，，空間向量及其運算是解決立體幾何的一種重要工具要理解基本概念，并能對比一、預習新二、預習點探究與【【

（答題時間：50分鐘 若a與b共線b與c共線，則a與c共向量abcaa若ab，則存在唯一的實數(shù)（126（126O 2

D．2已知空間四邊形ABCO中，OABCc點M在OA上且OM＝2MA，N為BC中點，則MN＝（ 1a2b1 B．2a1b1 1a1b1 D．2a2b1 設ABCD是空間不共面的四點且滿足ABAC0ACAD0ABAD0則△BCD是（ D．不確

A． B． C． A（1，1，1B（2，2，2C（3，2，4， 336 336

2已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，則|ab|的最小值為 A． 5

C．3

D．5 已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是對邊OA、BC的中點，點G 段MN上，且MG2GN，現(xiàn)用基組OA,OB,OC表示向量OG，有OG＝xOAyOBzOC，則x、y、z的值分別為 已知向量a(2,3,0)，b(k,0,3)，若a,b成120°的角，則

3,1 0求向量OD設向量ADBC的夾角為θcosθ的（21，－4＝（4，2，，對于向量a＝（x1，y1，z1，b＝（x2，y2，z2，c＝（x3，y3，z3，定義一（abc＝x12z＋x23z1xy12－13z－21z3xy21試計（ABADAP·CA中當b＝0ABD，應說明b0aCcos

|a||b

OA D；解析：先建立一組基向量OA,OB,OC，再處理OABCABD；解析：應用向量的運算，顯然cosABAC從而得S1|AB||AC|sinABAC2

|AB||AC

sinAB,AC

5cosab

a|a||b

2，得sinab7

7119．63OG

MG1OA2MN1OA2(ONOM 1OA2[1(OBOC)1OA 3 1OA1OB 直角三角形；解析：利用空間兩點間的距離得：|AB|2|BC|2|AC|2

39cosab

139ka139k|a||b

2

，得k （1）

3 311211OE＝OB－BE＝OB－BD·cos60°＝1－ 33 33∴D點坐標為（0，－

，即向量OD的坐標為（0，－ （2）OA2

,,323所以ADODOA 323ADBC的夾角為θ

|AD||BC

252

1013（1）APAD＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD．解：設ABAD的夾角為θ，

|AB||AD

84116191 ＝1|AB|·|AD|·sinθ·|AP|＝4116191P ·3·14SArSBrSC

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